Chương I. §2. Cực trị của hàm số

Bài 2 :
Giáo viên :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT
I - KHÁI NiỆM CỰC ĐẠI - CỰC TiỂU
Đặt vấn đề :
Dựa vào đồ thị sau , hãy chỉ ra các điểm tại
đó mỗi hàm số có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
a) Hàm số : y = - x2 + 1 trong khoảng
b) Hàm số :
trong các khoảng
và
|
|
O
x
y
_ 1
- 1
1
O
x
y
_ 4/3
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
Các giá trị lớn nhất thỏa bài toán là
Giá trị nhỏ nhất là
Điền vào bảng sau các dấu thích hợp ( Xét dấu đạo hàm )
x
Y’
Y
- ∞
0
+ ∞
- ∞
1
- ∞
x
Y’
Y
- ∞
1
+ ∞
3
- ∞
0
+ ∞
+
─
+
─
+
0
0
0
Định nghĩa :
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x0 (a ; b)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x  (x0 – h ; x0 + h) và x ≠ x0 thì :
hàm số f(x) đạt cực đại tại x0
Chú ý :
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số ; F(x0) gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số . Kí hiệu : fCĐ ( fCT) . Còn M(x0 ; f(x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số
2. Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị . Giá trị cực đại (cực tiểu) gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số . .
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x  (x0 – h ; x0 + h) và x ≠ x0 thì :
hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0
3. Dễ dàng chứng minh được rằng : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a ; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0
Giả sử f(x) đạt cực đại tại x0 Xét :
Với 2 TH : x > 0 và x < 0
II - ĐiỀU KiỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Sử dụng đồ thị xét các hàm số sau có cực trị hay không ?
a) y = - 2x + 1
b)
Nêu mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm .
|
O
x
y
_ 1
O
x
_
|
|
|
|
1
2
3
4
y
Hàm số không có cực trị
Hàm số có cực đại
; cực tiểu (3 ; 0)
y’ = - 2 < 0
y’ = 0  x = {1 ; 3} và y’ đổi dấu qua điểm cực trị
Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm .
Đạo hàm bậc nhất bằng 0 và đổi dấu qua 1 điểm trên đồ thị thì hàm số có cực trị tại điểm đó
Định lý 1 :
Giả sử hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h)
và có đạo hàm trên K hoặc K{x0} , vơi h > 0
Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 - h ; x0) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h)
Thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)
b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0 - h ; x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h)
Thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
x
X0 - h
x0
X0 +h
f’(x)
f(x)
fCD
+

+

x
X0 - h
x0
X0 + h
f’
f
fCT
+

+

Minh họa trên bảng biến thiên
Ví dụ 1 .
Tìm các điểm cực trị của hàm số : f(x) = - x2 + 1
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R . ; f’(x) = -2 x
Bảng biến thiên :
x
- ∞
+ ∞
f’
f
0
0
1
- ∞
- ∞
+

Vậy hàm số y = - 2x2 + 1 tại x = 0 là điểm cực đại .
f’(x) = 0  x = 0
Ví dụ 2 .
Tìm các điểm cực trị của hàm số : y = x 3 - x2 - x + 3
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R . ; y’ = 3 x 2 - 2x - 1 = 0 
Bảng biến thiên :
x
- ∞
y’
y
+ ∞
0
0
+
+

- ∞
+ ∞
Cực đại
Cực tiểu
Ví dụ 3 .
Tìm cực trị của hàm số :
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R .
Trái với y’ = 0 nên hàm số không có cực trị
* Ví dụ .
Chứng minh hàm số : y = | x | không có đạo hàm tại x = 0 .
Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?
Chứng minh :
Xét y’(x0) =
Vậy Hàm số y = |x| tại x0 = 0 có đạo hàm là .
Do đó hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x0 = 0
Vơi y’(0) ≠ 0 nên hàm số không có cực trị tại x = 0
Hàm số xác định với mọi x  R .
III - QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
QUY TẮC 1
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo hàm f’(x) . Tìm các xj mà tại đó f’(xj) = 0 hoặc không xác định
3. Lập bảng biến thiên
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
* Ví dụ .
Áp dụng quy tắc 1 : Tìm cực trị của hàm số : f(x) = x (x2 – 3 )
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R .
f’(x) = 3x2 - 3 = 0  x =  1
Bảng biến thiên :
x
- ∞
f’
f
+ ∞
0
0
+
+

+ ∞
- ∞
Vậy hàm số có :
Cực đại
Cực tiểu
Định lý 2 :
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) , vơi h > 0
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại .
QUY TẮC 2
1. Tìm tập xác định
2. Tính f’(x) . Giải tìm nghiệm f’(x) = 0 gọi xj ; j = 1, 2 ,…
3. Tính f’’(x) và f’’(xj) .
4. Dựa vào dấu của f’’(xj) suy ra tính chất cực trị của xj.
Ví dụ 4 .
Tìm cực trị của hàm số :
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R .
f’(x) = x3 – 4x = x (x2 – 4 ) . f’(x) = 0  x = 0 ; x =  2
f’’(x) = 3x2 – 4 . Xét dấu f’’
+ f’’(2) = 8 > 0 nên x =  2 là 2 điểm cực tiểu
+ f’’(0) = -4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại.
Ví dụ 5 .
Tìm các điểm cực trị của hàm số : y = sin 2x
Giải :
Hàm số xác định với mọi x  R .
y’(x) = 2cos2x ; y’(x) = 0 
y’’(x) = - 4 sin 2x
Vậy :
là các điểm cực đại của hàm số
là các điểm cực tiểu của hàm số
Ví dụ trắc nghiệm
a) Số điểm cực trị của hàm số :
A
1
B
0
C
3
D
2
b) Số điểm cực đại của hàm số : y = x 4 + 100 là
A
0
B
1
C
2
D
3
Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 trang 18 sgk GiẢI TÍCH 12
Khi tải về vào : Silide Transition / Custom Animation / Start : on click
Để hiệu chỉnh và thay đổi theo ý thích – Chúc thành công
Để hiệu chỉnh các trang vào Slide Transtion / Chọn ở Advance slide ….