Chương I. §1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Trang bìa
Trang bìa:
TRƯỜNG TRUNG CẤP KINH TẾ KỸ THUẬT TIỀN GIANG SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ KHOA CƠ BẢN TỔ TỰ NHIÊN GV: TNM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Hoạt động 1:
HOẠT ĐỘNG NHÓM Các em dựa vào đồ thị hãy chỉ ra các khoảng tăng ,giảm của hàm số: 1) y = cosx trên đoạnlatex([- pi/2;(3pi) /2]) 2) y =latex(|x|) trên khoảng latex((-oo; oo)) latex(-pi/2 latex(pi/2 latex(pi latex((3pi)/2 TRẢ LỜI Đồng biến trên latex(((-pi)/2;0) ;(pi;(3pi)/2)) và nghịch biến trên latex((0;pi) Đồng biến trên latex((0; oo) và nghịch biến trên latex((-oo;0) Từ đó ,các em hãy nhắc lại định nghĩa sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số ? Nhắc lại định nghĩa:
Nhắc lại định nghĩa: a/ Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu với mọi cặplatex(x_1,x_2)thuộc K mà latex(x_1< x_2)thì latex(f(x_1) f(x_2)),tức là:latex(x_1< x_2) latex(hArr)latex(f(x_1) >f(x_2)). Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. Các em có nhận xét gì về dấu của tỉ sốlatex((f(x_1) - f(x_2))/(x_1 - x_2))khi hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K? Nhận xét: Nhận xét
Ta có nhận xét : a) f(x) đồng biến trên Klatex(hArr)latex((f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1))> 0,latex(AAx_1,x_2inK) ,(latex(x_1!=x_2)); b) f(x) nghịch biến trên Klatex(hArr)latex((f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1))< 0,latex(AAx_1,x_2inK) ,(latex(x_1!=x_2)). c) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải ; Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải . o x y a b ĐỒNG BIẾN o x y a b NGHỊCH BIẾN Hoạt động 2:
HOẠT ĐỘNG NHÓM: 1/ latex(y = - (x^2)/2) 2/ latex(y = 1/x) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số và nhận xét mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm ? x y` y latex(-oo) 0 latex( oo) 0 - latex(-oo) 0 latex(-oo) x y` y latex(-oo) 0 latex( oo) - - 0 latex(-oo) latex( oo) 0 Nếu y`(x) > 0 thì hàm số đồng biến trên K . Nếu y`(x) < 0 thì hàm số nghịch biến trên K. Trả lời Định lý: Định l1
ĐỊNH LÝ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f `(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f `(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. Tóm lại, trên K ta có: latex({) latex(f `(x) > 0 rArr f(x) đồng biến latex(f `(x) < 0 rArr f(x) nghịch biến CHÚ Ý: Nếu f `(x) = 0,latex(AA x in) K thì f (x) không đổi trên K. ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ Hoạt động 3:
HOẠT ĐỘNG NHÓM: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 1) y = latex(2x^4 1) 2) y = sinx trên khoảnglatex((0;2pi)) Giải Hàm số xác định với mọi xlatex(in)R Ta có latex(y`=8x^3) y` =0latex(hArr) x = 0 Bảng biến thiên x y` y latex(-oo) 0 latex( oo) - 0 latex( oo) 1 latex( oo) Vậy hàm sốlatex(y = 2x^4 1)nghịch biến trên khoảnglatex((-oo;0)); đồng biến trên khoảnglatex((0; oo)) Hàm số xác định với mọi xlatex(in (0:2pi)) Ta có latex(y`= cosx) Bảng biến thiên x y` y 0 latex(pi/2) latex((3pi)/2) latex(2pi) 0 - 0 0 1 -1 0 Vậy hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảnglatex((pi/2;(3pi)/2)); đồng biến trên khoảnglatex((0;pi/2)và((3pi)/2;2pi)) Chú ý:
HOẠT ĐỘNG NHÓM: Khẳng định sau đúng hay sai? Nếu hàm số f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì f `(x)>0 hoặc f `(x)<0,latex(AA x in K). Ví dụ : hàm sốlatex(y =x^3)có đồ thị như hình bên Hướng dẫn: y ` =latex(3x^2)latex(>=0),latex(AA x in R) Trả lời: Khẳng định trên sai Từ đó ta có Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f `(x)latex(>=0)(f `(x)latex(<=0)),latex(AA x in K)và f `(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến ) trên K. CHÚ Ý: Hoạt động 4:
HOẠT ĐỘNG NHÓM: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm sốlatex(y = 2x^3 6x^2 6x -27) Giải Hàm số xác định với latex(AA x in R) Ta có: latex(y` =6x^2 12x 6 = 6(x 1)^2) Do đó: latex(y` = 0 hArr x = -1 ) và y` > 0 với mọi latex( x != -1) Theo định lý mở rộng, hàm số luôn đồng biến trên R. TỪ CÁC HOẠT ĐỘNG TRÊN CÁC EM HÃY NÊU RA QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ? QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
QUY TẮC: 1. Tìm tập xác định. 2. Tính đạo hàm f`(x). Tìm các điểmlatex(x_i)(i =1,2,...,n) mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định. 3. Sắp xếp các điểmlatex(x_i) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. BÀI TẬP ÁP DỤNG a/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: latex(y =1/3x^3 - 1/2x^2 -2x 2) b/Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:latex(y = (x-1)/(x 1)) c/Chứng minh rằng x > sinx trên khoảnglatex((0;pi/2))bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = x - sinx Bài tập 1:
a/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: latex(y =1/3x^3 - 1/2x^2 -2x 2) Giải: Hàm số xác định với mọi x latex(in)R Ta có : latex(y` = x^2 - x -2 ) y` = 0 latex(hArr) latex([) x = -1 x = 2 Bảng biến thiên: x y` y latex(-oo) -1 2 latex( oo 0 0 - latex(-oo) latex(19/6 latex(-4/3 latex( oo Vậy hàm số đồng biến trên các khoảnglatex((-oo;-1) và (2; oo)),nghịch biến trên khoảng (-1;2). Bài tập 2:
b/ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:latex(y = (x-1)/(x 1)) Giải: Hàm số xác định với mọi xlatex(!=)-1 Ta có: latex(y` =((x 1)-(x-1))/((x 1)^2 )= 2/((x 1)^2)) > 0 Bảng biến thiên x y` y latex(-oo) -1 latex( oo) 1 latex( oo) latex(-oo) 1 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảnglatex((-oo;-1) và (-1; oo)) Bài tập 3:
c/ Chứng minh rằng x > sinx trên khoảnglatex((0;pi/2))bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = x - sinx Giải: Xét hàm số f(x) = x - sinx latex((0<= x =)0 ( f `(x) = 0 chỉ tại x =0) nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng latex([0;pi/2)) Do đó, với 0 < x f(0) = 0 Suy ra : x > sinx trên khoảng latex((0;pi/2) latex(pi/2) CỦNG CỐ BÀI
trắc nghiệm:
Các khẳng định sau đúng hay sai ?
1/ Nếu hàm số f(x) đồng biến trên K thì f `(x) > 0 với mọi x thuộc K
2 /Nếu latex(f`(x) >=0) với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K
3/ Nếu f`(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
4/ Nếu f(x) = 3 với mọi x thuộc R thì hàm số f(x) đồng biến trên R
5/ Hàm số f(x) = latex(-(1/3)x^3 nghịch biến trên R)
HƯỚNG DẨN TỰ HỌC Ở NHÀ
Tự học:
TỰ HỌC Ở NHÀ Học kỹ lý thuyết : các định lý và quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Giải các bài tập trang 9, 10 trong sách giáo khoa. Xem trước bài học cực trị của hàm số.