Chương I. §4. Thể tích của khối đa diện

Chào mừng thầy cô giáo tham dự tiết học
ứng dụng công nghệ thông tin
12 A4
Trần Chí Thanh
7/25/2009
1
[email protected]
7/25/2009
2
[email protected]
Mục tiêu
Hiểu được khái niệm thể tích của khối
đa diện.
Nắm vững các công thức tính thể tích
một số khối đa diện đơn giản
( khối chóp, khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ )
Biết vận dụng để tính thể tích các khối
đa diện phức tạp hơn
7/25/2009
3
[email protected]
1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?
Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần
không gian mà nó chiếm chỗ.
7/25/2009
4
[email protected]
1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?
Mỗi khối đa diện có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây :
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
7/25/2009
5
[email protected]
V1
V2
V1 = V2
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
V1
V2
A
B
C
D
V1 = V2
6
b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
V = V1 + V2
7
c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
1
1
1
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
8
Khối lập phương có cạnh bằng 1 còn gọi là khối lập phương đơn vị
Giả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước 8, 3, 4 như sau :
Bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp, ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1.
8
4
3
Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 8 , 3, 4 bằng bao nhiêu ? Vì sao ?
2. Thể tích của khối hộp chữ nhật
7/25/2009
9
[email protected]
V = 1 (đơn vị thể tích)
Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương nên thể tích của khối hộp chữ nhật trên bằng bao nhiêu ?
Có bao nhiêu khối lập phương đơn vị trong khối hộp chữ nhật ? Vì sao ?
8
4
3
V = 96 (đvtt)
= 8 x 3 x 4
7/25/2009
10
[email protected]
Như vậy, một khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c đều là những số dương.
a
b
c
V = a.b.c
7/25/2009
11
[email protected]
Hệ quả.
a
Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng a
V = a3
a
a
7/25/2009
12
[email protected]
A
B
C
D
S
S`
H
M
N
?
?
Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S`, A, B, C, D.
Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương.
Giải .
7/25/2009
[email protected]
13
A
B
C
D
S
S`
H
M
N
?
?
S
B
C
D
S`
A
Giải .
7/25/2009
14
[email protected]
Giải .
Gọi M`, N` lần lượt là trung điểm của AB, BC thì M, N lần lượt nằm trên SM`, SN` nên :
A
B
C
D
S
S`
H
M
?
?
N
7/25/2009
[email protected]
15
Ví dụ 1. Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.
Vậy:
Khối lăng trụ đứng ABC.A`B`C` có chiều cao bằng h, đáy là tam giác A`B`C` vuông tại A`với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A`B`C` theo a, b, h.
?1
Hướng dẫn
A
A`
C
B
C`
B`
?
?
a
b
h
Gọi O, O` lần lượt là trung điểm của BC và B`C`.
D`
D
Phép đối xứng qua đường thẳng OO` biến khối lăng trụ ABC.A`B`C` thành khối lăng trụ DCB.D`C`B`.
O
O`
7/25/2009
[email protected]
16
?1
Cách khác :
A
A`
C
B
C`
B`
a
b
h
Ghép khối lăng trụ ABC.A`B`C` với khối lăng trụ A1B1C1.A1`B1`C1` bằng nó sao cho B1 ? C, C1 ? B, B1` ? C`, C1` ? B`,
A1 ? (ABC), A1` ? (A`B`C`).
Khối hộp chữ nhật ABA1C.A`B`A1`C` có thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ ABC.A`B`C`
17
Khối lăng trụ đứng ABC.A`B`C` có chiều cao bằng h, đáy là tam giác A`B`C` vuông tại A`với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A`B`C` theo a, b, h.
7/25/2009
[email protected]
? Sđáy hay B : diện tích mặt đáy.
? h : chiều cao của khối chóp (h là khoảng cách từ đỉnh của khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối chóp)
H
h
7/25/2009
[email protected]
18
Định lý 2. Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.
Chú ý :
Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một.
Tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD vuông góc với nhau từng đôi một.
7/25/2009
19
[email protected]
7/25/2009
[email protected]
20
Trên 3 đường thẳng SA, SB, SC của khối chóp tam giác S.ABC lần lượt lấy ba điểm A`, B`, C` khác với S. Ta có:
Đặc biệt:
Thể tích của tứ diện SABC còn tính theo công thức
A
B
D
C
Giải.
H
Gọi H là tâm của tam giác đều BCD, ta có:
7/25/2009
[email protected]
21
Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a.
(tính chất chóp đều)
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
Giải.
Gọi EO là chiều cao của khối chóp E.ABCD ( O là tâm của hình vuông ABCD). Ta có :
F
Chia khối tám mặt đều này thành hai khối chóp tứ giác đều E.ABCD và F.ABCD cạnh a.
O
Tính thể tích khối chóp E.ABCD
7/25/2009
[email protected]
22
Ví dụ 3. Tính thể tích của khối tám mặt đều ABCDEF có cạnh bằng a.
(EAFC là hình vuông cạnh a)
Thể tích khối 8 mặt đều ABCDEF
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A`B`C` biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.
?2
Để giải bài toán, ta trả lời ba câu hỏi sau :
a) Chia khối lăng trụ ABC.A`B`C` thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng (BA`C`) và (ABC`), hãy kể tên ba khối tứ diện đó.
b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
c) Từ đó suy ra công thức V = S.h. Hãy phát biểu thành lời công thức đó.
7/25/2009
[email protected]
23
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A`B`C` biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.
?2
a) Chia khối lăng trụ thành ba khối tứ diện đó là : B.A`B`C`, C`.ABC và B.AA`C`.
b) Hai khối tứ diện B.A`B`C` và C`.ABC có ?ABC = ?A`B`C` và hai chiều cao bằng nhau (đều bằng chiều cao h của khối lăng trụ) nên V(B.A`B`C`) = V(C`.ABC)
Hai khối tứ diện B.AA`C` và B.ACC` có ?AA`C` = ?ACC` và chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách từ B đến mp(AA`C`C)) nên V(B.AA`C`) = V(B.ACC`) = V(C`.ABC)
Vậy thể tích ba khối tứ diện nói trên bằng nhau.
7/25/2009
24
[email protected]
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A`B`C` biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h.
?2
c) Khối lăng trụ ABC.A`B`C` được phân chia thành ba khối tứ diện có thể tích bằng nhau A`.ABC, B.A`B`C` và A`.BCC`.
Suy ra thể tích khối lăng trụ bằng ba lần thể tích khối chóp A`.ABC.
Vậy thể tích khối lăng trụ tam giác bằng tích số diện tích đáy và chiều cao.
7/25/2009
25
[email protected]
? Xét khối lăng trụ có đáy là một đa giác bất kì. Vì bất kì đa giác nào cũng có thể phân chia được thành các tam giác không có điểm trong chung nên có thể phân chia khối lăng trụ đó thành các khối lăng trụ tam giác có cùng chiều cao.
Tổng các thể tích của chúng chính là thể tích của khối lăng trụ ban đầu.
A
B
C
D
E
A`
B`
C`
D`
E`
7/25/2009
26
[email protected]
A
B
A`