Chương I. §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tiết 21
Đ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Người dạy: Nguyễn Trọng Lai
III - Sự tương giao của các đồ thị
x2 - 2x + 2 = 5 (*)
? x2 - 2x - 3 = 0
? x = - 1 ? y = 5
x = 3 ? y = 5
Vậy đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm A(-1; 5) và B(3; 5)
Tìm toạ độ giao điểm của (P): y = x2 - 2x + 2 và đường thẳng (d): y = 5.
Bài giải: Phương trình hoành độ giao điểm
Ví dụ 1:
B
3
1
1
O
y
x
Minh hoạ bằng đồ thị
Để biết toạ độ giao điểm của hai đồ thị ta thường lập phương trình hoành độ giao điểm của chúng.
2
y = x2 – 2x + 2
y = 5
A
- 1
5
Từ VD1 ta có nhận xét:
Em hãy cho biết mối liên hệ giữa số nghiệm của PT hoành độ giao điểm với số giao điểm của hai đồ thị ?
Bài toán
Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị (C2). Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) ta đi giải phương trình
f(x) = g(x) (1)
Giả sử x0, x1,..là các nghiệm của (1). Khi đó các giao điểm của (C1) và (C2) là M0(x0; f(x0)), M1(x1; f(x1)), ...
N/x: Số nghiệm của PT(1) bằng số giao điểm của (C1) và (C2) và ngược lại.
Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị (C) của hàm số sau tại hai điểm phân biệt
Để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thì PT (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Phương trình hoành độ giao điểm
Bài làm
(2)
(2)
?


Đặt g(x) = 2x2 + (m - 4)x - m - 1, ta có
= (m - 4)2 + 8(m + 1) = m2 + 24 > 0, ? m ? R
và g(1) = - 3 ? 0.
? PT (2) luôn có hai nghiệm phân biệt ? 1.
Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với ? m.
(2)
Ví dụ 3:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x3 + 3x - 2.
b) Sử dụng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x3 - 3x + 2 + m = 0 (3)
a) Ta có y` = -3x2 + 3 = 0 ? x = -1 ? y = - 4
x = 1 ? y = 0
Đồ thị hàm số có hai điểm CĐ(1; 0), CT(-1; -4)
Bài làm:
Đồ thị:
-1
- 2
1
2
O
- 2
y
- 4
x
b) PT (3):
x3 - 3x + 2 + m = 0
? - x3 + 3x - 2 = m
Đặt y = - x3 + 3x - 2 có đồ thị (C) (hình vẽ)
và y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox
Ta thấy số nghiệm của PT(3) bằng số giao điểm của đt
y = m với đồ thị (C). Nhìn vào đồ thị ta có:
y = m
-1
- 2
1
2
O
- 2
- 4
x
y
y = m
m = - 4 : PT (3) có 2 nghiệm.
m < - 4 : PT (3) có 1 nghiệm.
- 4 < m < 0 : PT (3) có 3 nghiệm.
m = 0 : PT (3) có 2 nghiệm.
m > 0 : PT (3) có 1 nghiệm.
Kết luận của VD 3
+) m = - 4 hoặc m = 0: PT (3) có 2 nghiệm.
+) m < - 4 hoặc m > 0: PT(3) có 1 nghiệm
+) - 4 < m < 0 : PT (3) có 3 nghiệm.
Kết luận chung:
Dạng 1: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (không vẽ đồ thị):
- Lập phương trình hoành độ giao điểm,
- Đưa về dạng phương trình bậc hai; bậc ba; ...
- Biện luận số nghiệm của phương trình suy ra số giao điểm.
Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:
- Chuyển về dạng đồ thị đã được vẽ,
- Sử dụng đồ thị và biện luận,
- Kết luận.
Bài tập củng cố:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 +2.
2) Tìm m để phương trình x4 - 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
Xin cảm ơn
các thầy cô và các em !