Chương I. §4. Thể tích của khối đa diện

THỂ TÍCH
CỦA KHỐI ĐA DIỆN
* Thế nào là thể tích của một khối đa diện?
Thể tích khối đa diện là số đo độ lớn phần không gian mà nó chiếm chỗ.
1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện?
Chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện (H) có thể tích là một số dương V(H) ,thỏa mãn các tính chất sau đây:
2) Nếu Hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì:
V(H1) = V(H2)
3) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì: V(H)=V(H1)+ V(H2)
1) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì:
V(H)=1
1
1
1
1 x 1 x 1 = 1 (Don v? th? tích)
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
V1
V2
V1 = V2
V1
V2
A
B
C
D
V1 = V2
V = V1 + V2
Ví dụ: Tính thể tích khối hộp chữ nhật (H) có 3 kích thước là những số nguyên dương?
Vấn đề Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật ?
Định lý: Tính thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
V=a.b.c
Hệ quả: Tính thể tích khối hộp lập phương có cạnh bằng a là:
V=a3
2. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
Ví dụ 1: Cho khối bát diện đều có cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối bát diện đều.
b) Tính thể tích khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối bát diện đều.
3 Thể tích khối chóp:
Định lý 2: Thể tích của một khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:
Ví dụ 2:
Tính thể tích khối bát diện đều có cạnh bằng a.

b) Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng a.
4 Thể tích khối lăng trụ:
Ta có, thể tích khối hộp chữ nhật:
Định lý: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:
V=a.b.c =
Diện tích đáy x chiều cao
V=B.h
Ví dụ 3: Tinh thể tích khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Biết đỉnh A’ cách đều 3 đỉnh A, B, C và cạnh AA’ tạo với đáy một góc 45o.
Giải:
Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC canh a.
Theo bài ra: A’ cách đều 3 đỉnh A, B, C và cạnh AA’ tạo với đáy một góc 45o nên ta có A’O(ABC) và:
4. Thể tích khối lăng trụ:
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’. Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tại E’, đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’. Gọi V là thể tích khối lăng trụ đó.
a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.
b) Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp C.ABFE. Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chóp C.C’E’F’
Vấn đề 1: Tính thể tích của một khối đa diện
Phương pháp giải:
a) Chia KĐD đã cho thành các khối lăng trụ hoặc khối chóp đơn giản hơn.
b) Ghép thêm vào KĐD đã cho các khối đa diện quen biết để được một KĐD đơn giản hơn.
c) Tìm tí số thể tích giữa KĐD đã cho với một KĐD đã biết thể tích
1. Cho khối hộp chưa nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB=a, BC=b, AA’=c. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’. Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp đó thành hai khối đa diện (H), (H’), trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tìm thể tích của (H) và (H’).
2. Ví dụ:
Vấn đề 1: Tính thể tích của một khối đa diện
Phương pháp giải:
a) Chia KĐD đã cho thành các khối lăng trụ hoặc khối chóp đơn giản hơn.
b) Ghép thêm vào KĐD đã cho các khối đa diện quen biết để được một KĐD đơn giản hơn.
c) Tìm tí số thể tích giữa KĐD đã cho với một KĐD đã biết thể tích
2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy, cạnh bên . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’AB). Tính tan và thể tích khối chóp A’BB`C’C.
2. Ví dụ:
Vấn đề 2: Dùng cách tính thể tích để giải một số bài toán hình học.
Phương pháp giải:
a) Tính các đại lượng hình học của KĐD theo thể tích của KĐD ấy.
b) Dùng 2 cách tính thể tích của cùng một KĐD rồi so sánh chúng với nhau để rút ra đại lượng hình học cần tìm.
1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy.
Biết rằng AB=a, SA=b.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2. Ví dụ:
Vấn đề 2: Tìm tỉ số thể tích KĐD.
Phương pháp giải:
a) Tính thể tích cúa từng KĐD rồi lập tỉ.
b) Sử dụng chú ý với công thức:
1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết rằng AB=a, SB’/SB=2/3.
Tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
b) Tính thể tích của khối chóp S.A’B’C’.
2. Ví dụ: