Chương I. §4. Đường tiệm cận

Tiết:Tiệm cận
Thiết kế và thực hiện:Nguyễn Thị Vân
Giáo viên:THPT Trần Hưng Đạo
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
Quan sát vị trí của các đồ thị màu hồng với các đường thẳng màu vàng
2.Các loại tiệm cận
Giả sử d là một tiệm cận của đồ thị hàm số y = f (x)
a)Nếu d cùng phương với Oy ta gọi d là tiệm cận đứng..
b) Nếu d cùng phương với Ox ta gọi d là tiệm cận ngang.
c) Nếu d không thuộc hai loại trên ta gọi d là tiệm cận xiên.
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).
Định lý:Nếu lim f(x) = ?
x?x0
Thì d : x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
a) Tiệm cận đứng
Chứng minh
Định lý: Nếu lim f(x) = ?
x?x0
Thì d : x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
O
x
y
x0
M
x
y
H
lim f(x) = ? ? khi x?x0 thì y = f(x) ??
x?x0
=> M(x;y) ?? => đồ thị có nhánh vô cực
Khi đó MH = |x-x0|?0 (khi M(x;y) ??)
?
lim MH = 0 ? d có phương trình x = x0 là một tiệm cận đứng của (C)
M??
Chứng minh
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
Trắc nghiệm 1
Hàm số y =
x2 - 3x +1
x-3
(C)
Kết luận nào sau đây đúng?
a) (C) không có tiệm cận đứng.
b) (C) có tiệm cận đứng phương trình là : x =- 3
c) (C) có 2 tiệm cận đứng phương trình là : x = 3 và x = -3
d) (C) có tiệm cận đứng phương trình là: x = 3
d
Bài giải :
lim
x?3
x2 - 3x +1
x-3
=
?
(C) có tiệm cận đứng phương trình là: x = 3
3.Dấu hiệu tiêm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
b) Tiệm cận ngang
Định lý: Nếu lim f(x) = y0
x??
Thì d : y =y0 là tiệm cận ngang của (C).
Chứng minh
O
x
y
y0
M
x
y
H
MH = |y-y0|
Vì lim f(x) = y0 ? khi x?? thì y = f(x) ?y0 ? y-y0?0 ? MH?0
x??
=> d: y = y0 là một tiệm cận ngang của đồ thị (C)
Trắc nghiệm 2
Đồ thị hàm số nào có tiệm cận ngang
x2 - 3x +1
x-3
a)y =
- 3x +1
x-3
b)y =
- 3x +1
3
c)y =
x2- 3x +1
d)y =
b
Bài giải :
lim
x??
- 3x +1
x-3
=
- 3
(C) có tiệm cận ngang phương trình là: y = - 3
3.Dấu hiệu tiêm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
c) Tiệm cận xiên.
Cho đồ thị M(x;y) ? (C) dần tới vô cực thì cả hai tọa độ x và y đều dần
tới vô cực, Gọi d là đường thẳng có phương trình y = ax+b
Định lý:
d là một tiệm cận của (C) ?
lim [ f(x) - (ax+b)] = 0 (*)
x? -?
lim [ f(x) - (ax+b)] = 0 (**)
x? +?
lim [ f(x) - (ax+b)] = 0 (***)
x? ?
?Nếu thỏa mãn (*) => d là tiệm cận xiên trái của (C)
?Nếu thỏa mãn (**) => d là tiệm cận xiên phải của (C)
?Nếu thỏa mãn (***) => d là tiệm cận xiên hai bên của (C),
Nói tắt là tiệm cận xiên.
lim [ f(x) - (ax + b) ] = 0
x?+?
? d : y = ax + b là tiệm cận xiên của (C).
O
x
y
M
x
f(x)
H
P
Chứng minh
M (x ; f(x) )?(C),
P (x ; ax+b )? d
d
MH = d(M,d)
? Là góc giữa d và Ox(???/2)
Tam giác vuông MHP có MH = MP cos?
D là t/c của (C) ? lim MH = lim MP cos? = 0
M?+? M?+?
M?(C) M?(C)
Lim MH = 0
M?+?
M?(C)
lim [f(x) - ( ax+b)] = 0 (*)
x?+?
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
c) Tiệm cận xiên.
P
O
x
y
y = f(x)
d
M
x
f(x)
H
M (x ; f(x) )?(C)
P (x ; ax+b )? d
MH = d(M,d)
? Là góc giữa d và Ox(???/2)
Tam giác vuông MHP có MH = MP cos?
D là t/c của (C) ? lim MH = lim MP cos ? = 0
M?-? M?-?
M?(C) M?(C)
Lim MH = 0
M?-?
M?(C)
lim [f(x) - ( ax+b)] = 0 (**)
x? -?
lim [ f(x) - (ax + b) ] = 0
x?-?
? d : y = ax + b là tiệm cận xiên của (C).
Chứng minh
3.Dấu hiệu tiệm cận của đồ thị y = f (x).(tiếp)
c) Tiệm cận xiên.
Trắc nghiệm 3
Đồ thị hàm số nào có tiệm cận xiên
x2 - 3x +1
x-3
a) y =
- 3x +1
x-3
b)y =
- 3x +1
3
c)y =
x2- 3x +1
d)y =
a
Bài giải :
Ta viết lại y = x +
1
x-3
lim
x??
[(x +
1
x-3
) - x]=
lim
x??
1
x-3
= 0
(C) có tiệm cận xiên phương trình là: y = x
Bài I: Tìm tất cả các tiệm cận của các hàm số sau:
1) y =
x2 - 3x +1
x +1
2) y =
x2 - 5x +7
x -1
3) y =
x2 +4x +1
x
4) y =
x2 + 3x +3
1- 2x
5) y =
x2 - 2x +1
2x +1
6) y = x +1 +
1
x
7) y = -x +
1
x-3
8) y = -x +3 -
1
x-3
9) y = x +3 -
1
x-3
Bài II: Tìm tất cả các tiệm cận của các hàm số sau:
1) y =
- 3x +1
x +1
2) y =
- 5x +7
x -1
3) y =
4x +1
x
4) y =
3x +3
1- 2x
5) y =
- 2x +1
2x +1
6) y = 1 +
1
x
7) y =
1
x
8) y = 3 -
1
x-3
9) y = -3 -
1
x+3
mx3 - 1
x2 - 3x+ 2
Bài III:Tìm m để các hàm số sau:
1.y =
x2
x - m
có tiệm cận
2.y =
2x2-3x +m
x - m
không có tiệm cận đứng.
3.y =
x2+mx - 1
x - 1
có tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác
có diện tích bằng 8.
Bài IV:Tìm các tiệm cận tuỳ theo m của các hàm số sau:
1.y =
2x2-3x +m
x - m
2.y =
x+2
x2 - 4x+ m
3.y =
Bài V:
Lấy điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) của hàm số y = f(x) =
x2+3x - 1
x - 2
CMR:
Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) luôn không đổi
Trắc nghiệm 4