Chương I. §1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
- Nếu ?x1, x2 ? (a; b) và x1< x2 mà f(x1)Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)
- Nếu ?x1, x2 ? (a; b) và x1< x2 mà f(x1)>f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b).
Hàm số y = f(x) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (a; b) được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó.
Nếu ta đặt: ?x= x2 ? x1 và ?y= f(x2) ? f(x1) nếu x1< x2 và f(x1) < f(x2) nên ? ?x > 0 và ?y > 0 vì vậy:
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)
Hay:
f(x) biến trên khoảng (a; b) nếu:

f?(x) = 0 trên khoảng (a; b).
nghịch
đồng


Nếu x1 < x2 và f(x1) > f(x2) nên ? ?x > 0 và ?y < 0 vì vậy:
Định lý Lagrange sau được thừa nhận:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c ? (a; b) sao cho: f(b) ? f(a) = f?(c)(b ? a) hay:

§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Gọi cung AB là một đoạn đồ thị của hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) và B(b; f(b)) ? hệ số góc của cát tuyến AB là:
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Đẳng thức: f?(c) = là hệ số góc

của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c; f(c))
Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
Nếu f?(x) > 0 với mọi x ? (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.
Nếu f?(x) < 0 với mọi x ? (a; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu f?(x) ? 0 (hoặc f?(x) ? 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số: y = x2 ? 2x + 3
Tập xác định: D = R.
Ta thấy: y? = 2x ? 2 ? y? < 0 khi x < 1 và y? > 0 khi x > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Hàm số Đ/Biến trên (1; +?) và N/Biến (-?; 1)
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của h/s:

§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
TXĐ: D = R{x = 0}
Đạo hàm:
Dấu của y? là dấu của x2 ? 1 mà x2 ? 1 = 0 ? x = ? 1 ? với x = 1 thì y = 11, với x = -1 thì y = -1
Nên ta có bảng biến thiên như sau:
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-?; -1) ? (1; +?) và nghịch biến trên (-1; 0) ? (0; 1).
Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và x0 ? (a; b). Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f?(x) không xác định hoặc bằng 0.
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
3. Điểm tới hạn:
Ví dụ 1: Xét hàm số:
Có tập xác định là: D = R{x = 0}
Có đạo hàm là:
y? triệt tiêu khi x = ?1 và kxđ tại x = 0 nhưng do 0 ? D nên h/s chỉ có 2 điểm tới hạn là: x = ?1
Xét hàm số:
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
3. Điểm tới hạn:
Tập XĐ: D = R.
Đạo hàm:
f?(x) không xác định tại x = 0 và triệt tiêu tại x = 2 ? hàm số có hai điểm tới hạn là:
x = 0 và x = 2.
Đối với các hàm số f(x) thường gặp, f?(x) liên tục trên khoảng xác định của nó. Vì thế, giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1và x2, f?(x) giữ nguyên một dấu.
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
3. Điểm tới hạn:
Thật vậy, nếu trong khoảng (x1, x2) mà f?(x) đổi dấu thì f?(x) phải triệt tiêu tại tại một điểm nào đó trong (x1, x2) nhưng điều này là không thể vì x1, x2 là hai điểm tới hạn kề nhau.
Quy tắc tìm các khoảng biến thiên của hàm số:
1. Tìm các điểm tới hạn:
a. Tìm đạo hàm của f(x).
b. Cho f?(x) = 0 giải phương trình.
c. Tìm các điểm tới hạn.
2. Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bỡi điểm tới hạn.
3. Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng

§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
3. Điểm tới hạn:
Bảng biến thiên của hàm số:
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
3. Điểm tới hạn:
Có đạo hàm là:
? Bảng biến thiên :
Có 2 điểm tới hạn là:
x = 0 và x = 2
Cần nắm vững quy tắc để tìm sự đồng biến và nghịch biến của một hàm số.
Cách vẽ bảng biến thiên của một hàm số.
Làm các bài tập: 1, 2, 3, 4 tràng 52, 53 sách giáo khoa.
§ 1 SÖÏ ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ
CHÚC CÁC EM SỨC KHỎE VÀ HỌC TẬP TỐT.