Chương I. §2. Cực trị của hàm số

Giải tích 12
Phần II : Cực trị của hàm số
July 15 ,2009
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần II
Cực trị của hàm số

http://my.opera.com/vinhbinhpro
TÓM TẮT LÝ THUYẾT


ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a ,b) và điểm
được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu :
gọi là giá trị cực đại của hàm số f
Điểm
gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số f
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu :
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f
Điểm
gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm ĐIỂM CỰC TRỊ
d) Giá trị cực đại , giá trị cực tiểu (thường viết
) gọi chung là CỰC TRỊ
a) Điểm
b) Điểm
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
x
y
là điểm cực tiểu của đồ thị hs

là điểm cực đại của đồ thị hs
x
y
Điểm cực đại của đồ thị hàm số
điểm cực tiểu của hàm số
điểm cực đại của hàm số
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Giá trị cực tiểu
Giá trị cực đại
điểm cực tiểu của hàm số
Điểm cực đại của hàm số
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
2. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lý :
Hàm số f có đạo hàm tại
f đạt cực trị tại
Kết quả : Tiếp tuyến tại điểm cực trị song song hoặc trùng với trục hoành
*Chú ý : Mệnh đề đảo chưa chắc đúng
x
y’
y
cực trị
0
* Trường hợp đặc biệt
x
y’
y
cực trị
ǁ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
a) DẤU HIỆU I
ĐỊNH LÝ: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm xₒ và có đạo hàm trên (a ; xₒ) và (xₒ ; b ). Khi đó :
1. Nếu f’(x) đổi dấu từ DƯƠNG sang ÂM khi x đi qua xₒ thì xₒ là một điểm cực đại của hàm số
2. Nếu f’(x) đổi dấu từ ÂM sang DƯƠNG khi x đi qua xₒ thì xₒ là một điểm cực tiểu của hàm số
x
y’
y
a
b
+
-
CĐ
0
x
y’
y
a
b
+
0
CT
Chú ý : Nếu xₒ là một điểm cực trị thì ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm xₒ
-
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Qui tắc 1 : (Giải bài toán tìm cực trị của hàm số)
Bước 1 : Tìm tập xác định D - tính f’(x)
Bước 2 : Giải phương trình f’(x) = 0 tìm tất cả các nghiệm
Tại các điểm
đạo hàm của hàm số bằng 0
* trường hợp đặc biệt : tìm điểm xₒ mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm
Bước 3 : Xét dấu f’(x) - Căn cứ vào dấu hiệu 1 tìm ra tất cả các điểm cực trị
Tính tiếp Giá trị cực đại ,giá trị cực tiểu (nếu có ) -Tìm ra điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số :
x
y’
y
-∞
+∞
3
5
0
0
̶
̶
+
CT
CĐ
B3: Điểm cực tiểu : x = 3 , điểm cực đại x = 5
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Qui tắc 2 : (Giải bài toán tìm cực trị của hàm số)
b) Dấu hiệu II
Định lý : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tới cấp 2 tại điểm xₒ
1. Nếu
thì xₒ là điểm cực tiểu
2. Nếu
thì xₒ là điểm cực đại
Bước 1 : Tính f’(x)
Bước 2 : Giải phương trình f’(x) = 0 tìm tất cả các nghiệm
Bước 3 : Tìm f”(x) - Tính
Căn cứ vào định lý trên để kết luận .
Bài tập
Cực trị của hàm số
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Biên tập pps : vinhbinhpro
Bài tập
Bài tập 1 : Tìm cực trị , nếu có , của hàm số
Hướng dẫn
B3: Xét dấu y’
x
y’
y
- ∞
+∞
-2
- 4
0
0
0
+
+
-
-
CT
CĐ
KL: Điểm cực tiểu x = 0 , điểm cực đại x= - 4
Bài tập
Hướng dẫn câu b)
B3 : Xét dấu y’ :
x
y’
y
- ∞
+∞
1
0
-
-
+
+
CĐ
Điểm cực đại : x =
(Học sinh tự tính giá trị cực đại )
*Bài tập tương tự : Tìm điểm cực trị của hàm số
Bài tập
Bài tập 2 : Tìm cực trị , nếu có , của hàm số
Hướng dẫn câu 1)
B3: Xét dấu y’ :
x
y’
0
2
0
1
+
-
CĐ
Đồ thị có điểm cực đại có tọa độ là :
Bài tập
Hướng dẫn câu 2)
x
y’
y
-2
2
-∞
+∞
-
+
+
không xác định
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định . Đồ thị không có điểm cực trị
Bài tập tương tự : Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số sau (nếu có)
Bài tập
Bài tập 3 : Tìm cực trị , nếu có , của hàm số
Hướng dẫn câu 1)
B3: Dùng qui tắc 2
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm
Hướng dẫn câu 2)
Bài tập
B3 : Dùng Qui tắc 2
Vậy :
là các điểm cực đại
Vậy:
là các điểm cực tiểu
Bài tập tương tự : Tìm cực trị của hàm số
Bài tập ( Bài toán tìm cực trị có tham số)
Bài tập 4 : Định a để hàm số :
đạt cực tiểu khi x = 2
Hướng dẫn
(Học sinh cần thử lại vì đây chỉ mới là điều kiện cần)
Thử lại : Với
x
y’
0
1
2
0
0
+
̶
̶
+
CĐ
CT
Vậy hàm số đạt cực tiểu khi x = 2 và a = 1 là giá trị cần tìm
Bài tập ( Bài toán tìm cực trị có tham số)
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Bài tập 5: Định a và b để đồ thị hàm số :
có điểm cực
đại có tọa độ là ( 1 ; 5 )
* Hàm số đạt cực trị tại xₒ = 1
* Giá trị cực trị tính theo công thức :
mà a = b nên b = 4
(theo cách giải trên ( xₒ,yₒ ) chưa phải là điểm cực đại , nên cần phải thử lại)
Thử lại : Với a = b = 4
Lập bảng xét dấu y’ , ta được x = 1 chính là điểm cực đại . Vậy nhận a = b = 4
Bài tập ( Bài toán tìm cực trị có tham số)
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Bài tập 6 : a) Chứng minh với mọi m , hàm số :
luôn luôn có cực đại và cực tiểu
b) Định m để điểm cực đại của đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ
nhất của hệ trục tọa độ
Dấu của y’ phụ thuộc vào tam thức :
g(x) có 2 nghiệm phân biệt nên có dấu đổi hai lần khi x đi qua x = m-1 và x = m+1
Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m
b) Ta có :
m-1
m
m+1
0
0
x
y’
+
+
-
-
Vậy điểm cực đại là xₒ =m-1
Giá trị cực đại :
Bài tập tự rèn luyện
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Bài tập 1 : Cho hàm số
a) Định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng
b) Định m để đồ thị hàm số có đúng 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II
của mặt phẳng tọa độ .
nhỏ nhất.
Đáp số : a) m = - 3 / 2 b) -2 < m < -1
Bài tập 2 : Định m để đồ thị hàm số :
có hai điểm cực
trị thẳng hàng với điểm A ( -1 , 3 )
Đáp số : m = 1 , m = - 3/2
Bài tập 3 : Tính giá trị cực trị của hàm số :
Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị .
Đáp số :
HẾT PHẦN II
Đón xem phần 3 : Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh rèn luyện được khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến.
vinhbinhpro