Chương I. §2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

CH1: Thế nào là một đa giác lồi?
TL1: Đa giác lồi là đa giác mà đường thẳng đi qua một cạnh bất kì luôn chia mặt phẳng thành hai nửa, một nửa chưa toàn bộ đa giác
CH2: Lấy một số ví dụ về đa giác lồi?
Các hình sau không phải là đa giác lồi:
TL 2:Các đa giác lồi như hình vuông, hình chữ nhật, hình lục giác đều…
I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Định nghĩa:Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác, khối hộp, khối chóp…
Người ta chứng minh được rằng các khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa mặt của nó.
D
A
B
C
Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thức tế.
Hình hộp là đa diện lồi
Chữ T là khối đa diện không lồi
Ta thấy các mặt của nó là các tam giác đều, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng ba mặt.
Quan sát khối tứ diện đều ABCD
Quan sát khối lập phương ABCD.A’B’C’D’
Ta thấy các mặt của nó là hình vuông, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng ba mặt.
Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn tính chất sau đây :
Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p;q}.
Định lý
Chỉ có năm loại đa diện đều. Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại {5;3}, loại {3;5}.
HĐ2: Đếm số đỉnh và số cạnh của khối bát diện đều.
TL: Có 6 đỉnh và 12 cạnh
Loại {3;3} có 4 đỉnh, 6 cạnh và 4 mặt
Loại {4;3} có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt
Loại {3;4} có đỉnh, 12 cạnh và 8 mặt
Loại {5;3}, có 20 đỉnh, 30 cạnh và 12 mặt
Một số khối đa diện đều
Loại {3;5} có 12 đỉnh, 30 cạnh, và 20 mặt
Chứng minh rằng:
a) Trung điểm của các cạnh của một tứ diện đều là đỉnh của một hình bát diện đều
b) Tâm các mặt hình lập phương là các đỉnh của một bát diện đều.
Bài Giải
a) Cho tứ diện ABCD,cạnh bằng a. Gọi I, J, E, F, M, và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, BC, CD và DA
*)Xét tam giác IEF: Có IF, EF, IE là đường trung bình của tam giác đều CAB nên IF=FE=IE= nên tam giác FIE đều.
*)Tương tự các tam giác FIM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là các tam giác đều cạnh bằng
*) Tám tam giác đều trên tạo thành một đa diện có các đỉnh I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng bốn tam giác đều. Do đó đa diện ấy là đa diện loại {3;4}, tức là hình bát diện đều.
b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
*)Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông. Do đó các đường chéo của chúng bằng nhau, tức là AC=AB=AD’=B’D’=B’C=CD’.
Vậy AB’CD’ là một tứ diện đều.
*) áp dụng định lý pitago ta có AC=AB=AD’=B’D’=B’C=CD’=
*) Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là tâm của các mặt ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’ và DAA’D’ của hình lập phương. Và sáu điểm trên lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, B’D’, AB’, CD’ và D’A của tứ diện đều AB’CD’ nên theo câu a) sáu điểm đó là các đỉnh của hình bát diện đều.
Học định nghĩa, định lý
Quan sát các hình đa diện lồi và đều
Làm các bài tập 1, 2, 3, 4 trang 18
Chuẩn bị bìa theo mẫu bài 1 cho tiết học 4
I-KHỐI ĐA DIỆN LỒI
II-KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
BÀI TẬP
Một số khối đa diện đều
Ví Dụ
HÌNH ẢNH MINH HỌA
BÀI 1
BÀI 2
BÀI 3
BÀI 4
BÀI 1
Cắt bìa theo mẫu dưới đây ( h.1.23), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều
Nhóm 1 Làm việc với hình a), Nhóm 2 (hình b), Nhóm 3 (hình c)
Các hình tạo thành như sau :
Hình lập phương có bao nhiêu mặt? Và các mặt là hình gì?
Hình lập phương có 6 mặt và các mặt là các hình vuông bằng nhau.
Hình bát diện có bao nhiêu mặt và các mặt là hình gì?
Hình bát diện có 8 mặt và các mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Như vậy để tính diện tích toàn phần của các hình này ta chỉ cần tính diện tích của một mặt bất kì
Giả sử hình lập phương có cạnh là a. Tính CD’ ?
BÀI 2
Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỷ số diện tích toàn phần của (H) và (H’)
Đặt a là độ dài cạnh của hình lập

phương (H), khi đó độ dài cạnh hình

bát diện đều (H’) là .

Diện tích mỗi mặt (H) là ;

Diện tích mỗi mặt (H’) bằng

Diện tích toàn phần của (H) là 6.
Diện tích toàn phần của (H’) bằng 8. =

Vậy tỷ số diện tích toàn phần của (H) và (H’) là:
BÀI 2
Bài giải
Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
*) Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là tâm các tam giác ACD, BCD, ABC và ABD.
?1.Có nhận xét gì về các điểm G1, G2, G3, G4?
Các điểm G1, G2, G3, G4 không đồng phẳng và lần lượt là trọng tâm của các tam giác đều ACD, BCD, ABC và ABD.
Hình H1
?2. Dựa vào hình H1 hãy tính độ dài G1G2?
BÀI 3
Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
*) Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh bằng a.
Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là tâm các tam giác ACD, BCD, ABC và ABD.
*) Nhận thấy G1, G2, G3, G4 là trọng tâm của các tam giác trên. Gọi M là trung điểm của CD. Ta có G1G2=AB/3=a/3
*) Tương tự như vậy ta có G2G3=G3G4=G4G1=G1G2=a/3
Và 4 điểm này không đồng phẳng cho nên chúng tạo thành một tứ diện đều cạnh bằng a/3 (đpcm)
Bài giải
BÀI 3
BÀI 4
Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng :
Các đoạn thẳng AF, BD và CD đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

B1. Chứng minh bốn điểm B, C, E, D đồng phẳng và bốn điểm A, E, F, C đồng phẳng.
B2. Chứng minh AEFC và ACDE là các hình thoi.
*) Mặt khác ta có AEFC là hình thoi nên AF và EC vuông góc vói nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự ABFD là hình thoi và BEDC cũng là hình thoi nên các cặp (AF và BD) và (BD và EC) vuông góc vói nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy AF, EC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Do B, C, D, E cách đều A và F nên chúng thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF. Tương tự A, B, F, D cùng thuộc một mặt phẳng và A, E, F, C cũng cùng thuộc một mặt phẳng.

*)Gọi O là giao điểm của AF và mặt phẳng (BEDC). Ta nhận thấy ba điểm B, O, E là điểm chung của hai mặt phẳng (BEDC) và (ABFD) nên chúng thẳng hàng. Tương tự E, O, C thẳng hàng.
Do đó AF, BD, EC đồng quy.


b) Do AO (BEDC) và AE=AB=AC=AD nên OE=OB=OC=OD do đó BCED là hình vuông. Tương tự ABFD và AEFC là các hình vuông
BÀI 4
BÀI GIẢI
Học định nghĩa, định lý
Làm các bài tập trong sách bài tập.
Xem lại các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác chuẩn bị bài tiếp theo