Chương I. §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài tập thể tích của các khối đa diện
Nhóm 2
Sư phạm Toán- Tin K35
Bài tập hình hộp chữ nhật
Bài 1.1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D?
Bài 1.2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ,
,AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD.
a)Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D
b)Tính thể tích khối OBB’C’
Bài 1.3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng cm2. Tính thể tích hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ .
Bài 1.4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Biết AB = 4cm, AC = 5cm và A’C = 13cm. Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó.
Bài tập hình chóp
Bài 2.1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy SA = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC ?
Bài 2.2: Một hình chóp tứ giác đều ở bên trong một lăng trụ đứng tứ giác đều cạnh a(cạnh đáy và chiều cao bằng nhau). Tính tỉ số thể tích của hình lăng trụ và hình chóp đó.
Bài 2.3. Hình chóp tam giác S.ABC, mặt SCB vuông góc với đáy, các cạnh SC = SB = 1, các góc phẳng ở đỉnh đều bằng 60o. Tính thể tích của hình chóp.
( Đề thi học sinh giỏi toán toàn miền bắc, 1963-1963)

Bài 2.4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông với O là giao điểm của hai đương chéo. Biết AB = a, SA =
Tính SO và thể tích của hình chóp đó.
Bài tập hình lăng trụ
Bài 3.1. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’, có các cạnh bằng a.Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC ?
Bài 3.2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, biết đường chéo của một mặt bên tạo với cạnh bên một góc 300. Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 3.3. Cho lăng trụ đứng ngũ giác với các kích thước ở hình bên (đơn vị xentimet). Hãy tính thể tích của lăng trụ.
5
7
4
2
Bài 3.4. Đáy của một lăng trụ đứng là tứ giác, các kích thước cho theo hình bên.
Biết chiều cao của lăng trụ là 10cm. Hãy tính thể tích của lăng trụ đó.
B
A
H
D
C
K
3 cm
4 cm
8 cm
Bài tập dành cho các nhóm
Nhóm 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’? (bài 1.1)
Nhóm 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng cm2. Tính thể tích hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. (b1.3)

Nhóm 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , ,AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD.
a)Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’.
b)Tính thể tích khối OBB’C. (bài 1.2)

Nhóm 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, biết đường chéo của một mặt bên tạo với cạnh bên một góc 300. Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’. (b 3.2)


Nhóm 6: Đáy của một lăng trụ đứng là tứ giác, các kích thước cho theo hình bên.Biết chiều cao của lăng trụ là 10cm. Hãy tính thể tích của lăng trụ đó. (b 2.4)
B
A
C
D
K
H
3 cm
4 cm
8 cm
Bài giải 1
Bài1.1
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’
+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,
AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
Khối CB’D’C’ có

+ Khối lập phương có thể tích:

Bài 1.2
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
Ta có :
Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên:
Bài 1.2(tt)
b) M là trung điểm BC
Ta có +

+

+

Bài 1.3

Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Theo định lý Pitago trong tam giác ABC
Ta có:
AC2 = AB2 + BC2  AC = =
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ACC’A’ là hình chữ nhật.
SACC’A’ = AC.CC’ = = =  a = 5.
Vậy thể tích hình lập phương là:

A
B
C
D
C’
A’
D’
B’
V = a3 = 53 = 125 (cm3).
Bài 1.4

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta được:
BC2 =AC2 – AB2 = 52 – 42 = 9 BC = 3 (cm)
Ta có A’AC vuông. Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông A’AC ta được:
A’A2 = A’B2- AB = 132 – 52 = 144  A’A = 12 (cm)
Thể tích của hình hộp là:
B’
A
A’
B
C’
C
D’
D
V = AB . BC . A’A = 4.3.12=144 (cm3)
Bài giải 2
Bài 2.1:
A
B
S
C
a
Ta có:
+ SA = a

+


Vậy:
Bài 2.2
Ta có : SO là đường cao của hình chóp S.ABCD.
vuông cân:


Tam giác SAO vuông, ta có

SABCD= a3 . Vậy
A
B
C
S
D
O
Bài 2.3
Vì SBC vuông góc với mặt đáy, nên đường cao SH của mặt bên chính là đường cao của hình chóp.
Các mặt bên ASB và ASC là những tam giác bằng nhau(c.g.c) AB=AC
BAC là tam giác cân, trung tuyến AH đồng thời là đường cao, tức AH vuông gốc với BC:
và

S
B
C
A
H
V = SABC.SH
Từ tam giác vuông ABC ta có
(1)
Bài 2.3 (tt)
Mặt khác, từ tam giác ASC theo định lí hàm cosin ta có:


Từ (1) và (2) ta có



Vậy:
(2)
Bài 2.4
Ta có:
Vlăng trụ = SABC.AA’ = a2.a =a3
Vhình chóp=
Suy ra

Vậy Vlăng trụ= 3Vhình chóp
B
C
D
A
A’
B’
C’
D’
S
Bài giải 3
Bài 3.1:
B’
A’
C’
A
B
C
I
Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC cân, nên CI là đường cao tam giác ABC
Suy ra CI là chiều cao tứ diện A’B’.Ta có




Do đó
Bài 3.2
Ta có:
V = Sđáy . h
h= BB’.
Mà tan 300 =  BB’ = = =

Đường cao trong tam giác đều là :

SABC = = = (đvdt)

Vậy VABC.A’B’C’= (đvtt)
A
C
B
A’
B’
C’
H
Bài 3.3
Lăng trụ đã cho gồm một hình hộp chữ nhật và một lăng trụ đứng tam giác có cùng chiều cao.
Thể tích hình hộp chữ nhật:
V1 = 4.5.7 = 140 (cm3).

Thể tích lăng trụ đứng tam giác:
V2 = .5.2.7 = 35 (cm3).

Thể tích lăng trụ đứng ngũ giác:
V = V1 + V2 = 175 (cm3).
7
4
5
2
Bài 3.4
Ta có: h = 10(cm)
SABC = .BH.AC

= .3.8 = 12 (cm2)

SADC = .DK.AC = .4.8 = 16 (cm2)

SABCD = SABC + SADC = 28 (cm2)
Vlăng trụ = 28.10 = 280 (cm3)
D
A
C
C’
B’
A’
B
D’
H
K