Chương I. §1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đồng biến và nghịch biến của hàm số
Đồng biến và nghịch biến của hàm số
II. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
b)
Giải
Tập xác định: R


Bảng biến thiên



Vậy hàm số đồng biến trên nghịch biến trên
Đồng biến và nghịch biến của hàm số
Đồng biến và nghịch biến của hàm số
III. Chứng minh các BĐT sau:
b)
GiảI
Xét hàm số



D?u "=" x?y ra khi x= 0 nên h(x) đồng biến
trên [0;+?). Vì h(0)=0 nên ta có
Cực trị của hàm số
Lí thuyết
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0?(a;b).
x0 là điểm cực đại của hàm số f(x)
x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
2. Định lí 2
1. Định lí 1
=>x0 là điểm cực tiểu của f(x)
=>x0 là điểm cực đại của f(x)
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
Giải
Tập xác định: R=(-?; +?)
y`=4x3-24x2=4x2(x-6)=0 ? x=0, x=6.
Bảng biển thiên
x - ? 0 6 +?
y` - 0 - 0 +
0
y +? +?
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=6, yCT=y(6)=0
Cực trị của hàm số
Lí thuyết
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0?(a;b).
x0 là điểm cực đại của hàm số f(x)
x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
2. Định lí 2
1. Định lí 1
=>x0 là điểm cực tiểu của f(x)
=>x0 là điểm cực đại của f(x)
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
Giải
b) Tập xác định: R{-1}
x - ? -2 -1 0 +?
y` + 0 - - 0 +
y
Vậy CĐ (-2;-7) và CT (0;1)
y`=0 ? x= 0, x=-2
Bảng biến thiên
-7
1
Cực trị của hàm số
Lí thuyết
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0?(a;b).
x0 là điểm cực đại của hàm số f(x)
x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
2. Định lí 2
1. Định lí 1
=>x0 là điểm cực tiểu của f(x)
=>x0 là điểm cực đại của f(x)
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
Giải
c) Tập xác định: R
y`=0 ? x= -1, x= 5
y`=15 + 12x- 3x2 = -3(x2-4x-5)
Ta có y" = -6x + 12
* y"(-1)=18>0
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 và yCT=y(-1)=2
* y"(5)=-18<0
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=5 và yCĐ=y(5)=110
Cực trị của hàm số
Lí thuyết
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0?(a;b).
x0 là điểm cực đại của hàm số f(x)
x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
2. Định lí 2
1. Định lí 1
=>x0 là điểm cực tiểu của f(x)
=>x0 là điểm cực đại của f(x)
Ví dụ 2: Xác định m để hàm số
y=x3-mx2+(m-2/3)x+5
có cực trị tại x=1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tính cực trị tương ứng.
Giải
y`= 3x2-2mx+m-2/3
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y`=0 có nghiệm
??` > 0 ? m2 - 3(m - 2/3)= m2 - 3m + 2 > 0
m < 1 hoặc m > 2 (*)
Để hàm số đạt cực trị tại x=1 thì y`(1)=0 hay
3-2m+m-2/3=0 ? m=7/3 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy với m=7/3 thì y=x3-7/3x2+5/3x+5
Có y`=3x2-14/3x+5/3, y"=6x-14/3
y"(1)=6-14/3>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1
yCT= y(1)=16/3
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lí thuyết
B1. Tìm các giá trị xi ?[a; b]sao cho đạo hàm tai đó bằng 0 hoặc không xác định.
B2. Tính f(a), f(b), f(xi), (i=1,2,.
B3. Tìm
2. GTLN, GTNN trên một khoảng
Phương pháp lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.
Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
1. GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
y=f(x)=2x3-3x2-12x+10
trên đoạn [-3; 3].
Giải
Ta có f(x) liên tục trên [-3; 3]
f`(x)=6x2-6x-12=0 ? x= -1, x= 2
Tính
f(-3)= -35, f(3)= 1
f(-1)=17 , f(2)= -10
Vậy
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lí thuyết
B1. Tìm các giá trị xi ?[a; b]sao cho đạo hàm tai đó bằng 0 hoặc không xác định.
B2. Tính f(a), f(b), f(xi), (i=1,2,.
B3. Tìm
2. GTLN, GTNN trên một khoảng
Phương pháp lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.
Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
1. GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

