Chương I. §4. Thể tích của khối đa diện

LỚP T?P HU?N
CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN PHÚ
TỔ TOÁN
Tháng 8/2008
? THIẾT KẾ BÀI GIẢNG : ĐOÀN NGỌC DŨNG
CHƯƠNG I :
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
_ Nắm vững các công thức về thể tích của khối hộp chữ nhật, thể tích của khối chóp, thể tích của khối lăng trụ.
_ Biết áp dụng các công thức tính thể tích để tính thể tích các khối đa diện phức tạp hơn, bằng cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Làm thế nào để đo thể tích của một Kim tự tháp ?
Những Kim tự tháp thời kì đầu được xây vào khoảng 2750 trước công nguyên, chúng được gọi là Kim tự tháp bậc thang vì mỗi mặt của nó không thực sự là những tam giác mà tập hợp những bậc thang đá to lớn.
1) Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?
Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.
1) Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?
Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.
Chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây :
1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
? SGK trang 23 :
V1
V2
V1 = V2
1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
V1
V2
A
B
C
D
V1 = V2
2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
V = V1 + V2
3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
1
1
1
1 x 1 x 1 = 1 (đơn vị thể tích)
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
Bài 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước 8, 4, 3 như sau :
Bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp, ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1.
8
4
3
Nếu gọi 1 (đơn vị thể tích) là thể tích khối lập phương có cạnh bằng 1 (đơn vị dài) thì thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 8 x 4 x 3 bằng bao nhiêu ? Vì sao ?
Làm sao ta có thể đếm được có bao nhiêu khối lập phương đơn vị như vậy ?
V = 1 (đơn vị thể tích)
Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương nên thể tích của khối hộp chữ nhật trên bằng bao nhiêu ?
Có bao nhiêu khối lập phương đơn vị trong khối hộp chữ nhật trên ?
8
4
3
Như vậy, trong trường hợp ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c đều là những số nguyên dương.
Trong trường hợp a, b, c là những số dương tùy ý (không nhất thiết phải là số nguyên), người ta chứng minh được rằng công thức nói trên vẫn đúng. Như vậy một cách tổng quát, ta có :
Chú ý :
Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng a là : V = a3
a
Bài 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
V = abc
Ghi chú : Thể tích khối lập phương :
V = a3
A
B
C
D
S
S`
H
M
N
?
?
Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S`, A, B, C, D.
Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương.
? Bài giải :
A
B
C
D
S
S`
H
M
N
?
?
S
B
C
D
S`
A
? Bài giải :
? Bài giải :
Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S`, A, B, C, D.
Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương.
Gọi M` và N` lần lượt là trung điểm của AB và BC thì M và N lần lượt nằm trên SM` và SN` nên :
A
B
C
D
S
S`
H
M
?
?
N
Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
?1
? Bài giải :
A
A`
C
B
C`
B`
?
?
a
b
h
Giả sử ABC.A`B`C` là khối lăng trụ đã cho.
Gọi O, O` lần lượt là trung điểm của BC và B`C`.
D`
D
Khi đó, phép đối xứng qua đường thẳng OO` biến khối lăng trụ ABC.A`B`C` thành khối lăng trụ DCB.D`C`B`.
Khối hộp chữ nhật ABCD.A`B`C`D` (với các kích thước a, b, h) có thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ đã cho.
O
O`
Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng h, đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
?1
? Cách khác :
A
A`
C
B
C`
B`
a
b
h
Giả sử ABC.A`B`C` là khối lăng trụ đã cho.
Ghép khối lăng trụ đã cho ABC.A`B`C` với khối lăng trụ A1B1C1.A1`B1`C1` bằng nó sao cho :
Khi đó, ta được hình hộp chữ nhật ABA1C.A`B`A1`C` có thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ đã cho.
B1 ? C, C1 ? B, B1` ? C`, C1` ? B`,
A1 ? (ABC), A1` ? (A`B`C`).
? Sđáy hay B : diện tích mặt đáy.
? h : chiều cao của khối chóp (h là khoảng cách từ đỉnh của khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối chóp)
H
h
Chú ý :
? Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một thì có :
? Tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD vuông góc với nhau từng đôi một thì có :
Bài 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
V = abc
III. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
Ghi chú : Thể tích khối lập phương :
V = a3
Ghi chú :
Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc :
Tứ diện ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc :
A
B
D
C
? Bài giải :
H
Xét tứ diện đều ABCD cạnh a, có đỉnh là A và đáy là tam giác đều BCD có cạnh bằng a.
Gọi H là tâm của tam giác đều BCD, vì ABCD là hình tứ diện đều nên AH vuông góc mp(BCD) ? AH là đường cao của hình chóp.
? Bài giải :
Xét khối tám mặt đều ABCDEF cạnh a.
Gọi AO là chiều cao của khối chóp E.ABCD. Ta có :
F
Chia khối tám mặt đều này thành hai khối chóp tứ giác đều E.ABCD và F.ABCD cạnh a.
O
Tính thể tích khối chóp E.ABCD
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A`B`C` biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.
?2
Để giải bài toán, ta trả lời ba câu hỏi sau :
a) Chia khối lăng trụ ABC.A`B`C` thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng (A`BC`) và (A`BC), hãy kể tên ba khối tứ diện đó.
b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
c) Từ đó suy ra công thức V = S.h. Hãy phát biểu thành lời công thức đó.
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A`B`C` biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.
?2
a) Chia khối lăng trụ thành ba khối tứ diện đó là : A`.ABC, B.A`B`C` và A`.BCC`.
b) Hai khối tứ diện A`.ABC và B.A`B`C` có hai mặt đáy bằng nhau (?ABC = ?A`B`C`) và hai chiều cao bằng nhau (đều bằng chiều cao h của khối lăng trụ) nên chúng có thể tích bằng nhau.
Hai khối tứ diện A`.BB`C` và A`.BCC` có diện tích đáy bằng nhau (?BB`C` = ?BCC`) và chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách từ A` đến mp(BCC`B`)) nên chúng có thể tích bằng nhau.
Vậy thể tích ba khối tứ diện nói trên bằng nhau.
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A`B`C` biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.
?2
c) Khối lăng trụ ABC.A`B`C` được phân chia thành ba khối tứ diện có thể tích bằng nhau A`.ABC, B.A`B`C` và A`.BCC`.
Suy ra thể tích khối lăng trụ bằng ba lần thể tích khối chóp A`.ABC.
Vậy thể tích khối lăng trụ tam giác bằng tích số diện tích đáy và chiều cao.
? Xét khối lăng trụ có đáy là một đa giác bất kì. Vì bất kì đa giác nào cũng có thể phân chia được thành các tam giác không có điểm trong chung nên có thể phân chia khối lăng trụ đó thành các khối lăng trụ tam giác có cùng chiều cao.
Tổng các thể tích của chúng chính là thể tích của khối lăng trụ ban đầu.
A
B
C
D
E
A`
B`
C`
D`
E`
Từ đó suy ra định lý sau đây :
A
B
A`
C
? Bài giải :
Vì hai khối chóp C`.MNBA và C`.MNB`A` có cùng chiều cao và có mặt đáy bằng nhau nên VC`.MNBA bằng VC`.MNB`A`
B`
M
C`
Gọi V là thể tích của khối lăng trụ.
N
Bài 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
V = abc
III. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
IV. THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
Ghi chú : Thể tích khối lập phương :
V = a3
Ghi chú :
Tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc :
Tứ diện ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc :
? Câu 1 : Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H) bằng :
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
HÌNH HỌC 12
? Câu 2 : Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương đó là :
? Câu 3 : Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên :
?
?
?
Bài 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Ứng dụng trong đời sống thực tế.
Bài 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Ứng dụng trong đời sống thực tế.
Làm thế nào để đo thể tích của một Kim tự tháp ?
Để tìm thể tích của Kim tự tháp chỉ còn cách là tính tổng thể tích của từng bậc hay mỗi tầng, với mỗi tầng là một khối hình hộp chữ nhật được tập hợp bởi các khối lập phương.
Xét một Kim tự tháp với cạnh đáy bằng 10 và chiều cao bằng 10. Đỉnh là một khối lập phương và các tầng là là một khối hình hộp chữ nhật được tập hợp bởi các khối lập phương.
cạnh đáy = chiều cao
cạnh đáy = 1 + 1 = 2
cạnh đáy = 1 + 1 + 1 = 3
Thể tích của tầng trên cùng là : V1 = B.h = (12).1 = 1
cạnh đáy = chiều cao
cạnh đáy = 1 + 1 = 2
cạnh đáy = 1 + 1 + 1 = 3
Thể tích của tầng thứ hai là : V2 = B.h = (22).1 = 4
Thể tích của tầng thứ ba là : V3 = B.h = (32).1 = 9
Cứ tiếp tục theo cách này thì thể tích của kim tự tháp là :
. . .
. . .
Một cái hộp có kích thước bên ngoài mỗi cạnh bằng 6dm. Những mặt bên và mặt đáy của cái hộp có độ dầy bằng 1/4 dm. Cần bao nhiêu thể tích cát để lấp kín cái hộp ngang với bề mặt đỉnh hộp ?
Một khối được tạo bởi 100 khối lập phương nhỏ. Sáu mặt ngoài của khối là màu xanh. Có bao nhiêu khối lập phương nhỏ có :
1) Một mặt màu xanh.
2) Hai mặt màu xanh.
3) Ba mặt màu xanh.
4) Không có mặt màu xanh.
Hình sau gồm các hình lăng trụ đứng. Hãy tính thể tích của nó với các kích thước được cho trên hình.
7
3
3
1
5
6
_ Làm các bài tập 4 đến 6 trang 31 sách Hình học 12.
_ Làm các bài tập 15 đến 25 trang 27 đến trang 29 sách Hình học 12.
_ Làm hoàn chỉnh các ví dụ 1, 2, 3, 4 từ trang 24 đến trang 27 sách Hình học.
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12