Chương I. §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

§3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Copyright by Lờ Th? Huong Chi
Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D.
a, Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của y=f(x) trên D nếu:
x
y
M
x0
x
f(x)
O
D
Ký hiệu: M=max f(x)
D
b,Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y=f(x) trên tập D nếu:
Ký hiệu: m=min f(x)
D
x
y
x0
x
f(x)
D
O
m
I. Định nghĩa
CĐ, CT chỉ xét trên lân cận của điểm xo (mang tính địa phương).
GTLN, GTNN xét trên phạm vi rộng hơn.

Giữa hai khái niệm CĐ và GTLN; CT và GTNN có gì giống và khác nhau?
x
y
M
x0
xCT
O
D
m=yCT
Từ ĐN suy ra phương pháp tìm GTLN, GTNN trên D ?
Tìm số M, c/m f(x)≤M thì M là GTLN của h/s trên D.
Tìm số m, c/m f(x)≥m thì m là GTNN của h/s trên D.
II. GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Bài toán:Cho hàm số y=f(x) liên tục trên (a,b)(a có thể là-∞, b có thể là + ∞). Hãy tìm max f(x),min f(x) nếu chúng tồn tại.

Cách giải:
*Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
*Kết luận.




(a,b)
(a,b)
Chú ý:Khi trên (a,b) chỉ có một cực trị :

-Nếu cực trị là CĐ thì giá trị CĐ cũng là GTLN của h/s trên (a,b)

-Nếu cực trị là CT thì giá trị CT cũng là GTNNcủa h/s trên (a,b)


x
x
y
y
a
a
b
b
x0
x0
M
m
Ví dụ 1.Cho h/s f(x)=4x3-x4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên R

Giải:
y’=12x2 -4x3=4x2(3-x)
y’=0 x=0, x=3
Vậy: max f(x)=27;

min f(x) không tồn tại
x
y’
y
-∞
0
3
+∞
0
0
+
+
-
27
R
R
-∞
-∞
VD2.Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m2, xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất
Giải.
Gọi độ dài một cạnh là x (x>0), cạnh kề nó là
Chu vi hcn C=2(x+ ). Xét h/s y=(x + ) trên (0,+∞)
y’= , y’= 0
Vậy hcn có chu vi nhỏ nhất
là hình vuông cạnh bằng
m.
x
y’
y
0
+∞
0
+
-
+∞
+∞
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x)=2x3+3x2-1 tìm GTLN, GTNN của f(x) trên:
a, b, (-2,1)
Giải:
y’=6x(x+1)= 0

a,




Max f(x)=0 đạt tại x=-1; min f(x)=-1 đạt tại x=0

-1
0
x
y’
y
0
0
0
0
-1
-1
-
+
+
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x)=2x3+3x2-1 tìm GTLN, GTNN của f(x) trên:
a, b, (-2,1)
b, (-2,1)







Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: H/s không có GTLN, GTNN trên (-2,1)
x
y
y’
-2
1
-1
0
0
0
0
-1
4
-5
-
+
+
Nhận xét sự của max f(x), min f(x) ?
(a,b)
(a,b)
GTLN, GTNN của một hàm số trên khoảng có thể có, có thể không.
III.GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Bài toán: Cho h/s y=f(x) liên tục trên [a,b] và có hữu hạn điểm tới hạn trên [a,b]. Tìm , .
Cách giải
C1: b1-Lập BBT của hàm số trên [a,b]
b2- Dựa vào BBT để kết luận .
Nhận xét: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì . luôn tồn tại.
Quan sát các hình vẽ sau



Nhận xét







y
x
a
b
M
m
a
b
O
O
m
M
y
f(b)
max f(x)=f(a), min f(x)=f(b)
[a,b]
[a,b]
max f(x)=fCĐ,
min f(x)=f(a)
[a,b]
[a,b]
Nhận xét
Nếu f(x) không có điểm tới hạn nào trên [a,b] thì max, min đạt tại các đầu mút a và b.
Nếu f(x) có một số điểm tới hạn trên [a,b], các điểm tới hạn chia [a,b] thành nhiều đoạn nhỏ. Trên các đoạn nhỏ đó lại không có điểm tới hạn nào do đó max là số lớn nhất, min là số nhỏ nhất trong các giá trị của f(x) tại các điểm tới hạn và tại a, b.
Cách 2
b1-Tìm các điểm tới hạn x1,x2,…..,xn của f(x) trên [a,b]
b2-Tính f(a),f(x1), f(x2),……, f(xn), f(b).
b3-Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M= m=

Bài toán: Cho h/s y=f(x) liên tục trên [a,b] và có hữu hạn điểm tới hạn trên [a,b]. Tìm , .
Cách giải
C1: -Lập BBT của hàm số trên [a,b]
- Dựa vào BBT để kết luận .

C2: -Tìm các điểm tới hạn x1,x2,…..,xn của f(x) trên [a,b]
-Tính f(a),f(x1), f(x2),……, f(xn), f(b).
-Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M= m=


VD4.Tìm GTLN,GTNN của h/s f(x)=2x3+3x2-1 trên:
a, [-2,1] b, [1,3)
Giải: f’(x)=6x(x+1); f’(x)=0 x=-1, x=0. Vậy các điểm tới hạn là x=-1, x=0.
a, -1, 0 [-2,1]: f(-2)=-5; f(-1)=0; f(0)=-1; f(1)=4.
Vậy max f(x)=f(1)=4; min f(x)=f(-2)=-5.

b,Xét BBT: h/s đồng biến
trên [1,3).
Ta thấy min f(x)=f(1)=4;
max f(x) không tồn tại.

[-2,1]
[-2,1]
1
3
x
y
y’
4
80
+
[1,3)
[1,3)
VD5.Cho h/s y= . Tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Giải.
D=[0,6]; y’=
y’=0 2x=4(6-x)
x=4
y(0)= ; y(6)= ; y(4)=
Vậy GTNN là ,GTLN là
VD6. Cho tìm GTLN, GTNN của h/s trên R.
Giải.

Đặt , điều kiện



Max y=f(2)=5; min y=f(1)=3

t
f’(t)
f(t)
1
2
0
3
5
+
R
R
VD7.Xác định m để phương trình: 2lnx-x2=m có nghiệm nhỏ hơn 2
f’(x)= , f’(x)=0 x=1

Với x (0,2) thì miền giá trị của h/s là ( ,-1). Vậy phương trình có nghiệm nhỏ hơn 2 khi m ≤ -1
x
y’
y
0
1
2
0
+
-
-∞
-1
2ln2-4
Giải
Đặt y=f(x)=2lnx-x2 (x>0).
Ta xét sự biến thiên của h/s trên (0,2)

-∞

VD8. Xác định m để phương trình:
ex(-x2+4x-1)=m có nghiệm dương.
Giải
Ta khảo sát h/s: y= f(x)=ex(-x2+4x-1) trên (0,+∞)
f’(x)=ex(-x2+2x+3)=ex(-x-1)(x-3)

f’(x)=0





Vậy phương trình có nghiệm dương khi m≤2e3.
x
y’
y
0
3
+∞
0
+
-
-1
2e3
-∞

Củng cố
Cho h/s y= f(x) xác định trên D








Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số
Trên (a,b) hoặc [a,b)
-Lập BBT của hàm số.
-Dựa vào BBT để kết luận
Trên [a,b].
C1-Lập BBT kết luận.
C2 -Tìm các điểm tới hạn x1,x2,…..,xn của f(x) trên [a,b]
-Tính f(a),f(x1), f(x2),……, f(xn), f(b).
-Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M= m=





XIN CảM ƠN