Chương I. §4. Thể tích của khối đa diện

THỂ TÍCH CỦA
KHỐI ĐA DIỆN
BÀI 4
CHÖÔNG I :
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
_ Naém vöõng caùc coâng thöùc veà theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät, theå tích cuûa khoái choùp, theå tích cuûa khoái laêng truï.
_ Bieát aùp duïng caùc coâng thöùc tính theå tích ñeå tính theå tích caùc khoái ña dieän phöùc taïp hôn, baèng caùch phaân chia vaø laép gheùp caùc khoái ña dieän.
Laøm theá naøo ñeå ño theå tích cuûa moät Kim töï thaùp ?
Nhöõng Kim töï thaùp thôøi kì ñaàu ñöôïc xaây vaøo khoaûng 2750 tröôùc coâng nguyeân, chuùng ñöôïc goïi laø Kim töï thaùp baäc thang vì moãi maët cuûa noù khoâng thöïc söï laø nhöõng tam giaùc maø taäp hôïp nhöõng baäc thang ñaù to lôùn.
1) Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?
Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.
1) Theá naøo laø theå tích cuûa moät khoái ña dieän ?
Theå tích cuûa moät khoái ña dieän laø soá ño cuûa phaàn khoâng gian maø noù chieám choã.
Chuùng ta thöøa nhaän raèng moãi khoái ña dieän coù theå tích laø moät soá döông, thoûa maõn caùc tính chaát sau ñaây :
1) Hai khoái ña dieän baèng nhau thì coù theå tích baèng nhau.
2) Neáu moät khoái ña dieän ñöôïc phaân chia thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû thì theå tích cuûa noù baèng toång theå tích cuûa caùc khoái ña dieän nhoû ñoù.
3) Khoái laäp phöông coù caïnh baèng 1 thì coù theå tích baèng 1.
 SGK trang 23 :
V1
V2
V1 = V2
1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
V1
V2
A
B
C
D
V1 = V2
2) Neáu moät khoái ña dieän ñöôïc phaân chia thaønh nhieàu khoái ña dieän nhoû thì theå tích cuûa noù baèng toång theå tích cuûa caùc khoái ña dieän nhoû ñoù.
V = V1 + V2
3) Khoái laäp phöông coù caïnh baèng 1 thì coù theå tích baèng 1.
1
1
1
1 x 1 x 1 = 1 (ñôn vò theå tích)
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
Baøi 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
Giaû söû ta coù moät khoái hoäp chöõ nhaät vôùi ba kích thöôùc 8, 4, 3 nhö sau :
Baèng nhöõng maët phaúng song song vôùi caùc maët cuûa khoái hoäp, ta coù theå phaân chia noù thaønh caùc khoái laäp phöông coù caïnh baèng 1.
8
4
3
Neáu goïi 1 (ñôn vò theå tích) laø theå tích khoái laäp phöông coù caïnh baèng 1 (ñôn vò daøi) thì theå tích khoái hoäp chöõ nhaät coù kích thöôùc 8 x 4 x 3 baèng bao nhieâu ? Vì sao ?
Laøm sao ta coù theå ñeám ñöôïc coù bao nhieâu khoái laäp phöông ñôn vò nhö vaäy ?
V = 1 (ñôn vò theå tích)
Theo tính chaát 2, theå tích V cuûa khoái hoäp chöõ nhaät baèng toång caùc theå tích cuûa caùc khoái laäp phöông neân theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät treân baèng bao nhieâu ?
Coù bao nhieâu khoái laäp phöông ñôn vò trong khoái hoäp chöõ nhaät treân ?
8
4
3
Nhö vaäy, trong tröôøng hôïp ta coù moät khoái hoäp chöõ nhaät vôùi ba kích thöôùc a, b, c ñeàu laø nhöõng soá nguyeân döông.
