Chương I. §2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài báo cáo

Ch ương I; II



Hình học không gian
lớp 12

Chuẩn và nâng cao
Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm
CẤU TRÚC CHƯƠNG I
$1. Khái niệm về khối đa diên
Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện- Phép dời hình, đối xứng mặt, đối xứng tâm, đối xứng đường, định nghĩa hai hình bằng nhau.
$1. Khái niệm về khối đa diên.
Khái niệm hình, đa diện khối đa diện, phân chia khối đa diện.
$2. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của khối đa diện.
Phép biến hình, Phép đối xứng qua mặt phẳng, công nhận phép đối xứng tâm và đối xứng đường .phép dời hình và sự bằng nhau của các hình.
$2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều.
Khái niệm khối đa diện lồi, khối đa diện đều
$3. Khái niệm về thể tích khối đa diện.
Thể tích khối hộp, khối chóp, khối lăng trụ.
$3. Phép vị tự và sự đồng dạng của khối đa diện, khối đa diện đều.
Định nghĩa phép vị tự, hai hình đồng dạng, khái niệm khối đa diện đều.
$4. Thể tích của khối đa diện.
Thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp và khối lăng trụ.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý TRONG CHƯƠNG
1.Khái niệm khối đa diện:
+Là phần không gian được giới hạn bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng kể cả các điểm trong đa giác đó .
+Phân chia không gian thành hai phần phần bên trong và phần bên ngoài của hình đó



2. Hình đa diện
Hình gồm các đa giác phẳng thỏa hai điều kiện
a. Hai đa giác bất kỳ chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
được gọi là hình đa diện hay đa diện (SGK Giải tích 12 NC trang 5)
ĐỊNH NGHĨA HÌNH ĐA DIỆN
Hình đa diện là một hình (H) gồm một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn ba tính chất sau:
Hai đa giác bất kỳ hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
ii. Mỗi cạnh của một đa giác phải là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Nếu S và S’ là hai đa giác tùy ý của (H) thì có một dãy các miền đa giác S1,S2,…,Sn sao cho S1 là S, Sn là S’ và hai đa giác Si và Si+1 có chung một cạnh.
(Định nghĩa xây dựng theo cơ sở Đinhlý Jodan)
Hai hình lập phương rời nhau không phải là hình đa diện do tính chất iii.
Theo SGK thì hình (H) phải chia không gian thành hai phần nên hai hình lập phương rời nhau không phải đa diện, hay một hình hộp không nắp.
Định lý Jodan
Mỗi hình đa diện chia các điểm không thuộc (H) thành hai tâp hợp không giao nhau Ho và H1 có các tính chất sau
i. Hai điểm cùng thuộc một trong hai tập hợp Ho hoặc H1 đều có thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không có điểm chung với H.
ii. Nếu hai điểm lần lượt thuộc Ho và H1 thì mọi đường gấp khúc nối hai điểm đó đều có điểm chung với H.
iii. Tập Ho không chứa đường thẳng nào, tập H1 có chứa những đường thẳng.
Hình (H) cùng với Ho được gọi là khối đa diện
3. Khối đa diện lồi
Khối đa diện(H) gọi là lồi nếu hai điểm A, B bất kỳ thuộc (H) thì mọi điểm của đoạn thẳng AB thuộc (H)
ĐỊNH LÝ ƠLE
Nếu (H) là một hình đa diện lồi có đ đỉnh, c canh, m mặt thì
đ - c + m = 2
Chỉ có năm loại khối đa diện đều: Khối tứ diện đều, Khối lập phương, Khối tám mặt đều, Khối mười hai mặt đều, Khối hai mươi mặt đều.
Một số chú ý:
+Trong mặt phẳng một đa giác lồi có n đỉnh thì tổng số các góc ở đỉnh là (n-2) 180o
Phép chiếu xuyên tâm O lên mặt phẳng:
Trong không gian cho mặt phẳng (P) và điểm O không thuộc (P).(Q) là mặt phẳng qua O và song song với (P)
Phép tương ứng f: M(Q) M’: O,M,M’thẳng hàng.
Phép biến hình f biến hình đa giác có p cạnh thuộc mặt phẳng không qua O thành đa giác p cạnh trên (P).
ĐỊNH LÝ ƠLE
CM: Giả sử (H) là một hình đa diện lồi có đ đỉnh, c canh, m mặt thì. Gọi số các cạnh của mỗi mặt là c1, c2,…,cm. Vì mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt nên c1+c2+…+cm=2c.
Tổng các góc của mỗi một mặt là: (ci-2)180o
Tổng tất cả các góc ở đỉnh của (H) là
G = (c1-2)180o+(c2-2)180o+…+(cm-2).180o
= [(c1+c2+…+cm)-(2+2+…+2)].180o.
= [2c-2m].180o.
G = (c-m).360o.
Nếu (H) là một hình đa diện lồi có đ đỉnh, c canh, m mặt thì
đ - c + m = 2
c1=c2=c3=c4=3 cạnh; c5=4 cạnh
Gọi A1, A2,…,Ap là các đỉnh thuộc một mặt nào đó của (H), (P) là mặt phẳng chứa A1, A2,…,Ap . Lấy điểm O nằm khác phía đối với các đỉnh còn lại( Ap+1,Ap+2,…,A đ) của (H) đối với mp(P). Gọi f là phép chiếu tâm O lên mặt phẳng (P).
Qua phép chiếu f các đỉnh A1, A2,…,Ap ,Ap+1,…,A đ theo thứ tự biến thành các điểm A1, A2,…,Ap ,A’p+1,…,A’ đ với các điểm A’p+1,…,A’ đ nằm trong đa giác A1, A2,…,Ap .
Số đo tất cả các góc phẳng của (H) bằng số đo tất cả các góc tạo bởi các đa giác
A1, A2,…,Ap ,A’p+1,…,A’ đ
riêng các góc của đa giác
A1, A2,…,Ap
được tính hai lần
Tổng các góc ở các đỉnh A’p+1,A’p+2,…,A’đ đều bằng 360o tổng các góc này là : (đ-p)360o
các góc ở các đỉnh của đa giác A1, A2,…,Ap được tính hai lần và tổng các góc này là 2.(p-2).180o
Vậy ta được
G=(đ-p)360o+2(p-2)180o = (đ-2).360o
So sánh với đẳng thức ban đầu
G = (c-m).360o.
ta được
c–m = đ – 2 hay đ-c+m=2.
Chứng minh sư tồn tại năm loại khối đa diện đều
Gọi n là số cạnh của mỗi mặt , p là số cạnh chung ở mỗi đỉnh của một đa diện đều ta nói khối đa diện đều loại {n;p}. Giả sử khối đa diện đều có đ đỉnh, c cạnh, m mặt.
Vì mỗi mặt có đúng n cạnh nên có m.n cạnh vì mỗi cạnh là cạnh chung cho đúng hai mặt nên mỗi cạnh được tính hai lần vậy n.m=2.c.
Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh có đ đỉnh và mỗi cạnh được tính hai lần nên p.đ=2c  n.m = 2c = p.đ



