Chương I. §1. Mệnh đề

Diễn đàn trường THPT Trương Vĩnh Ký
http://truongvinhkybentre.hnsv.com
§1. Mệnh đề (proposition)
§2. Tập hợp (set)
§3. Các phép toán trên tập hợp
§4. Số gần đúng. Sai số
MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
CHƯƠNG I
§1. MỆNH ĐỀ
§1. MỆNH ĐỀ
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
Xét các câu sau, hãy cho biết câu nào là câu khẳng định.
1. Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội.
2. Thành phố New York nằm ở nước Campuchia.
3. Bây giờ là 1 giờ phải không?
5. Ngon quá!
4. Số 15 là số lẻ.
6. n chia hết cho 3.
7. Nam và Minh đang tranh luận về loài dơi.
Tui là câu hỏi.
Câu tường thuật.
§1. MỆNH ĐỀ
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
Dưới đây là những câu khẳng định.
1. Thủ đô của Việt Nam là Hà Nội.
2. Thành phố New York nằm ở nước Campuchia.
3. Số 15 là một số lẻ.
4. n chia hết cho 3.
Trong những câu này, câu nào đúng, câu nào sai, câu nào chưa biết được đúng sai?
Đây chính là những ví dụ về mệnh đề.
Chưa xác định được đúng sai vì không biết giá trị của n.
Vậy mệnh đề là gì?
§1. MỆNH ĐỀ
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc khẳng định sai.


Mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai hoặc không biết được đúng sai.
1. Mệnh đề
Ta thường kí hiệu mệnh đề bằng các chữ cái in hoa như P, Q, R, S…
 Định nghĩa:
mệnh đề đúng mệnh đề sai.
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
§1. MỆNH ĐỀ
Xét các câu khẳng định sau:
Đ S?
Với n = 5 ta được mệnh đề “5 chia hết cho 3” (Sai)
Với n = 9 ta được mệnh đề “9 chia hết cho 3” (Đúng)
1) “n chia hết cho 3”
2) “2 + x = 7”
Đ S?
(Sai)
(Đúng)
Các câu khẳng định trong ví dụ này
là những mệnh đề chứa biến.
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
§1. MỆNH ĐỀ
Nhìn chung, mệnh đề chứa biến là khẳng định có chứa tham số hoặc biến (x, y, n, a, b…) chưa xác định được đúng, sai, chỉ xác định được đúng, sai với giá trị cụ thể của biến, tham số.
2. Mệnh đề chứa biến
Ví dụ: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến.
a) 2 + 3 = 7
b) x + y >1
d) 4 + x = 3
f) Tình yêu là gì?
Chú ý:
- Mệnh đề chứa biến không phải là mệnh đề.
- Không phải câu khẳng định nào có tham số đều là mệnh đề chứa biến. Ví dụ: “x2  0” là mệnh đề đúng.
I. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến
§1. MỆNH ĐỀ
2. Mệnh đề chứa biến
MĐ
MĐ
MĐ
MĐCB
MĐCB
II. Phủ định của một mệnh đề
§1. MỆNH ĐỀ
Ví dụ: Xét hai mệnh đề sau:
MĐ1: “Dơi là một loài chim”
MĐ2: “Dơi không phải là một loài chim”
Xét tính đúng sai của hai mệnh đề này.
MĐ2 được gọi là mệnh đề phủ định của MĐ1 và ngược lại.
II. Phủ định của một mệnh đề
§1. MỆNH ĐỀ
Chú ý: Để phủ định một mệnh đề ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ không trước vị ngữ của mệnh đề đó.
Ví dụ: Phủ định các mệnh đề sau:
P: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”
Q: “15 không chia hết cho 5”
: “Hà Nội không là thủ đô của Việt Nam”
: “15 chia hết cho 5”
Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.
§1. MỆNH ĐỀ
a) P: 1794 chia hết cho 3
c) R: π< 3,15
d) S: |-125| ≤ 0
Ví dụ: (Bài tập 2. Trang 9, SGK).
§1. MỆNH ĐỀ
Trong môn Ngữ văn các em đã được học các câu có cấu trúc quan hệ nguyên nhân – hệ quả như:
Nếu trời mưa thì đường ướt.
Nếu tôi cố gắng học tập thì tôi sẽ đạt kết quả cao.
Trong toán học, những câu có cấu trúc “Nếu… thì…” nối các mệnh đề với nhau được gọi là mệnh đề kéo theo.
III. Mệnh đề kéo theo
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu: P  Q.
Mệnh đề P  Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “P suy ra Q”.
Ví dụ: P: Trái đất không có nước.
Q: Trên trái đất không có sự sống.
P  Q:
§1. MỆNH ĐỀ
Nếu trái đất không có nước thì trên trái đất không có sự sống.
III. Mệnh đề kéo theo
Ví dụ: Phát biểu mệnh đề kéo theo và xác định tính đúng, sai của nó:
a) P: 2 < 3, Q: 6 < 7.
b) P: Tôi là chim, Q: Tôi biết bay
c) P: ABC là tam giác vuông, Q: ABC có một góc lớn hơn 90 độ.
§1. MỆNH ĐỀ
P  Q: Nếu 2 < 3 thì 6 < 7.
P  Q: Nếu tôi là chim thì tôi biết bay.
P  Q: Nếu ABC là tam giác vuông thì ABC có một góc lớn hơn 90 độ.
III. Mệnh đề kéo theo
§1. MỆNH ĐỀ
Chú ý: Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: “2 < 3 kéo theo 5 >6” là mệnh đề sai.
Đúng
Sai:

Mệnh đề sai
Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q,
Điều kiện cần, điều kiện đủ
Ví dụ: Định lí: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.
§1. MỆNH ĐỀ
III. Mệnh đề kéo theo
*
và ta có thể phát biểu: P là điều kiện đủ để Q.
Tứ giác ABCD là hình vuông ABCD là hình chữ nhật.
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật là điều kiện cần để ABCD là hình vuông.
Phát biểu định lí trên sử dụng “điều kiện đủ”, “điều kiện cần”.
là điều kiện đủ để
hoặc Q là điều kiện cần để P.
IV. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P.
Ví dụ. Cho mệnh đề: “Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân”.
§1. MỆNH ĐỀ
 Định nghĩa:
Mệnh đề đảo:
“Nếu ABC là một tam giác cân thì ABC là một tam giác đều”.
P
Q
Cho biết tính đúng, sai của các mệnh đề trên.
Nhận xét: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
Trong trường hợp mệnh đề thuận và mệnh đề đảo đều đúng, ta có 2 mệnh đề tương đương.
IV. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
Nếu P  Q và Q  P đều đúng ta nói P và Q là 2 mệnh đề tương đương. Kí hiệu P  Q và đọc là:
§1. MỆNH ĐỀ
 Định nghĩa:
P tương đương Q, hoặc
P khi và chỉ khi Q, hoặc
P là điều kiện cần và đủ để Q.
IV. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
Ví dụ: Phát biểu mệnh đề sau dùng điều kiện cần và đủ.
a) ABC có góc A bằng 900  ABC vuông tại A.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
* ABC có góc A bằng 900 là điều kiện cần và đủ để ABC vuông tại A.
* Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.
§1. MỆNH ĐỀ
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
Đối với một số mệnh đề toán học, thay vì phát biểu thành lời một cách rõ ràng, người ta có thể dùng kí hiệu để viết lại mệnh đề đơn giản và gọn gàng hơn.
Ví dụ. Mệnh đề “Mọi số thực đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng 0” ta có thể viết thành:
Kí hiệu  đọc là “với mọi”.
a. Kí hiệu 
xR: x2  0 hay
x2  0, xR.
Mệnh đề “x R: |x|  0”được phát biểu thành lời là:
c. Mọi số thực đều có giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 0.
b. Với mọi số x thuộc vào tập hợp số nguyên, giá trị tuyệt đối của x lớn hơn hoặc bằng 0.
a. Có một số thực x mà giá trị tuyệt đối của nó lớn hơn 0.
d. Mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0.
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
a. Kí hiệu 
Ví dụ:
b. Kí hiệu 
Mệnh đề “Có một số nguyên nhỏ hơn 0” có thể được viết lại như sau:
n  Z : n < 0
Kí hiệu  đọc là có một, tồn tại một hay có ít nhất một.
Chú ý: Kí hiệu  mang ý nghĩa có ít nhất chứ không phải duy nhất, tức là có thể có 1, 2, 3 hoặc nhiều hơn.
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
Mệnh đề “Có một số cộng với 6 bằng 0”được kí hiệu là:
c.  x R: x + 6 = 0.
b.  n R: n + 6 = 0.
a.  n Q: n + 6 = 0.
d.  x Z: x + 6 = 0.
b. Kí hiệu 
V. Kí hiệu  và 
§1. MỆNH ĐỀ
Ví dụ:
Đáp án.
§1. MỆNH ĐỀ
c. Phủ định của mệnh đề chứa , 
Dùng kí hiệu  để viết lại mệnh đề sau:
P: Mọi số thực đều có bình phương không âm.
P: x  R: x2  0.
Có một số thực mà bình phương của nó là số âm.
x  R: x2 < 0.
Phủ định của mệnh đề chứa  là mệnh đề chứa  và ngược lại.
V. Kí hiệu  và 
Tồn tại một số tự nhiên mà bình phương của nó cộng 1 bằng 3.
- Mệnh đề là gì?
- Mệnh đề chứa biến có phải là mệnh đề không?
- Để phủ định một mệnh đề ta phải làm gì?
- Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi nào?
- Trong mệnh đề P  Q, P là điều kiện cần hay điều kiện đủ của Q?
Hai mệnh đề P và Q được gọi là tương đương khi nào?
Phát biểu thành lời mệnh đề “n  N: n2 + 1 = 3”
Củng cố
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc khẳng định sai.
Không!!!!!!!!!!!
Mệnh đề P là điều kiện đủ của mệnh đề Q.
Hai mệnh đề P và Q tương đương khi và chỉ khi P  Q và Q  P đều đúng.
Tạm biệt các em.
Tạm biệt các em.
Bài tập 5.
BÀI TẬP
a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó.
b) Có một số cộng với chính nó bằng 0.
c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.
x  R: x.1 = x
 x  R: x + x = 0
 x  R: x + (–x) = 0
Bài tập 6.
a) x  R: x2 > 0
Trả lời:
b)  n  N: n2 = n
Trả lời:
c)  n  N: n ≤ 2n
Trả lời:
BÀI TẬP
Bài tập 7. Lập mệnh đề phủ định:
BÀI TẬP
a) n  N: n chia hết cho n.
b) x  Q: x2 = 2
c)  x  R: x < x + 1
n  N: n không chia hết cho n.
x  Q: x2 ≠ 2
x  R: x  x + 1
Bài tập 4. Phát biểu mỗi mệnh đề sau dùng khái niệm “điều kiện cần và đủ”
BÀI TẬP
a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
b) Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.