Chương I. §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Tháng 9/2008
? THIẾT KẾ BÀI GIẢNG : LƯU PHƯỚC MỸ
CHƯƠNG I :
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
_ Nắm vững các công thức về thể tích của khối hộp chữ nhật, thể tích của khối chóp, thể tích của khối lăng trụ.
_ Biết áp dụng các công thức tính thể tích để tính thể tích các khối đa diện phức tạp hơn, bằng cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Bài 5 :
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN
Bài 1: Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 3 ; SB = SC = 4.
1> Tính thể tích của khối tứ diện ABC.
2> Tính diện tích tam giác ABC. Suy ra khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).
3
4
4
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
1> Thể tích của khối tứ diện ABC.
3
4
4
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
3
4
4
2> Tính diện tích tam giác ABC. Suy ra khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).
Tam giác SAC vuông tại S nên: AC2=SA2+SC2 = 9 + 16=25.
Vậy AC = 5
Tương tự : AB =5 và BC = 4?2
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì p =5 + 2?2
Áp dụng công thức Hê rông ta có diện tích của tam giác ABC là: SABC = 2?34
Gọi SH là khoảng cách từ S đến mp(ABC) thì :
?
?
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B.
Cạnh SA vuông góc với đáy. Biết :AB=a, BC=b và SA =c.
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Ta có SA?(ABC) và AB ?BS nên theo định lý ba đường vuông góc thì SB ? BC
Ta có:
Mặt khác, nếu gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC) thì:
Từ (1) và (2)ta có:
?
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A`B`C`D` có AB = a ; BC= 2a và AA` = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho MA = 3 MD
1> Tính thể tích khối chóp M.AB`C.
2> Tính khoảng cách từ M đến mp(AB`C)
Thể tích khối chóp M.AB`C bằng
thể tích khối chóp B`.ACM.
a
2a
Từ giả thiết: MA = 3 MD?MA=3a/2
Do đó :SAMC=MA.CD/2 = 3a2/4
Vậy : V M.A`BC=(1/3). S ACM .BB` =a3/4 (1)
1> Tính thể tích khối chóp M.AB`C.
M
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
a
2a
M
2> d(M;(AB`C))
Goi h=d(M;(AB`C).
Khi đó:
Tam giác AB`C có : AB`=a?2 ; AC = CB`= a?5
Do đó nửa chu vi là p =a?5 + (a?2 )/2
Theo Hê rông, ta có: SAB`C = 3a2/2
Vậy:
Từ (1) và (2) suy ra :
?
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A`B`C` có đáy ABC là một tam giác vuông tại A; AC = b ; góc C = 60o. Đường chéo BC` của mặt bên BB`C`C tạo với mp(AA`C`C) một góc bằng 30o.
1> Tính độ dài đoạn AC`.
2> Tính thể tích của khối lăng trụ.
Vì BA ? AC (?ABC vuông)
và BA ? AA` ( AA` ? (ABC))
Nên: BA ?(AA`C`C)
Do đó :
Vì:?BAC và ?BAC` vuông tại A nên:
1> Tính độ dài đoạn AC`.
AB =AC tanC = b tan60o = b?3
AC`=AB cotC` = b?3.cot30o =3b
Vậy : AC`=3b
30o
60o
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 4: Cho hình lăng rụ đứng ABC.A`B`C` có đáy ABC là một tam giác vuông tại A; AC = b ; góc C = 60o. Đường chéo BC` của mặt bên BB`C`C tạo với mp(AA`C`C) một góc bằng 30o.
1> Tính độ dài đoạn AC`.
2> Tính thể tích của khối lăng trụ.
2> Tính thể tích khối lăng trụ:
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
1> Biết AB = a và SA = m. Tính thể tích khối chóp.
2> Biết SA = m và góc giữa mặt bên với đáy bằng k. Tính thể tích khối chóp.
1> Tính t hể tích biết AB=a;SA=m:
S
A
C
B
O
Gọi I là trung điểm AB và O là tâm của đáy thì SO?(ABC).
I
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
2> Biết SA = m và góc giữa mặt bên với đáy bằng k. Tính thể tích khối chóp.
A
B
D
C
O
Gọi b là cạnh đáy. Góc giữa mặt bên và đáy là góc SIO=k.
I
Tam giác SAO vuông tại O nên :
?
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA =a; đáy là tam giác vuông cân có AB=BC=a. Gọi B` là trung điểm của SB ; C` là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
1> Thể tích khối chóp S.ABC:
Diện tích ?ABC là :SABC = a2/2
1> Tính thể tích khối chóp S.ABC
2> Chứng minh : SC vuông góc với mp(AB`C`)
3> Tính thể tích khối chóp S. AB`C`
Thể tích khối chóp S.ABC là :
V =(1/3).(a2/2). a = a3/6 ( đvtt)
2> SC vuông góc với mp(AB`C`)
B`
C`
BC?ABvà BC?SA?BC?(SAB)?BC?AB`
AB`?SBvàAB`?BC?AB`?(SBC)?AB`?SC
SC?AB` va CS�?AC`?SC?(AB`C`)
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
3> Tính thể tích khối chóp S. AB`C`
B`
C`
Ta có :
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 7: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A`B`C`D` có AB = a ; BC= b và AA` = c.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B`C` và C`D`. Mặt phẳng (EAF) chia khối hộp đó thành hai khối đa diện (H) và (H`), trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A`.
Tính thể tích của (H) và (H`)
Gọi (K) là tứ diện AA`IJ.
c
b
Khi đó : V(H) = V(K) - VL.B`IE - VM.D`JF
Vì EB`=EC và B`I ||C`F nên B`I=C`F=A`B`/2
Theo định lý Ta let
Giả sử đường thẳng EF cắt đường thẳng A`B` tại I và cắt đường thẳng A`D` tại J. AI cắt BB` tại L, AJ cắt Đ` tại M.
M
Tương tự : D`J = A`D`/2
Và:
Do đó
Tương tự :
Vì
Nên
J
F
E
L
I
a
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau có AC là đường vuông góc chung. Biết rằng AC=h ; AB = a ; CD = b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60o. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Dựng BE || CD và BE=CD
Khi đó ABE.FDC là một lăng trụ đứng.
E
F
Vì : SABE =(1/2).ab sin 60o=ab?3 /4
Suy ra: VA.BCD= VA.BCE = abh.?3 /12
Dựng DF || BA và DF=BA
Và VC.ABE =(1/3).(ab?3 /4)h=abh.?3 /12
Khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD chính là góc ABE và bằng 60o.
Ta có :VABCD=VA.BCD =VC.ABE
60o
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 9: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạch bên SA vuông góc với đáy, SA= (a?6)/2.
Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).
Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích tam giác SBC.
a) Gọi H là trung điểm của BC
Khi đó: BC ? (SAH) ? BC ? AK
Vậy AK là khoảng cách từ A tới mp(SBC)
?SAH vuông tại A có AK là đường cao nên:
Ta có: BC ? AH và BC ? SA
?ABC là tam giác đều cạnh a nên: AH= a?3/2
Hạ AK ? SH
Do đó: AK ? BC và AK ? SH ? AK ? (SBC)
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
b) Ta có:
Mặt khác:
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A`B`C` có đáy ABC là tam giác cân với AB= AC= a và góc BAC= 120 �, cạnh AA`= a. Gọi I là trung điểm của CC` (1.46_NVPhuoc)
a) Chứng minh rằng ?AB`I vuông tại A.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A`B`C` .
a)Trong ?ABC, áp dụng định lý cosin, ta có:
?B`C`I vuông tại C` nên:
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
?ABB` vuông tại B nên :
AB` = AB?2 = a?2
?ACI vuông tại C nên:
Như vậy ta có:
Suy ra: ?AB`I vuông tại A.
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
b) Ta có:
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB=a, BC=2a. Cạnh SA ? (ABC) và SA=2a. Gọi M là trung điểm của SC
a) Chứng minh rằng ?AMB cân tại M.
b) Tính diện tích ?AMB.
c) Tính thể tích khối chóp S.AMB, suy ra khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB)(1.47_NVPhuoc)
a) Ta có:
SA ? (ABC) và AB ? BC ? SB ? BC ( định lí 3 đường vuông góc)
?SBC vuông tại B và BM là trung tuyến nên : BM = SC/2
Tương tự : AM = SC/2
Do đó: AM = BM
Vậy ?AMB cân tại M
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
b) ?ABC vuông tại B nên:
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó: MH ? AB
?SAC vuông tại A nên:
?AHM vuông tại H nên:
Bài 5 :
Bài tập về :THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
b) Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích khối chóp S.AMB và S.ABC
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó: MH ? AB
?AHM vuông tại H nên: