Chương I. §1. Khái niệm về khối đa diện

Báo cáo
Chủ đề:
ĐA DIỆN - KHỐI ĐA DIỆN -THỂ TÍCH
Mục tiêu bài học
Biết định nghĩa tổng quát của hình đa diện, các khái niệm về đa diện lồi, miền trong, miền ngoài của đa diện,…
Biết dựng sơ đồ phẳng của đa diện.
Biết công thức tính thể tích của hình đa diện ở THCS ( hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp).
Sử dụng công thức để tính thể tích của hình đa diện.
Bài 1: ĐA DIỆN – KHỐI ĐA DIỆN
1.1 Định nghĩa
Hình đa diện, hay còn gọi là đa diện là hình hợp bởi các miền đa giác phẳng, thỏa mãn các tính chất sau đây:
1) Hai miền đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
2) Mỗi cạnh của hình đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác.


1.1 Định nghĩa (tt)
3) Với bất kì hai miền đa giác Đ và Đ’ nào, bao giờ cũng có dãy các miền đa giác Đ1, Đ2,…,Đk sao cho Đ1 là Đ, Đk là Đ’ và bất kì hai miền đa giác Đi và Đi+1 của dãy đó đều có cạnh chung.
Mỗi miền đa giác nói trên được gọi là một mặt của đa diện, mỗi đỉnh, mỗi cạnh của miền đa giác đó lần lượt gọi là đỉnh và cạnh của đa diện.
Ví dụ
Hình a) không phải là đa diện
A
D
B
C
O
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
a)
b)
Hình b) là đa diện
Định lí Jordan
Cho đa diện D nằm trong không gian E. Tập hợp có tính chất:

i) Bất kì hai điểm thuộc D0 (hoặc cùng thuộc D*) đều có thể nối với nhau bởi một đường gấp khúc không có điểm chung với D.
Định lý Jordan(tt)
ii) Mọi đường gấp khúc nối hai điểm thuộc hai tập hợp khác nhau D0 và D* đều có điểm chung với D.
iii) Tập hợp D0 không chứa đường thẳng nào, còn tập hợp D* có chứa đường thẳng .
Định lý Jordan(tt)
Tập D0 được gọi là miền trong của đa diện D, mỗi điểm thuộc D0 gọi là điểm trong của D, hay điểm nằm trong D
Tập hợp gọi là khối đa diện tạo bởi D.
Kí hiệu: [D]
Tập hợp [D] gồm những điểm của D và những điểm nằm trong D.
Định lý Jordan(tt)
Tập D* gọi là miền ngoài của D, mỗi điểm thuộc D* gọi là điểm ngoài của D hoặc điểm nằm ngoài D
E
D*
A.
.B
M.
.N
D0
1.3 Đa diện lồi
Một đa diện được gọi là lồi nếu nó nằm về một phía đối với bất kì mặt phẳng nào chứa mặt của đa diện đó.
a)
b)
c)
d)
Hình a), b) là các đa diện không lồi, hình c), d) là các đa diện lồi.
Ví dụ:
Mệnh đề:
Nếu D là đa diện lồi thì miền trong của nó là giao của mọi nửa không gian mở có bờ là mặt phẳng chứa một mặt của D và D nằm trong nửa không gian đó.Trong trường hợp này nếu 2 điểm A, B nằm trong D0 thì đoạn thẳng AB nằm trong D0.
1.4. Sơ đồ phẳng của hình đa diện.
Cho một hình đa diện D, bỏ đi một mặt H nào đó của nó và đánh số các mặt còn lại là Mi, gọi các đỉnh của D là Đj, các cạnh của D là Ck.
Ta giả sử trên mặt phẳng nào đó có một hình D’ gồm các đa giác M’i đôi một không có điểm trong chung, các điểm Đ’j và các đoạn thẳng C’k thỏa mãn các tính chất sau đây:
1.4. Sơ đồ phẳng của hình đa diện(tt)
Nếu cạnh Ck là cạnh của mặt Mi thì đoạn thẳng C’k là cạnh của đa giác M’i và ngược lại.
Nếu đỉnh Đj là mút của cạnh Ck thì điểm Đ’j là mút của đoạn thẳng C’k và ngược lại.

Hình D’ được gọi là sơ đồ phẳng của đa diện D (ứng với mặt H đã bỏ đi).
Ví dụ: sơ đồ phẳng
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
Sơ đồ phẳng của tứ diện ứng với mặt ABC đã bỏ đi
Ví dụ: Sơ đồ phẳng
E
F
H
G
A
B
C
D
D’
C’
A’
B’
E’
F’
H’
G’
Sơ đồ phẳng của hình hộp chữ nhật ứng với mặt ABCD đã bỏ đi
Sơ đồ phẳng của đa diện đã bỏ đi mặt nào?
M
N
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
S
F’
E’
A’
B’
D’
P’
S’
M’
N’
C’
Q’
R’
Sơ đồ phẳng của đa diện ứng với mặt ABCDEF đã bỏ đi
Hãy dựng sơ đồ phẳng của các đa diện dưới đây?
a) Mặt cắt (ABFE)
b) Mặt cắt (SAB)
S
A
B
C
D
A
B
C
O
D
E
F
H
S
G
Sơ đồ phẳng
a)
b)
S’
B’
A’
D’
C’
F’
B’
A’
E’
D’
C’
H’
G’
O’
S’
* Định nghĩa : đơn liên
Một hình đa diện được gọi là đơn liên nếu nó có một sơ đồ phẳng
Định lí: Hình đa diện lồi là đơn liên
Suy ra: đa diên lồi luôn có sơ đồ phẳng.

Câu hỏi: Hình đa diện không lồi có đơn liên không?

Chú ý: không phải đa diện nào cũng có sơ đồ phẳng, tức là có những đa diện không đơn liên.

Ví dụ:
Hình 20
§2. THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
2.1 Phân hoạch của khối đa diện
a) