Chương I. §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:
x D : f(x) ≤ M
 x0 D : f(x0) = M
Kí hiệu : M =

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu:
x D : f(x) ≥ m
 x0 D : f(x0) = m
Kí hiệu : m =

2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b). Hãy tìm GTLN-GTNN (nếu chúng tồn tại.)
Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a; b) rồi dựa vào đó mà kết luận
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) =
Giải: Xét hàm số y = f(x) trên (0;+∞)
Ta có: y’=
Xét y’ = 0  x2 - 1 = 0  x = 1, x = -1 (loại)
Ta có bảng biến thiên
x
y’
y
0
1
+∞
-3
0
-
+
Kết luận:

Ví dụ 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a.Người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gập tấm nhôm lại(hình vẽ) để được một hộp không nắp. Tìm cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp lớn nhất
Gọi x là cạnh của hình vuông bị cắt, khi đó x phải thỏa mãn 0 < x < a/2
Khi đó: Thể tích khối hộp là
V(x) = x.(a-2x)2
Bài toán trở thành: Tìm GTLN của hàm số V(x) = x.(a-2x)2 trên khoảng ( 0; a/2)
Ta có: V’(x) = 12x2 – 8ax + a2
V’(x) = 0  x = a/6 , x = a/2 ( loại)
Bảng biến thiên:
x
V’(x)
V(x)
0
a/2
a/6
0
-
+
Kết luận:
Thể tích hình hộp lớn nhất khi cạnh của hình vuông bị cắt bằng a/6
Ví dụ 3: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = x4 + ( 1-x)4
TXĐ: R.
Đạo hàm y’ = 4x3 – 4(1-x)3 = 4 (2x – 1)(x2 – x + 1).
y’= 0  2x – 1 = 0  x = ½
Bảng biến thiên
x
y’
y
0
-
+
Kết luận: GTNN của hàm số bằng 1/8, không có GTLN
Ví dụ 4. Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau
y = x3 + 3x2 – 4 trên khoảng (-4; 2)
Ta có: y’ = 3x2 + 6x; y’ = 0  x = -2 , x = 0.
Bảng biến thiên:
x
y’
y
-4
-2
0
2
0
0
+
-
+
0
-4
16
-20
Kết luận: Không có GTLN & GTNN của hàm số đã cho trên khoảng (-4; 2)
Ví dụ 5: Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau
y = x3 + 3x2 – 4 trên khoảng (-3; 1)
-3
1
-4
0
Kết luận:
Trên khoảng (-3; 1) Hàm số đạt GTLN bằng 0 và GTNN bằng -4
Chú ý: - Nếu trên khoảng (a; b) hàm số có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) thì giá trị cực đại đó là GTLN(giá trị cực tiểu đó làGTNN) của hàm số đã cho trên khoảng (a; b)
Bài tập.
Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra
y = 1 + 8x – 2x2 trên R
y = 4x3 – 3x4 trên R
y =
y =