trên đoạn [-4; 4].
Giải
Ta có f(x) liên tục trên [-4; 4]
Tính
f(-4)= 3, f(0)= 5
f(4)=3
Vậy
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lí thuyết
B1. Tìm các giá trị xi ?[a; b]sao cho đạo hàm tai đó bằng 0 hoặc không xác định.
B2. Tính f(a), f(b), f(xi), (i=1,2,.
B3. Tìm
2. GTLN, GTNN trên một khoảng
Phương pháp lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.
Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
1. GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
f(x)= 2sin x + sin 2x
trên đoạn [0; 3?/2].
Giải
Ta có f(x) liên tục trên [0; 3?/2]
Tính
Vậy
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lí thuyết
B1. Tìm các giá trị xi ?[a; b]sao cho đạo hàm tai đó bằng 0 hoặc không xác định.
B2. Tính f(a), f(b), f(xi), (i=1,2,.
B3. Tìm
2. GTLN, GTNN trên một khoảng
Phương pháp lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.
Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
1. GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]
Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

trên khoảng (-?; +?)
Giải
Ta có y liên tục trên (-?; +?)
Bảng biến thiên
x -? -2 2 +?
y` - 0 + 0 -
y
Từ bảng biên thiên ta có
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lí thuyết
B1. Tìm các giá trị xi ?[a; b]sao cho đạo hàm tai đó bằng 0 hoặc không xác định.
B2. Tính f(a), f(b), f(xi), (i=1,2,.
B3. Tìm
2. GTLN, GTNN trên một khoảng
Phương pháp lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.
Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
1. GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b]
Ví dụ 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

trên khoảng (-?; +?)
Giải
Ta có y liên tục trên (-?; +?)
Bảng biến thiên
x -? 0 +?
y` + 0 -
y
Từ bảng biên thiên ta thấy,
hàm số không có GTNN và
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Sơ đồ khảo sát hàm số
Tập xác định (chẵn, lẻ, tuần hoàn)
Sự biến thiên của hàm số
+ y` , nghiệm y`=0
+ Dấu y` => Chiều biến thiên
+ Cực trị
+ Giới hạn
+ Tiệm cận nếu có
+ Bảng biến thiên
3. Đồ thị hàm số
+ Căn trục
+ Cực trị
+ Tiệm cận
+ Điểm phụ
Tập xác định: R
+ y` = 6x2 - 6x = 0 ? x=0, x=1
+ HS đồng biến trên
và nghịch biến trên (0; 1)
+ CĐ (0; -2), CT (1; -3)
+ GH

+ Bảng biến thiên




3. Đồ thị hàm số
x -? 0 1 +?
y` + 0 - 0 +
x=0 => y =-2;
x=-1 => y =-7; x=2=>y=2
Ví dụ 1. Khảo sát hàm số
y
y=2x3-3x2-2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định: R
+ y` = -3x2 +3 = 0 ? x=-1, x=1
+ HS nghịch biến trên
và đồng biến trên (-1; 1)
+ CĐ (1; 4), CT (-1; 0)
+ GH

+ Bảng biến thiên



x -? -1 1 +?
y` - 0 + 0 -
x=0 => y =2;
x=-2 => y =4; x=2=>y=0
Ví dụ 1. Khảo sát hàm số
y
Đồ thị hàm số
y=-x3+3x+2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định: R
+ y` = 6x2 - 18x +12= 0 ? x=1, x=2
+ HS đồng biến trên
và nghịch biến trên (1; 2)
+ CĐ (1; 6), CT (2; 5)
+ GH

+ Bảng biến thiên




3. Đồ thị hàm số
x -? 1 2 +?
y` + 0 - 0 +
x=0 => y =1;
x=3 => y =10
Ví dụ 1. Khảo sát hàm số
y
y=2x3-9x2+12x+1
d) Khảo sát hàm số y= x3-x2+x
x - +
y` +
y
x=0 => y =0; x=1=> y=1, x=-1=>y=-3
x = 2 => y = 6
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định: R
+ y` = -3x2 +6x+9 = 0 ? x=-1, x=3
+ HS nghịch biến trên
và đồng biến trên (-1; 3)
+ CĐ (3; 26), CT (-1; -6)
+ GH

+ Bảng biến thiên



x -? -1 3 +?
y` - 0 + 0 -
x=0 => y =-1;
x=-3=>y=26, x=5=> y =-6
Ví dụ 1. Khảo sát hàm số
y
Đồ thị hàm số
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định: R
+ y` = 3x2 - 12x +9= 0 ? x=1, x=3
+ HS đồng biến trên
và nghịch biến trên (1; 3)
+ CĐ (1; 4), CT (3; 0)
+ GH

