Chương I. §2. Cực trị của hàm số

Trang bìa
Trang bìa:
TRƯỜNG TRUNG CẤP KINH TẾ-KỸ THUẬT TIỀN GIANG CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TỔ TOÁN THỰC HIỆN KIỂM TRA BÀI CŨ
Kiểm tra:
CÂU HỎI: Khảo sát sự biến thiên của hàm số : latex( y = x/(x^2 1) TXĐ: R latex(y` =(1 - x^2)/(x^2 1)) y` = 0 Đạo hàm: Bảng biến thiên: x y` y latex(-oo) -1 1 latex( oo) 0 0 - - latex(1/2) latex(- 1/2) 0 0 latex(hArr) x= -1 ; x= 1 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1) và nghịch biến trên từng khoảng ( latex(-oo);-1); (latex(1; oo)). Đồ thị: Tiếp cận khái nệm
Đồ thị hàm số latex(y = x/(x^2 1) CÂU HỎI: Hàm số đạt giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất tại điểm x =? thuộc khoảng nào ? Trả lời: T Đ *x =1latex(in)(0;2) thì hàm số đạt GTLN bằng f(1) =latex(1/2) *x = -1latex(in)(-2;0) thì hàm số đạt GTNN bằng f(-1) = -latex(1/2) KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI CỰC TIỂU
Định nghĩa: I/ KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI CỰC TIỂU
ĐỊNH NGHĨA : Cho hàm số y= f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là latex(-oo) ; b là latex( oo)) và điểmlatex(x_o)latex(in)(a;b). a/ Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)0 sao cho f(x)>latex(f(x_0)) với mọi xlatex(in)(latex(x_0)-h;latex(x_0) h) và xlatex(!=)latex(x_0) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại latex(x_0). Hoạt động: Hãy xác định các điểm cực đại-cực tiểu (nếu có) dựa vào đồ thị các hàm số sau. Củng cố ĐN:
latex(y = -x^2 1) latex(y =x/3(x-3)^2) Xác định điểm cực trị của đồ thị hàm số? Chú ý:
CHÚ Ý: 1/ Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tạilatex(x_0) thì latex(x_0)được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;latex(f(x_0)) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệulatex(f_(CĐ)) (latex(f_(CT))) , còn điểm M(latex(x_0); f(latex(x_0))) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 2/ Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3/ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tạilatex(x_0) thì f `(latex(x_0)) =0. CM 3? Chứng minh chú ý 3: Chứng minh
* Nếu latex( x_0) là điểm cực đại thì : Chọn |latex(Delta)x| đủ nhỏ ta có: latex( f(x_0 Deltax) < f(x_0)) latex(rArr)latex(Deltay)<0 với latex(delta)x> 0 latex(rArr) latex((Deltay)/(Deltax))<0 latex(rArr)latex(f `(x_0^ ) )latex(<=)0 Với latex(Delta)x < 0 latex(rArr) latex((Deltay)/(Deltax))>0latex(rArr)f `(latex(x_0^_) )latex(>=)0 Do latex(EE) f `(latex(x_0) )latex(rArr) f `(latex(x_0^_) )= latex(f `(x_0^ ) )= 0. Vậy f `(latex(x_0))= 0. CHỨNG MINH • latex(EE) f `(latex(x_0)) latex(hArr)f `(latex(x_0^_) )= latex(f `(x_0^ ) ) HƯỚNG DẪN lim latex(Deltax rarr 0^ ) latex((Deltay)/(Deltax))= f`(latex(x_0^ )) lim latex(Deltax rarr 0^-) latex((Deltay)/(Deltax))= f`(latex(x_0^-)) II/ ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Hoạt động tiếp cận điều kiện đủ:
HOẠT ĐỘNG: 1)Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không? a/ y = -2x 1 b/ latex(y=x/3(x-3)^2) 2)Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu đạo hàm? (Bằng cách lập bảng biến thiên) Đồ thị 2hàm số:
ĐỊNH LÝ 1: ĐỊNH LÝ 1
ĐỊNH LÝ 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K =(latex(x_0)-h;latex(x_0) h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K {LATEX(x_0)}, với h >0. 1/Nếu f `(x)> 0 trên khoảng (latex(x_0)-h ; latex(x_0)) và f `(x) < 0 trên khoảng(latex(x_0);latex(x_0) h) thì latex(x_0)là một điểm cực đại của hàm số f(x). 2/Nếu f `(x)< 0 trên khoảng (latex(x_0)-h ; latex(x_0)) và f `(x) > 0 trên khoảng(latex(x_0);latex(x_0) h) thì latex(x_0)là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). x x f `(x) f `(x) f(x) f(x) latex(x_0)-h latex(x_0) latex(x_0) h - latex(f_(CĐ)) latex(x_0) h latex(x_0) latex(x_0)-h - latex(f_(CT)) Áp dụng 1:
HOẠT ĐỘNG: 1)Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x)=latex(-x^2 1) 2)Tìm các điểm cực trị của hàm số y =latex(x^3-x^2-x 3) 3)Tìm cực trị của hàm số y =latex((3x 1)/(x 1)) 4) Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không? Bài giải 1: Bài giải 1
latex(f(x) = -x^2) 1 Hàm số xác định với mọi xlatex(in) R. Ta có f `(x) = -2x ; f `(x) = 0latex(hArr) x = 0 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số và đồ thị hàm số có một điểm cực đại ( 0;1) Giải x f `(x) f (x) latex(-oo) latex( oo) 0 0 1 _ latex(-oo) latex(-oo) Bài giải 2: Bài giải 2
latex(y = x^3 -x^2 -x 3) Giải Hàm số xác định với mọi xlatex(in)R Ta có : latex(y ` = 3x^2 - 2x 3 y ` = 0 latex(hArr) latex([) x = 1 x = - latex(1/3) Bảng biến thiên x y ` y latex(-oo) latex(-oo) latex( oo) latex( oo) - latex( 1/3) latex( 86/27) 0 0 1 2 Từ bảng biến thiên suy ra latex(x = - 1/3) là điểm cực đại, x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số. - Bài giải 3: Bài giải 3
Giải Hàm số xác định tại latex(AA)xlatex(!= )-1 Ta có latex(y ` = 2/((x 1)^2)) > 0; latex(AA)xlatex(!=) - 1 Vậy hàm số không có cực trị( theo chú ý 3) latex(y = (3x 1)/(x 1) Bài giải 4: Bài giải 4
Giải: y = latex(| x|) latex(hArr) Hàm số xác định với mọi x. Ta có : y ` = latex({) 1 ; nếu x > 0 -1 ; nếu x < 0 và y = latex(| x|)latex(>=)0 ; latex(AA)x Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 latex({) x ; nếu x latex(>=) 0 -x ; nếu x < 0 III/ QUY TĂC TÌM CỰC TRỊ
Quy tăc1:
QUY TẮC 1: 1.Tìm tập xác định. 2.Tính f `(x). tìm các điểm tại đó f `(x) bằng 0 hoặc f `(x) không xác định. 3.Lập bảng biến thiên. 4.Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Áp dụng: Tìm các điểm cực trị của hàm số : f(x) =latex(x(x^2-3) Áp dụng 1: Bài giải
Giải f(x) =latex(x(x^2 - 3)) Hàm số xác định với mọi xlatex(in)R f `(x) = latex(3x^2 - 3) f `(x) = 0latex(hArr) latex([) x = -1 x = 1 Bảng biến thiên x f `(x) f (x) latex(-oo) latex( oo) latex(-oo) latex( oo) -1 2 1 -2 0 0 - Từ bảng biến thiên suy ra x = -1là điểm cực đại và x = 1là điểm cực tiểu của hàm số Tiếp cận ĐL2: Nêu vấn đề
Tìm cực trị của hàm số y = sin 2x ? Phương pháp giải? Hãy tìm giá trị của f "(latex( -1))trong ví dụ trước ,rồi đưa ra nhận xét về dấu của f "(latex( -1))có liên quan gì đến các điểm cực trị ? Định lý 2 :
ĐỊNH LÝ 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng(latex(x_0)- h; latex(x_0) h), với h >0. Khi đó: a )Nếu f `(latex(x_0)) = 0 , f " (latex(x_0)) >0 thì latex(x_0) là điểm cực tiểu. b )Nếu f `(latex(x_0)) = 0 , f " (latex(x_0)) <0 thì latex(x_0) là điểm cực đại. quy tẮc 2: 1.tìm tập xác định. 2.tính f `(x). giải phương trình `(x) =0 và kí hiệu latex(x_i) ( i =1,2,...) các nghiệm của nó. 3.tính "(x) "(latex(x_i)). 4. dựa vào dấu "(latex(x_i)) suy ra tính chất trị Áp dụng
HOẠT ĐỘNG: 1) Tìm cực trị của hàm số : f(x) =latex((x^4)/4 -2x^2 6) 2)Tìm cực trị của hàm số : f(x) = latex(sin2x). Bài giải 1: Bài giải 1
Giải latex(y = (x^4)/4 - 2x^2 6) Hàm số xác định với mọi xlatex(in) R. f `(x) =latex(x^3 -4x) =latex(x(x^2 -4)) f `(x) = 0latex(rArr)latex(x_1) = 0;latex(x_2) = -2;latex(x_3)= 2 f "(x) =latex(3x^2 -4) f "(latex( -2))= 8 > 0latex(rArr)x = -2 và x = 2 là hai điểm cực tiểu. f "(0) = -4 < 0latex(rArr)x = 0 là điểm cực đại. Kết luận: f(x) đạt cực tiểu tại x = -2 và x = 2; latex(f_(CT))=latex(f( -2)) = 2 f(x) đạt cực đại tại x = 0 và latex(f_(CĐ))=f(0) = 6 Bài giải 2: Bài giải 2
Giải f(x) = sin 2x Hàm số xác định với mọi xlatex(in)R f `(x) = 2cos 2x f `(x) = 0latex(hArr) 2x =latex(pi/2 lpi)latex(hArr)x =latex(pi/4 lpi/2)(llatex(in)Z) f "(x) = -4sin 2x f "(latex(pi/4 lpi/2)) = -4sin(latex(pi/2 lpi)) = latex({) -4 nếu l = 2k 4 nếu l = 2k 1 klatex(in)Z Kết luận x =latex(pi/4 kpi)(klatex(in)Z) là các điểm cực đại của hàm số. x =latex((3pi)/4 kpi)(klatex(in)Z) là các điểm cực tiểu của hàm số. CỦNG CỐ BÀI HỌC
TRẮC NGHIỆM 1:
Số điểm cực trị của hàm số latex(y =-(1/3)x^3 -x 7)
A) 1
B) 0
C) 3
D) 2
TRẮC NGHIỆM 2:
Số điểm cực đại của hàm số latex(y = x^4 100)
A) 0
B) 1
C)2
D) 3
HƯỚNG DẪN TỰ HỌC
Lý tuyết và bài tập:
Học kỹ lý thuyết ,hiểu rõ định lý 1,2 và nhớ 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số. Làm các bài tập còn lại trong sách giáo khoa trang 18. Xem trước bài học mới giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trang 19. TỰ HỌC Ở NHÀ