Chương I. §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3 :
Giáo viên :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT
I - ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D ,
nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f(x0) = M
kí hiệu : M = max f(x)
D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D ,
nếu f(x) ≥ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f(x0) = m
kí hiệu : m = min f(x)
D
Ví dụ 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
trên khoảng ( 0 ; + ∞)
Giải :
Trên (0 ; + ∞) có :
Bảng biến thiên :
x
0
1
+ ∞
y’
y
+


0
+ ∞
-1
+ ∞
Từ bảng biến thiên trên khoảng (0 ; + ∞) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số
Vậy min f(x) = - 3 ( tại x = 1)
(0 ; + ∞)
Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0 ; + ∞)
II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Đặt vấn đề :
Xét tính đồng biến , nghịch niến và Tính giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số :
a) y = x2 trên [-3 ; 0] b)
trên [3 ; 5]
a) y = x2 trên [-3 ; 0]
Giải :
Trên [-3 ; 0]) có : y’ = 2x và y’ = 0  x = 0
Bảng biến thiên :
x
-3
0
y’
y


0
9
0
trên [3 ; 5]
Trên [3 ; 5]) có : y’ =
y’ < 0
Bảng biến thiên :
x
3
5
y’
y


2
3/2
1. Định lý :
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó .
Thừa nhận định lý này
Ví dụ 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin x trên
Giải :
a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn
O
x
y
|
|
|
|
|
1 
-1 
|
Tính các giá trị hàm số
Trên
Có :
Từ đó có :
b) Tương tự xét trên
Có :
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn
Cho hàm số :
Có đồ thị như hình vẽ . Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2 ; 3] và nêu cách tính .
O
x
y
|
|
|
-2 --
|
-1
-2
1
2
3
-1 --
1 --
2 --
3 --
Nêu cách tính
Có nhận xét (Đọc sgk trang 21 )
QUY TẮC :
1) Tìm các điểm x1 ; x2 ; … xj trên khoảng (a ; b) tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định
2) Tìm f(a) ; f(x1) ; f(x2) ; … ; f(xj) ; f(b)
3) Tìm số lớn nhất M ; số nhò nhất m các số trên và có
Chú ý :
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó . Ví dụ :
Không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng ( 0 ; 1)
Tuy nhiên cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 1 khoảng như ví dụ sau :
Ví dụ 3 .
Cho tấm tôn nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau , rồi gấp tấm nhôm như hình vẽ để được cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất .
a

Giải :
Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt bỏ 
Thể tích khối hộp là :
Ta phải tìm x0 
sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất .
Có V’(x) = (a-2x)(a-6x) và trên
; V’(x) = 0 
Bảng biến thiên :
x
0
V’(x)
V(x)
0
+
─
0
0
Hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất .
*Ví dụ .
Lập bảng biến thiên của hàm số
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R ;
f’ (x)= 0 
Bảng biến thiên :
x
- ∞
f’
f
0
+∞
0
─
0
Vậy hàm số :
+
Bài trắc nghiệm :
Giá trị lớn nhất của hàm số : y = x4 - 3x2 + 2 trên đọan [ 0 ; 3 ]
A
16
B
26
C
36
D
56
Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 23 và 24 sgk GiẢI TÍCH 12
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định