+ Bảng biến thiên




3. Đồ thị hàm số
x -? 1 3 +?
y` + 0 - 0 +
x=0 => y =0;
x=4 => y =4
Ví dụ 1. Khảo sát hàm số
y
Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau
Tập xác định: R
+ y` = -2x3 + 2x = 0 ?x=0, x=-1, x=1
+ HS nghịch biến trên
đồng biến trên
+ CĐ (-1; 3/2) và (1; 3/2), CT (0; 1)
+ GH
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x - -1 0 1 +
y` + 0 - 0 + 0 -
y
x=0 => y =1;
Y=-x4/2+x2+1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 2. Khảo sát hàm số y= x4 -2x2 +2
Tập xác định: R
+ y` = 4x3 - 4x = 0 ?x=0, x=-1, x=1
+ HS đồng biến trên
và nghịch biến trên
+ CT (-1; 1) và (1; 1), CĐ (0; 2)
+ GH
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x -? -1 0 1 +
y` - 0 + 0 - 0 +
x=0 => y =2; x=2=> y= 10
y= x4 -2x2 +2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau
Tập xác định: R
+ y` = -4x3 + 2x = 0
+ HS nghịch biến trên
đồng biến trên
+
+ GH
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x - -1/?2 0 1?2 +
y` + 0 - 0 + 0 -
y
x=0 => y =0;
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 5. Khảo sát hàm số y= x4 - 4x2 +3
Tập xác định: R
+ y` = 4x3 - 8x = 0
+ HS đồng biến trên
và nghịch biến trên
+
+ GH
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
y` - 0 + 0 - 0 +
y= x4 -4x2 +3
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 6. Khảo sát hàm số y= x4 +2x2 - 2
Tập xác định: R
+ y` = 4x3 + 4x = 0 ?x=0
+ HS đồng biến trên
và nghịch biến trên
+ CT (0; -2)
+ GH
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x -? 0 +
y` - 0 +
y
x=??1 => y =1
y= x4 +2x2 -2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 7. Khảo sát hàm số y= -x4 - x2 + 3
Tập xác định: R
+ y` = -4x3 - 2x = 0 ?x=0
+ HS nghịch biến trên
và đồng biến trên
+ CT (0; 3)
+ GH
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x -? 0 +
y` + 0 -
y
x=??1 => y =1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
y= -x4 -x2 +3
Ví dụ 1. Khảo sát hàm số
Tập xác định: R{2}
+
+ Hàm số nghịch biến trên R{2}
+ Hàm số không có cực trị
+ Tiệm cận đứng x= 2 vì
+ Tiệm cận ngang y= 1 vì
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x - 2 +
y` - -
; y=0=> x=-1
x=0 => y =-1/2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
y
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau
Tập xác định: R{-2/3}
+
+ Hàm số đồng biến trên R{-2/3}
+ Hàm số không có cực trị
+ Tiệm cận đứng x=-2/3 vì
+ Tiệm cận ngang y=2/3 vì
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x - -2/3 +
y` + +
y
; y=0=> x=1/2
x=0 => y =-1/2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Khảo sát hàm số
Tập xác định: R{1/2}
+
+ Hàm số nghịch biến trên R{1/2}
+ Hàm số không có cực trị
+ Tiệm cận đứng x= 1/2 vì
+ Tiệm cận ngang y= 1 vì
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x - 1/2 +
y` - -
; y=0=> x=2
x=0 => y =-2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
y
x=1 => y=1
x=-1 => y=-1
x=1/2
y=-1/2
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau
Tập xác định: R{-2}
+
+ Hàm số đồng biến trên R{-2}
+ Hàm số không có cực trị
+ Tiệm cận đứng x=-2 vì
+ Tiệm cận ngang y=2 vì
+ Bảng biến thiên



3. Đồ thị hàm số
x - -2 +
y` + +
y
; y=0=> x=-1/2
x=0 => y =1/2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
x=-3 => y=5, x=-5=>y=3
x=1=>y=1
Lí thuyết
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0 (x0; y0)
y - f(x0) = f`(x0)(x - x0) (*)
B1. Tính y`
B2. Tìm các đại lượng x0, y0, f`(x0)
B3. Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y= x3 + 3x + 2 tại điểm M(1; 6)
Giải
Theo đầu bài ta có:
x0= 1, y0 = 6
y`(x0)= y`(1) = 3.12 + 2=5.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(1; 6) là:
y - 6 = 5(x-1) ? y= 5x + 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0 (x0; y0)
y - f(x0) = f`(x0)(x - x0) (*)
y` = 3x2 + 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Lí thuyết
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0 (x0; y0)
y - f(x0) = f`(x0)(x - x0) (*)
B1. Tính y`
B2. Tìm các đại lượng x0, y0, f`(x0)
B3. Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y= x4 - 2x2 + 3 tại điểm có hoành độ bằng -1
Theo đầu bài ta có:
x0= -1, y0 = y(-1)=(-1)4-2.(-1)2+3=2
y`(x0)= y`(-1) = 4.(-1)3 - 4(-1)= 0
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm là:
y - 2 = 0(x + 1) ? y= 2
Giải
y` = 4x3 - 4x
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Lí thuyết
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0 (x0; y0)
y - f(x0) = f`(x0)(x - x0) (*)
B1. Tính y`
B2. Tìm các đại lượng x0, y0, f`(x0)
B3. Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm có tung độ bằng 3.
Theo đầu bài ta có:
y0= 3,



Vậy PTTT của đồ thị hàm là:
y - 3 = -2(x -2) ? y= -2x + 7
Giải
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Lí thuyết
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.
PTTT (d) có dạng y=kx + m.
(d) Tiếp xúc với đồ thị hàm số khi và chỉ khi
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

T2 có hệ số góc bằng -3
TT vuông góc với x - 15y=0
Giải (2) tìm x.Thay vào (1) tìm k
Suy ra PTTT của đồ thị hàm số
Cần nhớ
(d): y=ax+b và (d`): y=mx+n
Giải
a) PT (d) có dạng y= -3x + m
(d) Là TT khi và chỉ khi
(2) ? x2+2x-3=-3x2-6x-3? x=0, x=-2
Thế vào (1)
x=0 => m=1=> PT3: y=-3x+1
x=-2 => m=-15 => PT3: y= -3x - 15
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Lí thuyết
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.
PTTT (d) có dạng y=kx + m.
(d) Tiếp xúc với đồ thị hàm số khi và chỉ khi
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

T2 có hệ số góc bằng -3
TT vuông góc với x-15y=0
Giải (2) tìm x.Thay vào (1) tìm k
Suy ra PTTT của đồ thị hàm số
Cần nhớ
(d): y=ax+b và (d`): y=mx+n
Giải
b) PT (d) có dạng y= -15x + m
(d) Là TT khi và chỉ khi
(2) ?x2+2x-3=-15x2-30x-15
? x=-1/2, x=-3/2. Thế vào (1)
x=-1/2 => m=-3=> PT3: y=-15x - 3
x=-3/2 => m=-35 => PT3: y= -3x - 35
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Lí thuyết
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.
Phương pháp
Giải PT: f`(x0)=k tìm x0
Tính y0= f(x0)
PTTT: y-y0 = k(x-x0)
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=-x3 + 3x2 - 4x + 2
Biết tiếp đó vuông góc với đường thẳng y=1/4.x+3
Cần nhớ
(d): y=ax+b và (d`): y=mx+n
Giải
Đường thẳng d vuông góc với y=1/4x+3 có hệ số góc k=-4.
Hoành độ tiếp điểm của d với đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
-3x2+6x-4=-4 ?-3x(x-2)=0?x=0, x=2
x1=0=>y1=y(0)=2. Vậy PTTT là:
y-2=-4(x-0) hay y=-4x+2
x2=2=>y2=y(2)=-2. Vậy PTTT là:
y+2=-4(x+2) hay y=-4x+6
Lí thuyết
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tiếp tuyến qua A(x1;y1).
PT (d) qua A có dạng y=k(x-xA)+yA.
(d) Tiếp xúc với đồ thị hàm số khi và chỉ khi
Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = x3 - 3x2 + 1
Biết tiếp tuyên đi qua A(23/9; -3)
Thế (2) vào (1) tìm x.
Thay x (2) tìm k.
Suy ra PTTT (d) của đồ thị hàm số.
Giải
PT (d) qua A có dạng
y = k(x-23/9) - 3
(d) Là TT khi và chỉ khi
Thế (2) và (1) và rút gọn ta được
3x3-16x2+23x-6=0?x=2,x=3,x=1/3
Thay vào (2) ta được
x=2 => k= 0 => TT: y= -3
x= 3 => k= 9 => TT: y= 9x - 26
x= 1/3 => k= -5/3=>TT: y= -5/3x - 34/27
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Lí thuyết
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tiếp tuyến qua A(x1;y1).
PT (d) qua A có dạng y=k(x-xA)+yA.
(d) Tiếp xúc với đồ thị hàm số khi và chỉ khi
Ví dụ 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Biết tiếp tuyên đi qua O(0; 0)
Thế (2) vào (1) tìm x.
Thay x (2) tìm k.
Suy ra PTTT (d) của đồ thị hàm số.
Giải
PT (d) qua O(0;0) có dạng
(d) Là TT khi và chỉ khi
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = kx
Giải phương trình thứ nhất ta được:
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
PTTT:
Lí thuyết
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tiếp tuyến qua A(x1;y1).
PT (d) qua A có dạng y=k(x-xA)+yA.
(d) Tiếp xúc với đồ thị hàm số khi và chỉ khi
Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Biết tiếp tuyên đi qua B(3;3)
Thế (2) vào (1) tìm x.
Thay x (2) tìm k.
Suy ra PTTT (d) của đồ thị hàm số.
Giải
PT (d) qua B có dạng
(d) Là TT khi và chỉ khi
Thế (2) và (1) và rút gọn ta được
Thay vào (2) ta được k=3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = k(x-3) + 3
=> x=2
Vậy PTTT là: y=3(x-2)
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
Giải
Số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của phần đồ thị (C) với (d): y=m.
+ Nếu m<-3 hoặc m>1 thì (C) và (d) có một điểm chung=> PT có một nghiệm.
+ Nếu m=-3 hoặc m=1 thì (C) và (d) có hai điểm chung=> PT có hai nghiệm.
+ Nếu -3 PT có ba nghiệm.
Ví dụ 2: Với đồ thị (C) của hàm số y=x3-3x2+1. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x3-3x2+1 =m
x3-3x2+m=0 với
Giải
b) x3-3x2+1=1-m
Với x=-1=>y=-3, x=5/2=>y=-17/8
Số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của phần đồ thị (C) với (d): y=1-m .Trên[-1;5/2]
+ Nếu 1-m<-3 hoặc 1-m>1?m>4 hoặc m<0=> PT vô nghiệm.
+ Nếu 1-m=1?m=0 => PT có một nghiệm.
+ Nếu -17/8 <1-m<1 hoặc 1-m= -3 ? 0 PT có hai nghiệm.
+ Nếu -3<1-m<-17/8 ? 25/8 PT có ba nghiệm.
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
Ví dụ 3: Với đồ thị (C) của hàm số y=4x4-6x2. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4x4 - 6x2 + 1 - m = 0
Giải
Số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của phần đồ thị (C) với (d): y=m-1 .
+ Nếu m-1<-9> PT vô nghiệm.
+ Nếu m-1=-9/4 hoặc m-1>0?m=-5/4 hoặc m>1 thì (C) và (d) có hai điểm chung=> PT có hai nghiệm.
+ Nếu m-1=0 ? m= 1 thì (C) và (d) có ba điểm chung=> PT có ba nghiệm.
+ Nếu -9/4 PT có bốn nghiệm.
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
Ví dụ 4: Với đồ thị (C) của hàm số y=-x3+3x+1. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
-x3+3x+m =0
Số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của phần đồ thị (C) với (d): y=1- m.
+ Nếu 1-m<-1 hoặc 1-m>3 hay m>2 hoặc m<-2 thì (c) và (d) có một điểm chung => PT có một nghiệm.
+ Nếu 1-m=-1 hoặc 1-m=3 hay m=2 hoặc m=-2 thì (C) và (d) có hai điểm chung=> PT có hai nghiệm.
+ Nếu -1 <1-m<3 hay 2>m>-2 thì (C) và (d) có ba điểm chung=> PT có ba nghiệm.
Giải
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
Ví dụ 3: Với đồ thị (C) của hàm số y=-x4+2x2+3. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
-x4 +2x2 - m = 0
Giải
Số nghiệm của phương trình bằng số điểm chung của phần đồ thị (C) với (d): y=3+m .
+ Nếu 3+m>4?m>1 thì (C) và (d) không có điểm chung=> PT vô nghiệm.
+ Nếu 3+m=4 hoặc 3+m<3?m=1 hoặc m<0 thì (c) và (d) có hai điểm chung=> PT có hai nghiệm.
+ Nếu 3+m=3 ? m= 0 thì (C) và (d) có ba điểm chung=> PT có ba nghiệm.
+ Nếu 3<3+m<4 ? 0 PT có bốn nghiệm.
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình