Chương I. §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 3
Thể tích của khối đa diện
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa của bộ GD-ĐT 2008
1. Khái niệm về thể tích khối đa diện :
*
Người ta đã chứng minh được : Có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thõa các tính chất sau :
a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1 : V(H) = 1 ( Gọi khối lập phương đơn vị )
b) Thể tích hai khôi đa diện (H) và (H’) bằng nhau thì bằng nhau V(H) = V(H’)
Nếu 1 khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện thì có thể tích của nó bằng tổng thể tích các khối đa diện phân chia
*
. Số dương V(H) nói trên gọi là thể tích của khối đa diện (H)
. Khối lập phương có cạnh bằng 1 gọi là khối lập phương đơn vị
. Bây giờ xét khối hộp chữ nhật có ba kích thước a ; b ; c .
* Ví dụ :
Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có 3 kích thước là những số nguyên dương
(H0)
(H1)
(H2)
(H3)
. Gọi (H0) là khối lập phương đơn vị
. (H1) là khối hộp chữ nhật có 3 kích thước : a = 5 b = 1 c = 1
. (H2) có : a = 5 b = 4 c = 1 . (H3) có : a = 5 b = 4 c = 3
*
Có thể chia (H1) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H0) ?
Lúc đó có :
*
Có thể chia (H2) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H1) ?
Lúc đó có :
*
Có thể chia (H3) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H2) ?

*
Lập luận tương tự suy ra thể tích của khối hộp chữ nhật (H)
* Định lý 1 :
Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích 3 kích thước
a
b
c
V = a.b.c
Hệ quả :
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a
V = a3
a
2. Thể tích của khối lăng trụ :
* Định lý 2 :
Thể tích của khối lăng trụ bằng
diện tích đáy B nhân đường cao h
B
h
V = B.h
Từ khối hộp chữ nhật : ABCD.A’B’C’D’ coi ABCD là đáy , AA’ là đường cao h thì cũng chứng minh được đúng với khối lăng trụ bất kỳ
A
B
C
D
D’
A’
B’
C’
h
B
3. Thể tích của khối chóp :
* Định lý 3 :
Thể tích của khối chóp bằng 1/3
diện tích đáy B nhân đường cao h
B
h
(Chỉ việc áp dụng vì người ta chứng minh rồi .)
Chú ý : Ta cũng gọi thể tích các khối đa diện , khối lăng trụ , khối chóp ở trên lần lượt là thể tích các hình đa diện , hình lăng trụ , hình chóp xác định chúng .
* Minh họa :
Kim tự tháp Kê ốp ở Ai Cập được xây dựng khoảng 2500 năm trước công nguyên . Kim tự tháp có khối chóp tứ giác đều cao 147 m , cạnh đáy dai 230 m . Hãy tính thể tích của nó ?
Áp dụng
4. Ví dụ 1 :
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Gọi E , F lấn lượt trung điểm của cạnh AA’ và BB’ . Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tại E’ . Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’ . Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.
Gọi khối đa diện là (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp C.ABEF . Tính tỉ số của khối (H) và của khối chóp C.C’E’F’
Giải :
Giải :
A
B
C
A’
B’
C’
E -
F -
E’
F’
a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V.
Hình chóp C. A’B’C’ có cùng đường cao hình lăng trụ ABC.A’B’C’
Vậy có
và
EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’
nên diện tích ABFE bằng nửa diện tích ABB’A’ .
Do đó :
b) Tính tỉ số thể tích
có
Theo Talét có diện tích
Vậy có
Do đó
Ví dụ 2 :
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ đáy ABC là là tam giác vuông cân đỉnh A . Mặt bên ABB’A’ là hình thoi cạnh a , nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy . Mặt bên ACC’A’ hợp với đáy 1 góc α . Tính thể tích hình lăng trụ
Giải :
A
A
B
C
B’
C’
A
A’
H

Hạ đường cao A’H
. AC = AB = AA’ = a
. SABC = ?
. Xét A’HA
. Vậy
Ví dụ 3 : câu hỏi trắc nghiệm
a) Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A’, B’ , C’ , D’ theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC , SD . Tỉ số thể tích 2 khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD bằng
A
B
C
D
b) Trong các mệnh đề sau – mệnh đề nào sai ?
M
Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
N
Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
P
Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
Q
Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
5. Củng cố và bài tập :
Bài tập về nhà 3 ; 4 ; 5 ; 6 trang 25 ; 26 sgk hh 12