Chương I. §1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Phạm Duy Hiển - Trường THCS Lạc Long Quân
Trang bìa
Trang bìa:
Kiểm tra bài cũ
Học sinh 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . Chứng minh a) latex(AB^2 = BH.BC ; AC^2 = CH . BC b) latex(AH^2 = BH . HC) Chứng minh Tìm đường lối giải câu a latex(AB^2 = BH . BC) Muốn chứng minh latex(AB^2 = BH . BC) ta phải chứng minh điều gì ? latex((AB)/(BC) = (BH)/(AB)) Muốn chứng minh hệ thức latex((AB)/(BC) = (BH)/(AB)) ta dựa vào đâu ? latex(Delta HBA ~ Delta ABC) Hai tam giác HBA và ABC đã có đủ điều kiện để đồng dạng chưa ? Vì sao ? latex(angle(H) = angle(A) = 90^0) và góc B là góc chung a) Xét hai tam giác vuông HBA và ABC có góc B là góc chung latex(rArr) latex(Delta HBA ~ Delta ABC) latex(rArr) latex((AB)/(BC) = (BH)/(AB) rArr AB^2 = BH . BC) Chứng minh tương tự ta có latex(AC^2 = CH.BC) b) Xét hai tam giác vuông HBA và HAC có latex(angle(HBA) = angle(HAC)) ( vì cùng phụ với góc HAB) latex(rArr) latex(Delta HBA ~ Delta HAC) latex(rArr) latex((AH)/(BH) = (CH)/(AH) rArr AH^2 = BH . HC) Giới thiệu một số kí hiệu:
Tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền BC = a , các cạnh góc vuông AC = b , AB = c Đường cao AH = h và CH = b` , BH = b` lần lượt là hình chiếu của AC , AB trên cạnh huyền BC . Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Định lí 1:
Trong một tam giác vuông , bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền . Hệ quả ( Định lí Pi-ta-go) latex(b^2 c^2 = ab` ac` = a(b` c`) = a . a = a^2) hay latex(a^2 = b^2 c^2) Bài tập số 1:
Bài số 1: Tìm x, y trong hình vẽ sau : latex(BC^2 = AB^2 AC^2 = 8^2 6^2 = 100) Vậy BC = 10 Vì latex(AB^2 = BC.BH rArr BH = (AB^2)/(BC)) nên BH = latex((8^2)/10) = 6,4 hay y = 6,4 . mà x = BC - y = 10 - 6,4 = 3,6 Vì latex(AC^2 = BC.CH rArr CH = (AC^2)/(BC)) nên CH = latex((12^2)/20) = 7,2 hay x = 7,2 . mà y = BC - x = 20 - 7,2 = 12,8 Bài tập số 2:
Tìm x,y trong hình vẽ sau Ta có BC = BH CH = 1 5 = 6 mà latex(AB^2 = BH . BC = 6 . 5 = 30 rArr AB = sqrt(30)) hay y = latex(sqrt(30)) mà latex(AC^2 = CH . BC = 6 . 1 = 6 rArr AB = sqrt(6)) hay x = latex(sqrt(6)) Hệ thức liên quan tới đường cao
Định lí 2:
Định lí 2 : Trong tam giác vuông , bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền latex(h^2) = b`.c` Tính chiều cao của cây trong hình vẽ, biết rằng người đó đứng cách cây 2,25m và khoảng cách từ mắt người đó đến mắt đất là 1,5m Áp dụng định lí 2 ta có: latex(BD^2) = AB.BC <=> latex(2,25^2) = 1,5.BC => BC = 3,375(m) Chiều cao cuả cây : AC = AB BC = 4,875(m) Định lí 3:
Định lí 3 : Trong tam giác vuông , tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đường cao tương ứng b.c = a . h Chứng minh : Vì diện tích tam giác vuông ABC = latex(1/2 AB . AC = 1/2 AH . BC) cho nên AB . AC = AH . BC hay b.c = a . h Hãy sử dụng định lí Pitago và nội dung định lí 3 để chứng minh hệ thức sau: Hoàn thành bài tập sau:
Từ đẳng thức : ah = bc => latex(a^2.h^2) = ||latex(b^2.c^2)|| (1) ; Theo đinh lí Pitago ta có : latex(a^2) = ||latex(b^2 c^2)|| (2) Thay (2) vào (1) ta có: ||(latex(b^2 c^2)).latex(h^2) ||= latex(b^2. c^2) =>latex(1/(h^2) = (b^2 c^2)/(b^2.c^2)) . Từ đó suy ra latex(1/(h^2)) = latex(1/(b^2)) latex(1/(c^2)) Định lí 4 :
Định lí 4 : Trong tam giác vuông , nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng bình phương các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông . latex(1/(h^2) = 1/(b^2) 1/(c^2)) VD: Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông Từ biểu thức : latex(1/(h^2)) = latex(1/(b^2)) latex(1/(c^2) = 1/(6^2) 1/(8^2)) Từ đó suy ra : latex(h^2 = (6^2 . 8^2)/(6^2 8^2) hay h = latex(sqrt((6^2 .8^2)/(6^2 8^2)) = 4,8 Vậy h = 4,8(cm) Bài tập củng cố
Bài 1:
Tìm giá trị của x,y của hình bên
x = 15 ; y = 22
x = 12 , y = 20
x = 15 , y = 20
x = 10 , y = 22
Bài 2:
Tìm x , y trong hình bên
x = 3,75 ; y = 12
x = 3,75 ; y = 12,25
x = 4; y = 15
x = 4 ; y = 12,25
Bài tập 3:
Tìm giá trị của x, y trong hình sau : Giải Theo định lí 2 ta có latex(AH^2 = BH . HC) cho nên latex(HC = (AH^2)/(BH) Vậy latex(HC = (2^2)/1 = 4) hay x = 4 Áp dụng định lí Pi-ta-go , latex(AC = sqrt(AH^2 HC^2) = sqrt(2^2 4^2) = sqrt(20) hay y = latex(sqrt(20) Hướng dẫn về nhà:
- Học các kí hiệu về tam giác vuông - Học định lí 1,2,3,4 - Làm các bài tập 1,2,3,4 trong SBT (trang 89)