Vì đ, c, m, n, p là số dương và n≥3 và p≥3 nên chỉ có 5 trường hợp tương ứng với năm khối đa diện đều

Năm loại khối đa diện đều
Loại {3;3}
Loại{3;4}
Loại{4;3}
Loại{5;3}
Loại{3;5}
Mái vòm hình cầu ở Nhật Bản được xây dựng bởi các ngũ giác đều?
Mái vòm trong xây dựng được ghép bởi những tam giác đều ?
HAI HÌNH TỨ DIỆN BẰNG NHAU
Định lý: Hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. ( SGK 12 NC trang 13).

CM : Có 4 trường hợp bằng nhau của hai hình tứ diện.
+ Tứ diện này là ảnh của tứ diện kia qua phép tịnh tiến (chồng khít lên nhau) hay phép quay.
+ Đối xứng nhau qua mặt phẳng.
+ Đối xứng nhau qua đường thẳng.
+ Đối xứng nhau qua điểm
Đối xứng tâm
Đối xứng mặt
Đối xứng đường
Tịnh tiến
2 Phép dời hình trong không gian
Chương trình Nâng Cao
Chương trình Chuẩn
+Định nghĩa phép biến hình, dời hình.
+ Định nghĩa phép đối xứng qua mặt phẳng nêu các mặt phẳng đối xứng của một hình
+Phép tịnh tiến theo vectơ v, đối xứng tâm và phép đối xứng đường được giới thiệu sơ lượt xem như giống phép biến hình trong mặt phẳng
+ Phép vị tự trong không gian, hai hình đồng dạng
+Định nghĩa phép dời hình
+Phép tịnh tiến theo vectơ v
+Phép đối xứng qua mặt phẳng
+Phép đối xứng tâm.
+Phép đối xứng đường
CẤU TRÚC CHƯƠNG II
$1. Mặt cầu, khối cầu.
Khái niệm mặt cầu, khối cầu,vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng, Diện tích và thể tích mặt cầu, khối cầu.
$2.Khái niệm mặt tròn xoay.
Giới thiệu và định nghĩa mặt tròn xoay.
$3.Mặt trụ , hình trụ khối trụ.
Định nghĩa công thức diện tích và thể tích.
$4. Mặt nón ,Hình nón và khối nón.
Định nghĩa, Công thức tính diện tích và thể tích.
$2. Mặt cầu, khối cầu.
Khái niệm mặt cầu, khối cầu,vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng, Diện tích và thể tích mặt cầu, khối cầu.
$1.Khái niệm mặt tròn xoay.
Giới thiệu và định nghĩa mặt tròn xoay.
Hình nón , khối nón, công thức thể tích và diện tích
Khối trụ mặt trụ tròn xoay, công thức diện tích và thể tích
* Đây là bài trọng tâm của chương
* Khái niệm thể tích xây dựng trên cơ sở các tính chất hiển nhiên về thể tích.
( Hàm số f: X R, X Tập các khối đa diện )
1./ Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
(Tính bất biến :V(D)= V(D’) Nếu D=D’)
2./ Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng các thể tích của khối đa diện nhỏ đó.
(Tính cộng tính: V(D) = V(D1) + V(D2)
3./ Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
(Tính đơn vị : Vo =1)
Và thừa nhận các công thức tính thể tích mà không chứng minh.
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DiỆN
B
Xây dựng các công thức tính diện tích
V=1 đơn vị
V= a3
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DiỆN
V=1/6.a3
V=1/3 B.h
V=1/3 B.h
V=1/3 B.h
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
V=1/3.a3 =1/3 B.h
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
V=b.h
V=b.h
V=1/3.b.h
V=1/3b.h
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY