Chương I. §1. Mệnh đề

Chương I:
MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
§1. MỆNH ĐỀ
Mệnh đề, mệnh đề chứa biến
1/ Mệnh đề
Mệt quá!
Em đã ăn xong chưa?
Chùa Một cột ở Hà Nội
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Bài tập 1: Trong các phát biểu sau, cho biết phát biểu nào là mệnh đề và nếu là mệnh đề thì đúng hay sai:

a/ Số 11 là số chẵn.
b/ 2x + 3 > 5
c/ Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam.
d/ Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chúng bằng nhau.
e/ Tam giác có một góc bằng 900 là tam giác vuông.
2/ Mệnh đề chứa biến
Xét câu: “2x + 3 > 5”
Với x = 3 ta được mệnh đề “ 2.3 + 3 > 5” (đúng)
Với x = 1 ta được mệnh đề “2.1 + 3 > 5” ( sai)
Trong câu trên ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu, tuy nhiên với mỗi giá trị của x, câu này cho ta một mệnh đề, ta nói câu trên là mệnh đề chứa biến.
II. Phủ định của một mệnh đề
Để phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ không ( hoặc không phải) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.
Ký hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là ta có
Đúng khi P sai
Sai khi P đúng
Bài tập 2: Hãy phủ định mệnh đề sau:
a/ Hôm nay, trong lớp có một học sinh vắng mặt
b/ Tất cả các học sinh của lớp này đều lớn hơn 15 tuổi
III. Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề “ Nếu P thì Q ” được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là P Q
Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Các định lý toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P Q khi đó ta nói:
P là giả thiết, Q là kết luận của định lý, hoặc
P là điều kiện đủ để có Q, hoặc
Q là điều kiện cần để có P
IV. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương
Cho mệnh đề P Q
Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P Q
VD: a/ Nếu ABC là tam giác đều thì ABC là một tam giác cân. (P Q)
b/ Nếu ABC là tam giác đều thì ABC là một tam giác cân và có một góc bằng 600 .
Hãy phát biểu mệnh đề Q P tương ứng.
Nếu cả hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.
Khi đó ta ký hiệu: P Q và đọc là:
P tương đương Q, hoặc
P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc
P khi và chỉ khi Q.
VD: a/ Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
b/ Hình bình hành có một góc vuông là điều kiện cần và đủ để nó là hình chữ nhật
V. Ký hiệu và
Câu “ Mọi số thực đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề có thể viết lại là:


Kí hiệu : đọc là “với mọi”
Câu “Tồn tại một số nguyên nhỏ hơn 0” là một mệnh đề có thể viết lại là:


Ký hiệu đọc là “có một” ( tồn tại một) hay “có ít nhất một”.
10
Bài 2: Tập hợp
I. Khái niệm tập hợp
II. Tập hợp con
III. Tập hợp bằng nhau
Nội dung chính
11
I.Tập hợp:

1. Tập hợp và phần tử
Khái niệm tập hợp và phần tử, tập hợp con chúng ta đã được học từ lớp 6. Vì vậy trong bài hôm nay các k/n này được trình lại 1 cách ngắn gọn và điểm mới là có sdụng ngôn ngữ mệnh đề để trình bày
Nêu ví dụ về tập hợp ? Dùng kí hiệu ? và ? để viết các mđ sau:
a) 5 là 1 số nguyên tố b) không phải là số hưu tỷ
+ Ví dụ về tập hợp: Tập hợp các học sinh của lớp 10a5, hoặc tập hợp số các quyển sách tham khảo môn Toán trong Thư viện của Trường,...
+ 5 ? N; ? Q
Các em hiểu thế nà về Tập hợp?
* Tập hợp là 1 k/n cơ bản của Toán học.
* Giả sử cho tập A. Để chỉ a là 1 phần tử của tập A, ta viết a ? A ( a thuộc A) và để chỉ a không thuộc A ta viết a ? A ( a không thuộc A)
2. Cách xác định tập hợp.
Liệt kê các phần tử của tập hợp các ước nguyên dương của 24?
Tập hợp B gồm các nghiệm của phương trình: x2 -3x + 2 = 0
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
B = {2; 3}
B = {x Є R| x2 – 3x +2 =0}
Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp.
Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng các phần tử của tập hợp .
VD:
Tập A gồm các số nguyên tố nhỏ hơn 20.Hãy liệt kê các ptử của A
Tập B là các nghiệm của pt: (x-1)(x2 - 9) = 0 Hãy viết tập B theo cách 2.
12
Chú ý: Người ta thường minh họa (biểu diễn) tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi 1 đường kín, gọi là biểu đồ VEN
3. Tập rỗng:
Biểu đồ Ven
A
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp
A = {x ?R| x2 + x + 1 = 0}
Phương trình: x2 + x + 1 = 0, có ? = -3 nên ptrình này vô nghiệm
Ta nói: Tập nghiêm của phương trình trên là rỗng
Tập hợp rỗng, kí hiệu ?, là tập hợp không chứa phần tử nào
Nhận xét:
Nếu A không là tập rỗng thì A chứa ít nhất 1 phần tử.
II. Tập hợp con
Q
Z
ở biểu đồ bên, các em có nhận xét gì quan hệ giữa tập Q và tập Z.Có thể nói mỗi số nguyên là 1 số hữu tỷ không?
Tập hợp Z là tập con của tập Q.Mỗi số nguyên cũng là 1 số hữu tỷ
1. Định nghĩa:
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của B và viết A ? B. (Đọc là A chứa trong B)
* Theo đn, A ? B ? ?x(x ? A => x ? B.
Tuy nhiên, A ? B thĩ ta cũng có thể viết B ? A và đọc là B chứa A
13
2. Chú ý:
Nếu A không phải là tập con của B, ta viết A? B
A
3. Tính chất:

B
A  B
a) A ? A, với mọi tập A
b) Nếu A ? B và B ? C thì A ? C
A
B
C
c) ? ? A với mọi tập A
iii. Hai tập hợp bằng nhau
Xét 2 tập hợp A = { n ? N | n là bội của 2 và 3}
B = { n ? N | n là bội của 6 }
và hãy kiểm tra kết quả: A ? B và B ? A
Ta có A = {6; 12; 18; 24; ....} hay A = {6n | n ? N*}
VËy A  B vµ B  A
Ta có B = {6; 12; 18; 24; ....} hay B = {6n | n ? N*}
Khi A  B vµ B  A ta nãi tËp hîp A b»ng tËp hîp B vµ viÕt A = B
Định nghĩa:
Như vậy : A = B ? ?x( x ? A ? x ?B)
14
Bài tập áp dụng:
a. Tập hợp A các số chính phương không vượt quá 100.
b. Tập hợp B = { n ?N |n(n+1) ? 20}
Bài 1: Liệt kê các phần tử của mõi tập hợp sau
Bài 2: Tìm một tính chất đặc trưng xác định các phần tử của mỗi tập hợp sau
a) A = {0; 3; 8; 15; 24; 35} Và b) B = {-2; 2}
Bài làm:
Bài 1: A = { 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100}
B = { 0; 1; 2; 3; 4}
Bài 2: A = {n2 - 1 | n ? N,1 ? n ? 6} và B = {x ? R | x2- 4 = 0}
15
Bài 3: Tìm các tập con của mỗi tập hợp sau
a. ? b. {?}
Bài 4: Trong các tập hợp sau đây, xét xem tập hợp nào là tập con của tập hợp nào
A là tập hợp các tam giác b. B là tập hợp các tam giác đều
c. C là tập hợp các tam giác cân
Bài 5: Trong 2 tập hợp A và B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không?
a. A là tập hợp các hình vuông; B là tập hợp các hình thoi
b. A = {n? N |n là ước chung của 24 và 30}; B = {n ?N | n là 1 ước của 6}
16
KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 3: Hai tập hợp A và B dưới đây có bằng nhau không?
A = { n  N | n là một ước chung của 24 và 30 } ;
B = { n  N | n là một ước của 6 }.
Câu 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A
A = { x  N | x < 35 và chia hết cho 4 }.
Câu 2: Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau
A = { 4, 11, 17 };
Giải
A = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 }
Giải
Các tập con của A: , { 4 }, { 11 }, { 17 }, { 4, 11 }, { 4, 17 }, { 11, 17 }, { 4, 11, 17 }.
Giải
Các ước của 24: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24;
Các ước của 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30;
A = { 1, 2, 3, 6 };
B= { 1, 2, 3, 6 }.
Vậy A = B.
17
I. Giao của hai tập hợp.
II. Hợp của hai tập hợp.
III. Hiệu và phần bù của hai tập hợp.
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
§
3
NỘI DUNG BÀI HỌC
18
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
Cho A = n  N |n là ước của 12 
B = n  N |n là ước của 18 
Liệt kê các phần tử của A và B.
b) Liệt kê các phần tử của tập hợp C các ước chung của 12 và 18.
A = 1, 2, 3, 4, 6, 12
B = 1, 2, 3, 6, 9, 18
C = 1, 2, 3, 6
Giải
Ví dụ mở đầu
C được gọi là giao của A và B
19
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B
Kí hiệu:
C = A  B
A  B = x xA, xB
x A  B 
A  B
A
B
I. Giao của hai tập hợp
Vậy
Giao của hai tập hợp là gì ?
?
20
Ví dụ 1:
I. Giao của hai tập hợp
Tìm A,B và giao của chúng
A = x R | 
B = x N | 
Giải
A =  0,1,2,4 
B = 2,3,4,5,6,7
A  B = 2,4
Ví dụ 2:
Tìm giao của hai tập hợp sau
A =(0,4]
và B =(2,5)
Giải
4
-1
1
2
3
0
-1
1
2
3
0
5
4
A
B

Vậy: A  B = (2,4]
Biểu diễn qua trục số
Đáp án
21
Ví dụ : Tìm giao của hai tập hợp sau
A =(0,4]
và B =(2,5)
A  B = (2, 4]
A  B = (2, 4)
A  B = [2, 4]
A  B = [2, 4)
22
II. Hợp của hai tập hợp
Cho tập A, B lần lượt là tập hợp các loại cây trồng trong vườn
A =  cam, mận, xoài, ổi, chanh
B =  quýt, cam,chôm chôm, chanh
Gọi C là tập hợp tất cả các loại trái cây trông vườn. Hãy xác định tập hợp C
C =quýt, cam, mận, chôm chôm, chanh, xoài, ổi
Giải
C được gọi là hợp của hai tập hợp A, B
Hợp của hai tập hợp là gì
?
Tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B
Kí hiệu:
C = A  B
A  B = x xA hoặc xB
x A  B 
A
B
A  B
Vậy
Ví dụ mở đầu
23
II. Hợp của hai tập hợp
Ví dụ 1:
A là tập hợp các chữ cái trong câu “CÓ CHÍ THÌ NÊN”. B là tập hợp các chữ cái trong câu “UỐNG NƯỚC NHỚ NGUỒN”. A  B = ?
Giải
A  B = C, H, O, E, U, T, I, N, G 
Ví dụ 2:
Tìm hợp của các tập hợp sau
A là tập hợp các số tự nhiên chẳn lớn hơn 10 và nhỏ hơn 20
B là tập hợp các số tự nhiên x thỏa :
10 < 5x < 30.
(a). A  B = 12, 14, 15, 16, 18, 20, 25
(b). A  B = 3, 4, 5, 12, 14, 16, 18
(d). A  B = 10, 12, 14, 16, 18, 20, 30
(c). A  B = 3, 12, 14, 16, 20, 25, 30
Sai
Đúng
Sai
Sai
24
Ví dụ :
Giả sử tập hợp A là tập hợp học sinh giỏi của lớp 10A là:
A = Bảo, Vệ, An, Ninh, Toàn, Vẹn
B = Toàn, Vẹn, Bình, Yên
Tập hợp B là các học sinh giỏi của tổ 3
Xác định tập hợp C gồm các học sinh giỏi của lớp 10A không thuộc tổ 3
Giải
C = Bảo, Vệ, An, Ninh
C được gọi là hiệu của A và B
Hiệu của tập A và B là gì ?
25
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B
Kí hiệu:
C = A B
A B = { x | x A và x  B }
A
B
A B
III. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
Vậy
Biểu đồ ven
a. Hiệu của hai tập hợp
26
III. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
Phần bù của hai tập hợp
Khi B  A thì A B gọi là phần bù của B trong A
Kí hiệu
A
B
Biểu đồ ven
27
Ví dụ1:
Tìm hiệu của tập A và B
A =(-2,3]
và B =[1,5]
Giải
4
-1
1
2
3
0
-2
5
4
-1
1
2
3
0
5
A
-2
B
= (-2,1)
Biểu diễn qua trục số
III. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
28
Ví dụ : Tìm hiệu của tập A và B
và B = [a, +∞]
A =(- ∞, b]
,Với b > a
A B = (b, +∞)
A B = [a,b ]
A B = (-∞,a)
A B = (a,b)
29
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A  B = x xA, xB.
Vậy: x A  B 
2. A  B = x xA hoặc xB.
Vậy: x A  B 
3. A B = { x |x A và x  B }
A B gọi là phần bù của B trong A khi và chỉ khi B  A
Vây: