Chương I. §2. Cực trị của hàm số

KiÓm tra bµi cò
T×m kho¶ng ®¬n ®iÖu cña c¸c hµm sè sau:
a)
Trong khoảng
b)
Trong khoảng
Giải
a) Tập xác định của hàm số là R
Ta có
Bảng biến thiên
đồ thị hàm số
Hàm số đồng biến trên
Và nghịch biến trên
b) Tập xác định của hàm số là R
Ta có
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng
,nghịch biến trên khoảng
đồ thị của hàm số
Tiết 4. Bài 2 Cực trị của hàm số
I- khái niệm cực đại , cực tiểu
định nghĩa : cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) và điểm
a) Nếu
đạt cực đại tại x0
b) Nếu
đạt cực tiểu tại x0
Chú ý
1.Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu ) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại ( điểm cực tiểu ) của hàm số.
f(x0) được gọi là giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu ) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại ( điểm cực tiểu ) của hàm số.
2.Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu ) cồn gọi là cực đại ( cực tiểu ) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3.Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f`(x0)= 0.
II.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
Định lí 1
Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng K=(x0-h;x0+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K{x0}, với h>0.
a) Nếu f`(x) > 0 trên khoảng ( x0-h;x0) và f`(x) < 0 trên khoảng ( x0;x0+h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f`(x) < 0 trên khoảng ( x0-h;x0) và f`(x) > 0 trên khoảng (x0 ;x0+h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = -x2 +1
ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3
ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số
Tìm tập xác định của các hàm số trên,tìm đạo hàm bậc nhất ,tìm các điểm f`(x) = 0 hoặc f`(x) không xác định,lập bảng biến thiên và từ đó suy ra các điểm cực trị của các hàm số đó?
III - Quy tắc tìm cục trị
Quy tắc I.
1.Tìm tập xác định.
2.Tìm f`(x).Tìm các điểm tại đó f`(x) bằng 0 hoặc f`(x) không xác định.
3.Lập bảng biến thiên.
4.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
H5. hãy tìm các điểm cực trị của hàm số f(x)= x(x2 - 3)
định lí 2
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0-h ; x0+h), với h > 0.Khi đó:
Nếu f`(x0) = 0, f``(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
Nếu f`(x0) = 0, f``(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Quy tắc II
1.Tìm tập xác định.
2.Tính f`(x). Giải phương trình f`(x)= 0 và kí hiệu xi ( i= 1,2,.) là các nghiệm của nó.
3.Tính f``(x) và f``(xi).
4.Dựa vào dấu của f``(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ 4.Tìm cực trị của hàm số
ví dụ 5.Tìm cấc điểm cực trị của hàm số f(x) = sin2x