Trong tröôøng hôïp a, b, c laø nhöõng soá döông tuøy yù (khoâng nhaát thieát phaûi laø soá nguyeân), ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng coâng thöùc noùi treân vaãn ñuùng. Nhö vaäy moät caùch toång quaùt, ta coù :
Chuù yù :
Theå tích cuûa moät khoái laäp phöông coù caïnh baèng a laø : V = a3
a
Baøi 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
V = abc
Ghi chuù : Theå tích khoái laäp phöông :
V = a3
A
B
C
D
S
S’
H
M
N


Xeùt khoái 8 maët ñeàu vôùi caùc ñænh S, S’, A, B, C, D.
Goïi M, N laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc SAB vaø SBC thì ñoaïn thaúng MN laø moät caïnh cuûa khoái laäp phöông.
 Baøi giaûi :
A
B
C
D
S
S’
H
M
N


S
B
C
D
S’
A
 Baøi giaûi :
 Baøi giaûi :
Xeùt khoái 8 maët ñeàu vôùi caùc ñænh S, S’, A, B, C, D.
Goïi M, N laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc SAB vaø SBC thì ñoaïn thaúng MN laø moät caïnh cuûa khoái laäp phöông.
Goïi M’ vaø N’ laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø BC thì M vaø N laàn löôït naèm treân SM’ vaø SN’ neân :
A
B
C
D
S
S’
H
M


N
Cho khoái laêng truï ñöùng coù chieàu cao baèng h, ñaùy laø tam giaùc vuoâng vôùi hai caïnh goùc vuoâng baèng a vaø b. Tính theå tích cuûa khoái laêng truï ñoù.
?1
 Baøi giaûi :
A
A’
C
B
C’
B’


a
b
h
Giaû söû ABC.A’B’C’ laø khoái laêng truï ñaõ cho.
Goïi O, O’ laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC vaø B’C’.
D’
D
Khi ñoù, pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng OO’ bieán khoái laêng truï ABC.A’B’C’ thaønh khoái laêng truï DCB.D’C’B’.
Khoái hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ (vôùi caùc kích thöôùc a, b, h) coù theå tích gaáp ñoâi theå tích khoái laêng truï ñaõ cho.
O
O’
Cho khoái laêng truï ñöùng coù chieàu cao baèng h, ñaùy laø tam giaùc vuoâng vôùi hai caïnh goùc vuoâng baèng a vaø b. Tính theå tích cuûa khoái laêng truï ñoù.
?1
 Caùch khaùc :
A
A’
C
B
C’
B’
a
b
h
Giaû söû ABC.A’B’C’ laø khoái laêng truï ñaõ cho.
Gheùp khoái laêng truï ñaõ cho ABC.A’B’C’ vôùi khoái laêng truï A1B1C1.A1’B1’C1’ baèng noù sao cho :
Khi ñoù, ta ñöôïc hình hoäp chöõ nhaät ABA1C.A’B’A1’C’ coù theå tích gaáp ñoâi theå tích khoái laêng truï ñaõ cho.
B1  C, C1  B, B1’  C’, C1’  B’,
A1  (ABC), A1’  (A’B’C’).
? Sđáy hay B : diện tích mặt đáy.
? h : chiều cao của khối chóp (h là khoảng cách từ đỉnh của khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối chóp)
H
h
Chuù yù :
 Töù dieän SABC coù ba caïnh SA, SB, SC vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät thì coù :
 Töù dieän ABCD coù ba caïnh AB, BC, CD vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät thì coù :
Baøi 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
V = abc
III. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
Ghi chuù : Theå tích khoái laäp phöông :
V = a3
Ghi chuù :
Töù dieän ABCD coù AB, BC, CD ñoâi moät vuoâng goùc :
Töù dieän ABCD coù SA, SB, SC ñoâi moät vuoâng goùc :
A
B
D
C
 Baøi giaûi :
H
Xeùt töù dieän ñeàu ABCD caïnh a, coù ñænh laø A vaø ñaùy laø tam giaùc ñeàu BCD coù caïnh baèng a.
Goïi H laø taâm cuûa tam giaùc ñeàu BCD, vì ABCD laø hình töù dieän ñeàu neân AH vuoâng goùc mp(BCD)  AH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp.
 Baøi giaûi :
Xeùt khoái taùm maët ñeàu ABCDEF caïnh a.
Goïi AO laø chieàu cao cuûa khoái choùp E.ABCD. Ta coù :
F
Chia khoái taùm maët ñeàu naøy thaønh hai khoái choùp töù giaùc ñeàu E.ABCD vaø F.ABCD caïnh a.
O
Tính theå tích khoái choùp E.ABCD
Tính theå tích V cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ bieát dieän tích ñaùy ABC baèng S vaø chieàu cao (khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng chöùa hai ñaùy) baèng h.
?2
Ñeå giaûi baøi toaùn, ta traû lôøi ba caâu hoûi sau :
a) Chia khoái laêng truï ABC.A’B’C’ thaønh ba khoái töù dieän bôûi caùc maët phaúng (A’BC’) vaø (A’BC), haõy keå teân ba khoái töù dieän ñoù.
b) Chöùng toû raèng ba khoái töù dieän ñoù coù theå tích baèng nhau.
c) Töø ñoù suy ra coâng thöùc V = S.h. Haõy phaùt bieåu thaønh lôøi coâng thöùc ñoù.
Tính theå tích V cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ bieát dieän tích ñaùy ABC baèng S vaø chieàu cao (khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng chöùa hai ñaùy) baèng h.
?2
a) Chia khoái laêng truï thaønh ba khoái töù dieän ñoù laø : A’.ABC, B.A’B’C’ vaø A’.BCC’.
b) Hai khoái töù dieän A’.ABC vaø B.A’B’C’ coù hai maët ñaùy baèng nhau (ABC = A’B’C’) vaø hai chieàu cao baèng nhau (ñeàu baèng chieàu cao h cuûa khoái laêng truï) neân chuùng coù theå tích baèng nhau.
Hai khoái töù dieän A’.BB’C’ vaø A’.BCC’ coù dieän tích ñaùy baèng nhau (BB’C’ = BCC’) vaø chieàu cao baèng nhau (baèng khoaûng caùch töø A’ ñeán mp(BCC’B’)) neân chuùng coù theå tích baèng nhau.
Vaäy theå tích ba khoái töù dieän noùi treân baèng nhau.
Tính theå tích V cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’ bieát dieän tích ñaùy ABC baèng S vaø chieàu cao (khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng chöùa hai ñaùy) baèng h.
?2
c) Khoái laêng truï ABC.A’B’C’ ñöôïc phaân chia thaønh ba khoái töù dieän coù theå tích baèng nhau A’.ABC, B.A’B’C’ vaø A’.BCC’.
Suy ra theå tích khoái laêng truï baèng ba laàn theå tích khoái choùp A’.ABC.
Vaäy theå tích khoái laêng truï tam giaùc baèng tích soá dieän tích ñaùy vaø chieàu cao.
 Xeùt khoái laêng truï coù ñaùy laø moät ña giaùc baát kì. Vì baát kì ña giaùc naøo cuõng coù theå phaân chia ñöôïc thaønh caùc tam giaùc khoâng coù ñieåm trong chung neân coù theå phaân chia khoái laêng truï ñoù thaønh caùc khoái laêng truï tam giaùc coù cuøng chieàu cao.
Toång caùc theå tích cuûa chuùng chính laø theå tích cuûa khoái laêng truï ban ñaàu.
A
B
C
D
E
A’
B’
C’
D’
E’
Töø ñoù suy ra ñònh lyù sau ñaây :
A
B
A’
C
 Baøi giaûi :
Vì hai khoái choùp C’.MNBA vaø C’.MNB’A’ coù cuøng chieàu cao vaø coù maët ñaùy baèng nhau neân VC’.MNBA baèng VC’.MNB’A’
B’
M
C’
Goïi V laø theå tích cuûa khoái laêng truï.
N
Baøi 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I. THẾ NÀO LÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN ?
