Chương I. §1. Mệnh đề

Chương I – mệnh đề và tập hợp
Mệnh đề và mệnh đề chứa biến.
Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học.
Tập hợp và các phép toán trên tập hợp.
Số gần đúng và sai số.
Mệnh đề là gì?
Mệnh đề là một câu khẳng định. (có thể đúng hoặc sai)
Ví dụ :
số chẵn là số chia hết cho 3
Số thập phân vô hạn tuần hoàn là một dãy các chữ số được lặp đi lặp lại tuần hoàn và vô hạn.
Mệnh đề logic (hay mệnh đề)
BÀI 2 : ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
Định lí và chứng minh định lí.
Điều kiện cần và điều kiện đủ.
Định lí đảo, điều kiện cần và đủ.
Câu hỏi và bài tập.
2.1 ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ
Khái niệm : “Định lí” là một phát biểu, một khẳng định mà nó định nghĩa cho một khái niệm, tính chất nào đó.(toán học, vật lí, hóa học...).
VD1: định lí về hai đường thẳng song song.
định lí Fermat.
Xét một định lí :
“nếu n là số tự nhiên lẻ thì n2- 1 chia hết cho 4”
P : “ với mọi số n tự nhiên lẻ ”, Q : “ n2 – 1 chia hết cho 4 ”.
Dạng cơ bản của một định lí :
“với mọi x thuộc X, P(x) => Q(x)”.
Chứng minh định lí :
Chứng minh trực tiếp.
Chứng minh gián tiếp (CM phản chứng).
2.1 ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ
Chứng minh trực tiếp : (p2 quy nạp...)
lấy x tùy ý thuộc X, mà P(x) đúng
Dùng suy luận toán học để chỉ ra Q(x) đúng
VD 1: “n là số tự nhiên lẻ thì n2 – 1 chia hết cho 4”.
N lẻ : n = 2k+1 với mọi k thuộc N.
(2k + 1)2 – 1 = 4k(k + 1) chia hết cho 4.
Chứng minh gián tiếp : (p2 phản chứng)
Giả sử tồn tại x0 thuộc X, mà P(x) đúng
Nhưng Q(x) sai => mệnh đề sai => mệnh đề đảo của nó đúng.
Dùng những suy luận toán học để chỉ ra được là Q(x) sai.

2.1 ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ
VD 2: chứng minh định lí : “với mọi số tự nhiên n, nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ.”
CM = p2 phản chứng.
Giả sử tồn tại n thuộc N. Sao cho 3n+2 là số lẻ thì n là số chẵn.
3n + 2 = 2k + 3 => 3n = 2k+1 (thay k = k’+1) => 3n = 2k’+3
 n = 2/3k’+1 (k’ = 3k”)  n = 2k”+1 hay n là số lẻ(trái với giả thiết ban đầu).
Vậy điều giả sử là sai.
Kết luận điều ngược lại là đúng.
Tức là: với mọi số n tự nhiên lẻ, nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ.
CM = p2 trực tiếp. (tự chứng minh)



2.2 điều kiện cần, điều kiện đủ
Định lí có dạng :
“với mọi x thuộc X, P(x) => Q(x)”.
Ta nói :
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x).
Q(x) là điều kiện cần để có P(x).
VD : “với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 3”.
P(n) : “n có tổng các chữ số chia hết cho 6”.
Q(n) : “n chia hết cho 3”
Nhận xét : n chia hết cho 6 thì chắc chắn cũng chia hết cho
3, nhưng n chia hết cho 3 thì chưa chắc đã chia hết cho 6.
2.3 định lí đảo, đk cần và đủ
Định lí đảo của một định lí : là định lí đảo lấy kết quả của định lí ban đầu làm giả thiết, và lấy giả thiết của định lí ban đầu làm kết quả suy ra của nó.
VD :
Định lí B : “với mọi x thuộc X, nếu P(x) đúng thì Q(x) đúng”.
Định lí A : “với mọi x thuộc X, nếu Q(x) đúng thì P(x) đúng”.
B : gọi là định lí thuận.
A : gọi là định lí đảo của B.
Nếu A và B đều đúng ta nói:
P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
Các cụm từ tương đương: nếu và chỉ nếu, khi và chỉ khi
2.3 định lí đảo, đk cần và đủ
Bài tập áp dụng : sgk
2.1 ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