Chương I. §2. Cực trị của hàm số

Chuyên đề
Giá trị cực trị của hàm số




http://kinhhoa.violet.vn
Nội dung
Tóm tắt lý thuyết
Ví dụ minh hoạ
Bài tập tự giải
http://kinhhoa.violet.vn
Tóm tắt lý thuyết
Cho hàm số y = f(x), nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số và M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Đối với hàm bậc ba: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị x1; x2. Để tính giá trị cực trị của hàm số ta có thể thực hiện theo cách sau:
Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x)
f(x) = f’(x) (mx + n) + Ax + B (trong đó mx + n là thương của phép chia và Ax + B là số dư của phép chia)
Vì f’(x1) = f’(x2) = 0 nên
f(x1) = Ax1 + B
f(x2) = Ax2 + B
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Đối với hàm hữu tỉ . Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 với v’(x0)  0 thì

Vậy giá trị cực trị của hàm số là
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 1
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị không đổi.
Lời giải
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 2
Cho hàm số . Giá trị nào của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng :
x + 2y – 3 = 0.
Lời giải


Để hàm số có cực đại, cực tiểu  f(x) = mx2 – 2x + m = 0 (*) có 2 nghiệm

phân biệt khác
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)

Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:




Tọa độ hai điểm cực trị (x1; y1) ; (x2; y2) thỏa mãn phương trình:

Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 2 (tt)


Để đường thẳng qua 2 điểm cực trị vuông góc với

(không thỏa mãn)

Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm trên

đường thẳng vuông góc với

Chú ý: Cho 2 đường thẳng d1: y = a1x + b1
d2: y = a2x + b2
d1 vuông góc với d2  a1.a2 = -1
d1 song song với d2  a1 = a2 và b1 ≠ b2
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 3
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m. Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : x – 2y – 5 = 0
Lời giải
Ta có y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0
Hàm số có cực đại, cực tiểu
Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị  y’ (x1) = y’ (x2) = 0 và theo Vi-ét ta có




Lấy y chia cho y’ ta được
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt)
Vì tọa độ (x1; y1) ; (x2; y2) luôn thỏa mãn phương trình


Nên phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là


Để 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng  thì d vuông góc với  và khoảng cách từ (x1; y1) ; (x2; y2) đến  là bằng nhau
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 3 (tt)
Vậy m = 0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : x – 2y – 5 = 0
Chú ý: Cho điểm M(x0, y0) và đường thẳng : Ax + By + C = 0
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 4
Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 3x – 1. Xác định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox
Lời giải
Ta có y’ = 3mx2 – 6mx + 3. Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  g(x) = mx2 – 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt



Lấy y chia cho g(x) ta được: y = (x - 1).g(x) + (2 - 2m)x
Gọi (x1; y1) ; (x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số


Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 4 (tt)
Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox




Từ (1) và (2)  m < 0 thì đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của Ox.
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ (tt) - Ví dụ 5
Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều.
Lời giải



Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì m > 0 (1)
3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là
ABC đều  AB2 = AC2 = BC2
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Ví dụ minh hoạ - Ví dụ 5 (tt)








Từ (1) và (2) thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều.
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Bài tập tự giải
Bài 1: (HVQHQT Khối D – 2001) cho hàm số

Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.

Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Bài 3: (HVQHQT – 97) Xác định m để đồ thị hàm số
y = x4 – 2mx2 – x + 2m + m4 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác đều.
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Bài tập tự giải (tt)
Bài 4: Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thì: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1 – x2|
Bài 5: (ĐHQG Khối A – 99) cho hàm số

a) Xác định m để hàm số có cực trị
b) Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàm số

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn
Bài tập tự giải (tt)
Bài 7: Cho hàm số
Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn
|yCĐ - yCT| = 4

Bài 8: Cho hàm số
Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục Ox.
Giá trị cực trị của hàm số
http://kinhhoa.violet.vn