Chương I. §1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trong một khoảng:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b):
Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) khi:


Trong Đại số 10, để chứng minh hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b), ta sử dụng tỉ số nào ?


+ Hãy dùng ngôn ngữ số gia để viết lại mệnh đề trên:
- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) khi:
+ Nếu Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì suy ra điều gì ?
Tương tự, Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ; b) khi:
Tương đương với :
+ Nếu Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì suy ra điều gì ?
2) Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lí Lagrange:
Hàm số đơn điệu: Hàm số chỉ đồng biến hoặc chỉ nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là Hàm số đơn điệu trên khoảng đó.
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong khoảng (a ; b) thì:
Vận dụng Định lí Lagrange: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và f’(x) > 0 với mọi
Cho
+ Hãy vận dụng định lí Lagrange trên đoạn :
+ Suy ra dấu của ?
+ Theo giả thiết:
+ Kết luận gì ?
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)
Tương tự: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và f’(x) < 0 với mọi ?
Suy ra:
Vậy: Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)
x a b x a b
f ’(x) + f ’(x) -
f(x) f(x)
* Định lí 2: (Bảng tóm tắt)
Định lí 3:
Minh hoạ:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b).
Nếu f ’(x)  0 (hoặc f ’(x)  0) với mọi x thuộc khoảng (a ; b), và đẳng thức chỉ xẩy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a ; b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
x a x1 x2 b
f ’(x) + 0 + 0 +

f(x)
* Ví dụ 1:Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số y = - x2 + 4x + 5.
+ Tập xác định:
R
+ Đạo hàm:
y’=f ’(x) = - 2x + 4
+ Lập bảng biến thiên của hàm số:
x 2
y’ + 0 -
9
y
+ Kết luận: Hàm số đồng biến trong khoảng:
và nghịch biến trong khoảng:
Đồ thị
Dấu của nhị thức f(x) = ax + b (a  0)
x x0
Trái dấu Cùng dấu
ax + b với a 0 với a
(x0 là nghiệm của nhị thức : f(x0) = 0  x0 = -b/a )
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

+ TXĐ:
+ Đạo hàm:
+ Lập bảng biến thiên của hàm số:
x -1 0 1
y’ + 0 - - 0 +
y -1
11
+ Trả lời sau đây Đúng hay sai ?
Hàm số đồng biến trong các khoảng:
và nghịch biến trong khoảng:
Dấu của tam thức bậc hai:
f(x) = ax2 + bx + c (a0)
+ Nếu   0 : Tam thức cùng dấu với a  af(x)  0, x
+ Nếu  > 0 : Tam thức có hai nghiệm x1 và x2 :
x x1 x2
f(x) cùng dấu 0 trái dấu 0 cùng dấu
với a với a với a
Hàm số đồng biến trong các khoảng:
và nghịch biến trong các khoảng:
Đồ thi
3) Điểm Tới hạn
Ví dụ: Xét hàm số
+ TXĐ:
+ Đạo hàm:
+ f ’(x) không xác định tại x = 0, nhưng hàm vẫn xác định tại đó, và triệt tiêu tại x = 2.
+ Ta nói: 2 điểm x0 = 0 và x1 = 1 là các điểm tới hạn của hàm số
* Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và x0  (a ; b). Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó đạo hàm f’(x) không xác định hoặc bằng 0.
* Chú ý: Đối với các hàm số y = f(x) thường gặp, đạo hàm f ‘(x) là liên tục trên khoảng xác định của nó. Khi đó giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1 và x2, đạo hàm f ‘(x) luôn giữ nguyên một dấu.
+ Thật vậy, nếu trong khoảng (x1 ; x2), có hai điểm ,  sao cho f ’()f ‘() < 0 thì theo tính chất của hàm số liên tục, đối với f ‘(x) ta có điều gì ?
f ‘(x) phải triệt tiêu tại một điểm x3 trong khoảng (x1 ; x2), điều nầy trái với giả thiết vì x1 và x2 là hai điểm tới hạn kề nhau.
* Các điểm tới hạn chia tập xác định của hàm số thành những khoảng trong đó đạo hàm giữ nguyên một dấu.
* Để tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số thông qua bảng biến thiên, ta thực hiện các bước sau:
1) Tìm các điểm tới hạn.
2) Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
3) Từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.
x - 0 2 +
f ‘(x) + - 0 +
f(x) 0

Ví dụ: