Chương I. §2. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện

BÀI 1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
1. Khối đa diện . Khối chóp, khối lăng trụ
Mỗi hình trên đều có hai đặc điểm :
Gồm một số hữu hạn đa giác phẳng
b) Phân chia không gian thành hai phân : Phân bên trong và phần bên ngoàicủa hình đó.
Giả sử  là hình có hai đặc điểm trên. Khi đó mỗi điểm thuộc phần bên trong của nó đuọc gọi là điểm nằm trong hình H.
Hình H cùng vói điểm nằm trong H đuọc gọi là Khối đa diện giới hạn bởi hình H.
Từ đây trở đi, ta chỉ xét các khối đa diện giới hạn bởi hình H gồm một số đa giác phẳng thỏa mãn hia điều kiện :
1) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
2) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Hình H gồm các đa giác như thế được gọi là một hình đa diện, hoặc đon giản là đa diện.
2. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Ví dụ 1 :
Cho khối chóp tứ giác S.ABCD. Ta hãy xét hai lhối chóp tam giác S.ABC và S.ACD. Dễ thấy rằng:
Hai khối chóp đó không có điểm chung, nghĩa là điểm trong của khối đa diện nàykhông phỉa là điểm trong của khối đa diện kia.
Hợp của hai khôi chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.
BÀI 2 PHÉP ĐỐI XỨNG QUA MẶT PHẲNG VÀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Phép biến hình trong không gian được định nghĩa tương tự như trong mắt phẳng:
Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M ( trong không gian), xác định được một điểm M’duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. ta còn nói F biến điểm M thành điểm M’ và kí hiiệu M’ = F(M)
Định lí 1
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hai điểm M, N lần lươt thành hai điểm M’, N’ thì MN = M’N’.
Định nghĩa 1
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trưc của đoạn thẳng MM’.
1. Phép đối xứng qua mặt phẳng
2. Mặt phẳng đối xứng của một hình
Định nghĩa 2
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình H thành chính nó thì (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình H.
Một số ví dụ
Ví dụ 1
Mọi mặt phẳng qua tâm của mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu.
Ví dụ 2
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD thì phép đối xứng qua mặt phẳng (ABM) biến A thành A, B thành B, C thành D, D thành C. như vậy, phép đối xứng đó biến tứ diện ABCD thành chính nó, suy ra mặt phẳng (ABM) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD.
Hình tứ diện đều ABCD có sáu mặt phảng đối xứng. Dó là các mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện.
3. Hình bát diện đều và mặt phẳng đối xứng của nó
Tính chất
Bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng và đó làmột mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều ABCDEF.
4. Phép dời hình và sự bằng nhau của các hình
Phép dời hình trong không gian được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Định nghĩa phép dời hình
Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì ( nghĩa là nếu f biến hai điểm bất kì M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN).
Hiển nhiên phép đối xưng qua mặt phẳng là một phép dời hình.
Phép đồng nhất (biến mỗi điểm thành chính nó) là một phép dời hình.
Nếu thực hiện liên tiếp các phép dời hình thì ta cũng có kết quả là phép dời hình. Nói cách khác : Hợp thành của những phép dời hình là phép dời hình.
Một số ví dụ về phép dời hình
Phép tịnh tiến :
Phép đối xứng qua đường thẳng
Phép đối xứng qua một điểm
Định nghĩa hai hình bằng nhau
Hai hình H và hình H’ gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Ví dụ
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi A’, B’, C’, lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA và AB. Khi đó hai tứ diện SABA, và SBCB’ bằng nhau.
Định lí 2
Hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’, Ac = A’C’, BD = B’D’
Hệ quả 1
Hai tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau
Hệ quả 2
Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau