Chương I. §1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1: Soỏ gia haứm soỏ cuỷa haứm soỏ y = f(x) taùi ủieồm x0 ủửụùc tớnh theo coõng thửực:
a. y = f( x)
b. y = f(x) - f(x0)
c. y = f( x) - f(x)

d. y = f( x+ x) - f(x)
b
Câu 2: Heọ soỏ goực cuỷa tieỏp tuyeỏn taùi ủieồm M0 (x0;f(x0))
cuỷa ủo� thũ haứm soỏ y = f(x) laứ :
a. f `(x)
b. f(x)
c. f `(x0)
d. f(x0)
c
Câu 3: Heọ soỏ goực cuỷa caựt tuyeỏn AB vụựi ủo� thũ haứm soỏ y = f(x), bieỏt hoaứnh ủoọ cuỷa hai ủieồm A vaứ B la�n lửụùt laứ x1, x2 , ủửụùc cho bụỷi coõng thửực:
a.
b.
c.
d
d .
1. Nhaéc laïi ñònh nghóa haøm soá ñoàng bieán, nghòch bieán
Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b).
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu với mọi
x1,x2 ? (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu với
mọi x1,x2 ? (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Dễ dàng nhận thấy rằng
f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) ? ?y/ ?x > 0 trên khoảng (a;b).
f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) ? ?y/ ?x < 0 trên khoảng (a;b).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó.

Từ đó ta có:
f(x) đồng biến trên (a;b) thì f`(x) =
? 0
trên khoảng đó.
f(x) nghịch biến trên (a;b) thì f`(x) =
? 0
trên khoảng đó.

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lí 1( Định lí Lagrăng )
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên
khoảng (a;b) thì tồn tại điểm c ? (a;b) sao cho:
f(b) - f(a) = f`(c) (b - a)
hay
Ý nghĩa hình học của định lí Lagrăng
Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) trong đó tọa độ của điểm
A là (a;f(a)), của điểm B là (b;f(b)).
O
x
y
A
B
C
a
f(a)
b
c
f(b)
f(c)
Heä soá goùc cuûa caùt tuyeán AB laø
Đẳng thức
Có nghĩa là
O
x
y
A
B
C
a
f(a)
b
c
f(b)
f(c)
Hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c;f(c)) bằng
hệ số góc của cát tuyến AB. Vậy nếu giả thiết của định lí lagrăng
được thỏa mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB sao cho tiếp
tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.
Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a) Neáu f’(x) > 0 vôùi moïi x  (a;b) thì haøm soá y = f(x) ñoàng bieán
treân khoaûng ñoù.
b) Neáu f’(x) < 0 vôùi moïi x  (a;b) thì haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân khoaûng ñoù.

Chứng minh đ/lí 2
Lấy x1, x2 (x1 < x2 ) trên khoảng (a;b).
Áp dụng định lý Lagrăng cho hàm số y = f(x) trên đoạn [x1;x2],
Tồn tại điểm c ? (x1;x2) sao cho: f(x2) - f(x1) = f`(c) (x2 - x1)
b)Nếu f`(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì f` (c) < 0, mặt khác x2 - x1> 0
Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng ( a;b).
nên f(x2) - f(x1) < 0, tức là f(x1) > f(x2).

Định lí 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f`(x) ? 0 (hoặc f`(x) ? 0) , và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn
điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên khoảng đó.
Định lí mở rộng của định lí 2:
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
y = x3 - 6x2 + 9x .
Giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x ? R.
Ta có y` = 3x2 - 12x + 9 cũng xác định trên R.
Bảng biến thiên
x
- 
1
+ 
y’
y
3
0
0
_
y` = 0 ? x = 1 hoặc x = 3 .
+
+
4
0
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (- ? ;1) và (3; + ? ),
nghịch biến trên khoảng (1;3).

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số
y = x2 - 2x + 3.
Giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x ? R.
Ta có y` = 2x - 2 = 2(x - 1) = 0 ? x = 1.
Bảng biến thiên
x
- 
1
+ 
y’
y
0
_
+
2
Vây hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ?), nghịch biến trên
khoảng (- ?;1).

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

y =
Giải
Hàm số xác định với mọi x ? 0, x? R.
Ta có: y` =
y`cũng xác định với mọi x ? 0, x? R.
Bảng biến thiên
x
- 
+ 
0
-1
1
y’
y
0
0
+
_
_
+
-1
11
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (- ? ;-1) và (1; + ?),
nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và (0;1).
Dấu của y` là dấu của x2 - 1.
3.Điểm tới hạn
Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b)
và x0 ? (a;b). Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số
nếu tại đó f`(x) không xác định hoặc bằng 0.
Ví duï 1. Xeùt haøm soá
y =
Tập xác định (- ? ; 0) ? (0 ; + ? ).

Đạo hàm y` =
Vậy hàm số có hai điểm tới hạn là x = ? 1.
Đạo hàm triệt tiêu khi x = ? 1 và không xác định tại x = 0 .
Nhưng điểm 0 không thuộc tập xác định của hàm số.
Ví dụ 2. Hàm số
f(x) =
xác định trên (- ? ; + ?)
Ta có : f`(x) =
f`(x) không xác định tại x = 0 và triệt tiêu tại x = 2.
Hàm số đã cho có hai điểm tới hạn là x = 0 và x = 2.
Tìm đạo hàm của hàm số
Giải
* Với x > 0 , ta có:
* Với x < 0 , ta có:
Vậy, với mọi x ? 0 ta có:
y`=
Các bước tìm khoảng đơn điệu của một hàm số
thông qua bảng biến thiên :
1) Tìm các điểm tới hạn.
2) Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi
các điểm tới hạn.
3) Töø ñoù suy ra chieàu bieán thieân cuûa haøm soá trong moãi khoaûng.