Chương I. §1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Chương I:
Hệ thức lượng trong tam giác vuông

§1 Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ng
A
B
H
a
c
b
h
b`
c`
Cho ? ABC vuông tại A, a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác, b`; c`: là hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền
C
Nhờ một hệ thức trong tam giác vuông ta có thể đo được chiều cao của cây bằng một chiếc thước thợ !
Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b, và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b`, BH = c` lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC.(h.1)
A
B
C
H
b
c
a
h
c’
b’
Hình 1
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
A
B
C
H
b
c
a
h
c’
b’
Hình 1
Chứng minh: (h.1)
Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó:
? AC2 = BC.HC, tức là b2 = a.b`. Tương tự, ta có c2 = a.c`.


Với các ký hiệu đã qui ước như trên ta cần chứng minh hệ thức nào?
Ta cần chứng minh hệ thức b2=ab`; c2=ac`
Em nào có thể chứng minh được điều đó
B
A
C
b`
b
c
Ví dụ 1. (Định lí Py-ta-go - Một hệ quả của định lí 1)

Ta có: a = b` + c`, do đó: b2 + c2 = ab` + ac` = a(b` + c`) = a . a = a2.
Như vậy: Từ định lí 1 ta suy ra được định lí Py-ta-go
H
c`
a
2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
Định lí 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
?1
Ta có: ?AHB ~ ?CHA (g.g) ? ? h2 = b`.c`

Xét hình 1. Chứng minh ?AHB ~ ?CHA . Từ đó suy ra hệ thức 2.
A
B
C
H
b
c
a
h
c’
b’
Hình 1
A
C
E
D
2,25 m
1,5 m
Ví dụ 2. Tính chiều cao của cây trong hình 2 biết rằng người đo đứng cách cây 2,25 m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1,5 m.
Hình 2
Ta có ? ADC vuông tại D, DB là đường cao ứng với cạnh huyền AC và AB = 1,5m. Theo định lý 2 ta có BD2 = AB . BC tức là (2,25) 2 = 1,5 . BC
Vậy chiều cao của cây là AC = AB + BC = 1,5 +3,375 = 4,875 (m)
B
Định lý 2 thiết lập mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Định lý 3 dưới đây thiết lập mối quan hệ giữa đường cao này với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Định lí 3
Với các ký hiệu trong hình 1, em nào có thể viết được giả thiết kết luận của định lý 3
A
C
H
b
c
a
h
c’
b’
Hình 1
GT
KL
? ABC vuông tại A, AH ? BC
B
bc = ah
(3)
ABC~ HAC (g.g) 

? b.c = a.h
Chứng minh
Từ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức (3). Tuy nhiên có thể chứng minh hệ thức (3) bằng cách khác
?2
Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng
Nhờ định lý Py-ta-go, từ hệ thức (3), ta có thể suy ra một hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông
Thật vậy, ta có

Từ đó ta có

.
Định lý 4
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông
Em nào có thể phát biểu thành một định lý
Ví dụ 3 Cho tam giác vuông trong đó có các cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông
Gäi ®­êng cao xuÊt ph¸t tõ ®Ønh gãc vu«ng cña tam gi¸c nµy lµ h. Theo hÖ thøc gi÷a ®­êng cao øng víi c¹nh huyÒn vµ hai c¹nh gãc vu«ng, ta cã:


8cm
6cm
h
Chú ý. Trong các ví dụ và bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi bài nếu không ghi đơn vị ta qui ước là cùng đơn vị đo
Tính x và y trong mỗi hình sau:






8
6
x
y
12
x
y
20
A
B
C
H
M
N
P
K
BC2=AB2+AC2 ?BC2=62+82=102 ?BC = 10,do AB2= BH.BC
?BH = x =
? y= 6,4
Ta có: PM2=PK.PN
?x = PK =
Vậy y=12,8
x
A
B
Ta có: PM2=PK.PN
?x = PK =
Vậy y=12,8
Có thể em chưa biết
Các hệ thức b2 = ab`, c2 = ac`(1) và h2 = b`c`(2) còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân
Hệ thức (1) được phát biểu như sau:
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền
Tương tự hệ thức (2) được phát biểu như sau:
Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền
Người thực hiện
Đinh thị phương
Giáo viên trường thcs Anh Sơn- huyện Anh Sơn- Tỉnh Nghệ An
Với sự cộng tác của anh Phan Đình Thi và anh Phan Đình Văn
Chỉ đạo nội dung: Đinh Thị Phương
Thiết kế mỹ thuật: Phan Đình Thi
Đồ hoạ vi tính: Phan Đình Văn
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm theo dõi của quí vị và các bạn!
Mọi sự đóng góp ý kiến xin gửi về địa chỉ: Đinh Thị Phương
Giáo viên Trường THCS Anh Sơn- Huyện Anh Sơn- Tỉnh Nghệ An
Chỗ ở hiện tại: Xóm 2 - Xã Thạch Sơn - Huyện Anh Sơn - Tỉnh Nghệ An.