Chương I. §1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1
Bài 1:
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
2

I) Đặt vấn đề:
Em hãy nêu biện pháp đo chiều cao của cây.
3

I) Đặt vấn đề:
Dựa vào cây thước này người ta có thể “đo chiều cao của cây”.
“Đo” và tính toán như thế nào?
Để hiểu rõ chúng ta cùng nghiên cứu bài 1:
“MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG”
Em có nhận xét gì về cây thước của người thợ.
4

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Xét ABC vuông tại A
AB, AC: cạnh góc vuông.
BC : cạnh huyền
AH : đường cao ứng với cạnh
huyền.
BH : Hình chiếu của AB trên BC
CH : Hình chiếu của AC trên BC
5

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Xét AHB, CAB
 
H = A = 1V (gt)


B : góc chung

 AHB ~ CAB (g.g)

AB BH
Cho ta ------ = ------
BC AB

Vậy : AB2 = BH.BC (đpcm)

1) Hệ thức giữa góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Chứng minh : AB2 = BH.BC
6

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.


7

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG


Ví dụ 1: (Học sinh phát biểu định lý Py – ta Go)

Chứng minh : BC2 = AB2 + AC2
8
Xét AHB và AHC

AHB = CHA = 1V (gt)

BAH = ACH (cùng phụ với HAC)

 AHB ~ CHA (g.g)

AH BH
Cho ta ------ = ------
CH AH

Vậy : AH2 = BH.CH (đpcm)

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
2) Một số hệ thức liên quan đến đường cao
Chứng minh : AH2 = BH.CH
9

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình
phương đường cao ứng với cạnh
huyền bằng tích hai hình chiếu
của hai cạnh góc vuông trên cạnh
huyền.
10

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Giải
Tính AC
Xét ADC vuông tại D có DB đường cao ứng với cạnh huyền AC
Áp dụng định lý 2 ta có:
DB2 = AB.BC (DB= AE=2,25m)
(2,25)2 = 1,5.BC (AB= DE= 1,5m)
BC = (2,25)2 / 1,5 = 3,375m
AC = AB + BC = 1,5 + 3,375
= 4,875 (m)

Vậy cây AC cao 4,875 m
Ví dụ 2:Tính chiều cao của cây AC, biết người đo
cách cây 2,25m (BD = 2,25m).
Mắt người đo cách mặt đất 1,5 m (DE = 1,5m)
11

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Định lý 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc
vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao
tương ứng.
Chứng minh : AB.AC = AH.BC
Xét AHB, CAB
 
H = A = 1V (gt)


B : góc chung

 AHB ~ CAB (g.g)

AH AB
Cho ta ------ = ------
AC BC

Vậy : AB.AC = AH.BC (đpcm)
12

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Ta có : AH.BC = AB.AC (định lý 3)
 AH2.BC2 = AB2 .AC2
Mà AB2 + AC2 = BC2 (định lý Py.ta.go)
AH2(AB2 + AC2) = AB2 . AC2
AB2 + AC2 1
 --------------- = ---------------
AB2 . AC2 AH2
1 1 1
Vậy : ------ = -------- + --------
AH2 AB2 AC2
1 1 1
Ví dụ 3: Chứng minh : ---- = ----- - -----
AH2 AB2 AC2
13

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ : cho ABC vuông tại A, đường cao AH,
AB = 3cm AC = 4 cm. Tính AH.
3 cm
4 cm
Giải
1 1 1
Ta có ----- = ------ + -------
AH2 AB2 AC2
1 1 1
------ = ------ + -----
AH2 32 42
 AH2 = (32 . 42)/(32 + 42)
= 144 / 25
 AH = = 2,4cm
14

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BẢNG TÓM TẮT:
ABC vuông tại A, đường cao AH,
1) AB2 = BH . BC, AC2 = CH.BC
2) AH2 = BH.CH
3) AB.AC = AH.BC
4) BC2 = AB2 + AC2 (PY.TA.GO)
1 1 1
5) ----- = ------ + ------
AH2 AB2 AC2