Chương I. §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

I.Sơ đồ khảo sát hàm số
1, Tìm TXĐ của hàm số
(Xét tính chẵn lẻ,tính tuần hoàn nếu có )
2, Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a, Xét chiều biến thiên của hàm số
* Tính đạo hàm
* Tìm các điểm tới hạn
* Xét dấu của đạo hàm
* Suy ra chiều biến thiên của hàm số
b, Tính các cực trị
c, Tìm các giới hạn của hàm số
* Khi x dần tới vô cực
* Khi x dần tới,bên trái và bên phải , các giá trị của x
tại đó hàm số không xác định
* Tìm các tiệm cận (nếu có )

d)Xét tính lồi, lõm ,và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
* Tính đạo hàm cấp 2
* Xét dấu của đạo hàm cấp2
* Suy ra tính lồi , lõm và điểm uốn của đồ thị
e) Lập bảng biến thiên
*ghi tất cả các kết quả đã tìm được vào
bảng biến thiên
3 ) Vẽ đồ thị
* Giao với các trục toạ độ
* Các điểm đặc biệt (điểm cực trị , điểm uốn ...)
* Chính xác hoá đồ thị
* Vẽ đồ thị
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-?;-1) ? (-1; +?)
III. Một số hàm phân thức

1)Hàm số: y =
(c ? 0 , D = ad -cb ? 0)
Bài giải:
1)Tập xác định:
Ví dụ 1:Khảo sát hàm số:
y =
D = R ? -1?
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
y` =
(-1)(x+1)-(-x+2)
(x+1)2
=
-x-1+x-2
(x+1)2
=
-3
(x+1)2
< 0 ?x ? -1 ?
b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn

lim y
x?(-1)-
lim
= -?.
=
x?(-1)-
lim y
x?(-1)+
lim
= +?.
=
x?(-1)+
?x = -1 là tiệm cận đứng
lim y
x? ?
lim
=-1
=
x? ?
?y = -1 là tiệm cận ngang
e, Bảng biến thiên:
x
-?
+?
y`
y
-1
-
-
3 )Đồ thị
Giao với trục o x: y = 0 ? x=2 Giao với trục o y: x = 0 ?y =2
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-1;-1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-?;-2) ? (-2; +?)
III. Một số hàm phân thức

1)Hàm số: y =
(c ? 0 , D = ad -cb ? 0)
Bài giải:
1)Tập xác định:
D = R ? -2?
2)Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên
y` =
(x+2)-(x-3)
(x+2)2
=
x+2-x+3
(x+2)2
=
5
(x+2)2
> 0 ?x ? -2 ?
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số:
y =
b)Cực trị
Hàm số không có cực trị
c)Giới hạn

lim y
x?(-2)-
lim
= +?
=
x?(-1)-
lim y
x?(-2)+
lim
= -?
=
x?(-1)+
?x = -2 là tiệm cận đứng
lim y
x??
lim
=1
=
x??
?y = 1 là tiệm cận ngang
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số:
y =
e, Bảng biến thiên:
x
-?
+?
y`
y
-1
+
+
3 )Đồ thị
Giao với trục o x: y = 0 ? x=3 Giao với trục o y: x = 0 ?y =-3/2
Đồ thị nhận giao hai tiệm cận I(-2;1) làm tâm đối xứng
Vẽ đồ thị :

dáng điệu đồ thị hàm số y = ax 3 + bx2 + cx + d (a ? 0)
y` = 0 có hai nhgiệm phân biệt
a > 0
a < 0
y` = 0 có hai
nghiệm phân biệt
y` = 0 có
nghiệm kép
y` = 0 vô nghiệm
a > 0
a < 0
Bài3:
Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 - 4 (đồ thị là Cm)
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b)Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3 +3x2 - 4 = m
c)Với giá trị nào của m phương trình
mx3 + 3mx2 + 4= 0
có 3 nghiệm phân biệt

y
x
0
2
3
4