(SGK trang 23)
II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
V = abc
III. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
IV. THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
Ghi chuù : Theå tích khoái laäp phöông :
V = a3
Ghi chuù :
Töù dieän ABCD coù AB, BC, CD ñoâi moät vuoâng goùc :
Töù dieän ABCD coù SA, SB, SC ñoâi moät vuoâng goùc :
 Caâu 1 : Cho (H) laø khoái laêng truï ñöùng tam giaùc ñeàu coù taát caû caùc caïnh baèng a. Theå tích cuûa (H) baèng :
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
HÌNH HỌC 12
 Caâu 2 : Toång dieän tích caùc maët cuûa moät hình laäp phöông baèng 96. Theå tích cuûa khoái laäp phöông ñoù laø :
 Caâu 3 : Neáu ba kích thöôùc cuûa moät khoái hoäp chöõ nhaät taêng leân k laàn thì theå tích cuûa noù taêng leân :
?
?
?
Baøi 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
ÖÙng duïng trong ñôøi soáng thöïc teá.
Baøi 4 :
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
ÖÙng duïng trong ñôøi soáng thöïc teá.
Laøm theá naøo ñeå ño theå tích cuûa moät Kim töï thaùp ?
Ñeå tìm theå tích cuûa Kim töï thaùp chæ coøn caùch laø tính toång theå tích cuûa töøng baäc hay moãi taàng, vôùi moãi taàng laø moät khoái hình hoäp chöõ nhaät ñöôïc taäp hôïp bôûi caùc khoái laäp phöông.
Xeùt moät Kim töï thaùp vôùi caïnh ñaùy baèng 10 vaø chieàu cao baèng 10. Ñænh laø moät khoái laäp phöông vaø caùc taàng laø laø moät khoái hình hoäp chöõ nhaät ñöôïc taäp hôïp bôûi caùc khoái laäp phöông.
caïnh ñaùy = chieàu cao
caïnh ñaùy = 1 + 1 = 2
caïnh ñaùy = 1 + 1 + 1 = 3
Theå tích cuûa taàng treân cuøng laø : V1 = B.h = (12).1 = 1
caïnh ñaùy = chieàu cao
caïnh ñaùy = 1 + 1 = 2
caïnh ñaùy = 1 + 1 + 1 = 3
Theå tích cuûa taàng thöù hai laø : V2 = B.h = (22).1 = 4
Theå tích cuûa taàng thöù ba laø : V3 = B.h = (32).1 = 9
Cöù tieáp tuïc theo caùch naøy thì theå tích cuûa kim töï thaùp laø :
. . .
. . .
Moät caùi hoäp coù kích thöôùc beân ngoaøi moãi caïnh baèng 6dm. Nhöõng maët beân vaø maët ñaùy cuûa caùi hoäp coù ñoä daày baèng 1/4 dm. Caàn bao nhieâu theå tích caùt ñeå laáp kín caùi hoäp ngang vôùi beà maët ñænh hoäp ?
Moät khoái ñöôïc taïo bôûi 100 khoái laäp phöông nhoû. Saùu maët ngoaøi cuûa khoái laø maøu xanh. Coù bao nhieâu khoái laäp phöông nhoû coù :
1) Moät maët maøu xanh.
2) Hai maët maøu xanh.
3) Ba maët maøu xanh.
4) Khoâng coù maët maøu xanh.
Hình sau goàm caùc hình laêng truï ñöùng. Haõy tính theå tích cuûa noù vôùi caùc kích thöôùc ñöôïc cho treân hình.
7
3
3
1
5
6
_ Laøm caùc baøi taäp 4 ñeán 6 trang 31 saùch Hình hoïc 12.
HƯỚNG DẪN Ở NHÀ
_ Laøm caùc baøi taäp 15 ñeán 25 trang 27 ñeán trang 29 saùch Hình hoïc 12.
_ Laøm hoaøn chænh caùc ví duï 1, 2, 3, 4 töø trang 24 ñeán trang 27 saùch Hình hoïc.
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12