Chương I. §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Giải tích 12

August 16 ,2009
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần VI : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần VI
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức

http://my.opera.com/vinhbinhpro
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số .
Bước 2: Xét chiều biến thiên của hàm số .
i) Tính đạo hàm y’(x) - Giải phương trình y’(x) = 0
( tìm tất cả các điểm mà tại đó y’ = 0 hay đạo hàm không xác định )
ii) Xét dấu y’(x) - Suy ra chiều biến thiên của hàm số
iii) Tìm cực trị của hàm số (nếu có)
iv) Tìm
- Tìm tất cả các đường tiệm cận (nếu có)
Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số ( tổng kết các kết quả ở trên vào bảng này )
Bước 4 : Vẽ đồ thị của hàm số .
* Vẽ các đường tiệm cận (nếu có )
* Xác định một số điểm đặc biệt nhất là giao điểm của đồ thị với trục tọa độ.
* Chỉ ra trục và tâm đối xứng (nếu có)
Có thể bỏ qua phần này nếu phép tính phức tạp
Khảo sát hàm số bậc 3
Bước 1 : Tập xác định : D = R
Bước 2 :
∆ > 0
∆ 0
y’ luôn cùng dấu với a ,
2. ∆ < 0 : y’ luôn cùng dấu với a ,
y’ = 0 có 2 nghiêm phân biệt
y’ = 0 có nghiệm kép hay vô nghiệm
Lướt chuột vào đây để xem tiếp
Click chuột vào đây để xem tiếp
Giải phương trình y’ = 0
Khảo sát hàm số bậc 3 *
a > 0
x
y’
y
- ∞
+∞
a
b
0
0
+
+
̶
CĐ
CT
+∞
- ∞
a < 0
+∞
b
a
- ∞
0
0
x
y’
y
+
̶
̶
CT
CĐ
- ∞
+∞
Điểm uốn :
I
I
Điểm đặc biệt
Điểm đặc biệt
trở về
Khảo sát hàm số bậc 3 **
Biên tập pps : vinhbinhpro
∆ < 0
a > 0
a < 0
x
y’
y
x
y’
y
- ∞
+∞
+
- ∞
+∞
̶
+∞
- ∞
- ∞
+∞
Điểm uốn :
trở về
Khảo sát hàm số bậc 3 ***
Biên tập pps : vinhbinhpro
∆ = 0
a > 0
a < 0
x
y’
y
x
y’
y
- ∞
+∞
+
- ∞
+∞
̶
+∞
- ∞
- ∞
+∞
Điểm uốn :
trở về
+
̶
0
0
α
α
Chú ý :
Biên tập pps:vinhbinhpro
Để việc vẽ đồ thị hàm số được chính xác ta cần bổ sung KiẾN THỨC về :
1. (a ; b) là khoảng lồi của đồ thị (C)
Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía trên (C)
2. (a ; b) là khoảng lõm của đồ thị (C)
Mọi tiếp tuyến của (C) luôn ở phía dưới (C)
Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn
3. Điểm tiếp giáp giữa khoảng lồi và khoảng lõm của (C) gọi là ĐIỂM UỐN của (C)
* ĐỊNH LÝ :
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( a ; b )
Đồ thị (C) LỒI trên ( a ; b )
Đồ thị (C) LÕM trên ( a ; b )
* Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua điểm xₒ thì I (xₒ ; f(xₒ)) là điểm UỐN của (C)
Khoảng lồi
Khoảng lỏm
Điểm uốn
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)
Bước 1 : Tập xác định : D = R
Bước 2 :
Xét chiều biến thiên của hàm số
Có hai trường hợp xảy ra :
1. a , b cùng dấu (a.b > 0 ) => phương trình (2) vô nghiệm => Pt (*) chỉ có 1 nghiệm
2. a , b trái dấu (a.b < 0 ) => phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
=> Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
Click chuột vào đây để xem tiếp
Click chuột vào đây để xem tiếp
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)*
ab < 0 hay pt (*) có 3 nghiêm phân biệt
a > 0
a < 0
Tương tự
- ∞
+∞
0
0
0
0
+
x
y’
y
+
̶
̶
ct
ct
CĐ
+∞
+∞
http://my.opera.com/vinhbinhpro
x
y’’
+∞
- ∞
0
0
+
+
̶
( ̶ )
( + )
( ̶ )
Tương tự
0
0
0
0
x
y’
y
+∞
- ∞
̶
+
+
̶
CĐ
CĐ
ct
- ∞
- ∞
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)**
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Vậy đồ thị hàm số có hai ĐIỂM UỐN
Bước 3 : Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục Oy ( hàm số chẳn )
y
x
CĐ
ct
ct
0
x
y
ct
CĐ
CĐ
U
U
U
U
0
Điểm đặc biệt
Trục đối xứng
Trở về
a > 0
a < 0
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)3*
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
a > 0
a < 0
Dấu của y’ phụ thuộc vào :
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)4*
Biên tập pps:vinhbinhpro
ab > 0 hay pt (*) chỉ có 1 nghiệm
a > 0
a < 0
Dấu của y’ phụ thuộc vào :
(vì ab > 0 nên g(x) luôn cùng dấu a trên tập xác định R )
̶ ∞
+∞
0
x
2x
0
y’
y
+
+
+
̶
0
+
̶
ct
+∞
+∞
x
2x
y’
y
̶ ∞
+∞
0
0
0
+
̶
̶
̶
̶
+
CĐ
̶ ∞
̶ ∞
Khảo sát hàm số bậc 4( dạng trùng phương)5*
Trình bày tóm tắt :
a > 0
a < 0
* Khoảng lồi ,khoảng lõm và điểm uốn :
vì a >0 và ab > 0
=> Đồ thị luôn lõm
x
y
c
0
vì a <0 và ab> 0
=> Đồ thị luôn lồi
x
y
c
0
x
y’
y
̶ ∞
+∞
0
0
+
̶
+∞
+∞
x
y’
y
+∞
̶ ∞
0
0
+
̶
̶ ∞
̶ ∞
trở về
Bài tập
Phần VI : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức
Bài tập 1
Biên tập pps : vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
Hàm số luôn nghịch biến trên R
x
y’
y
̶
̶ ∞
+∞
̶ ∞
+∞
- 1
+∞
̶ ∞
0
x
y’’
y
̶
+
lõm
lồi
điểm uốn
* Đồ thị : Điểm đặc biệt :
Bài tập 1
4
2
- 1
1
- 6
0
x
y
Điểm uốn I (-1 ; 4 )
Tâm đối xứng
Điểm đặc biệt ( 0 ; 2 )
Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )
4
1
- 1
-6
Khoảng lõm
Khoảng lồi
Điểm đặc biệt
Điểm uốn (tâm đối xứng)
Điểm đặc biệt ( 1 ; - 6 )
Bài tập 2
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số:
Bài tập 2
http://my.opera.com/vinhbinhpro
x
y’
y
̶ ∞
+∞
- 3
- 1
0
0
+
̶
+
+∞
̶ ∞
CĐ
ct
* Hàm số đồng biến trên : ( ̶ ∞ ; - 3 ) ; ( - 1 ; +∞ )
* Hàm số nghịch biến trên : ( - 3 ; - 1 )
Điểm cực đại: ( - 3 ; 2 )
Điểm cực tiểu : ( - 1 ; - 2 )
* Chiều biến thiên của hàm số:
* Tập xác định : D = R
Hướng dẫn :
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Bài tập 2
* Đồ thị hàm số : Điểm đặc biệt :
x
y
̶ 4
̶ 2
0
2
2
- 2
0
- 4
- 3
- 1
* Khoảng lồi , khoảng lõm và điểm uốn
- 2
x
y
̶ ∞
+∞
- 2
điểm uốn
y’’
0
+
_
lồi
lõm
x
y
điểm cực đại
điểm cực tiểu
điểm uốn
điểm đặc biệt
điểm đặc biệt
-2
2
-3
điểm cực đại
điểm uốn
điểm cực tiểu
điểm đặc biệt (-4 ;- 2)
điểm đặc biệt (0 ; 2)
Bài tập 3
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số:
*Bảng biến thiên
Bài tập 3
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R
* Chiều biến thiên của hàm số:
̶ ∞
+∞
0
0
0
0
x
y’
y
+
_
+
_
ct
ct
CĐ
+∞
+∞
Bài tập 3
=> Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )
=> Điểm cực tiểu :
=> Điểm uốn :
Bài tập 3
=> Điểm cực đại : ( 0 ; 0 )
=> Điểm cực tiểu :
=> Điểm uốn :
̶ ∞
+∞
x
y’’
y
0
0
_
+
+
lồi
lõm
lõm
điểm uốn
điểm uốn
* Đồ thị :
Điểm đặc biệt :
Bài tập 3
http://my.opera.com/vinhbinhpro
x
y
0
-1
1
trục đối xứng
điểm cực tiểu
điểm cực tiểu
điểm cực đại
điểm uốn
điểm đặc biệt
0
điểm cực đại
điểm cực tiểu
điểm cực tiểu
điểm đặc biệt
trục đối xứng
điểm uốn
Bài tập 4
Biên tập pps : vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
Hướng dẫn :
1) Tập xác định : D = R
2) Chiều biến thiên của hàm số :
Dấu của y’ phụ thuộc vào g(x) = - 2x
Tương tự :
* Bảng biến thiên
- ∞
+∞
0
0
-
+
x
y’
y
- ∞
- ∞
3/2
CĐ
* Khoảng lồi ,lõm , điểm uốn:
Đồ thị là đường cong lồi
Bài tập 4
http://my.opera.com/vinhbinhpro
* Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng .
* Điểm đặc biệt :
3/2
1
-1
0
x
y
điểm đặc biệt
điểm cực đại
trục đối xứng
Đón xem phần 7 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số hữu tỉ
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh phần nào rèn luyện được khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến.
vinhbinhpro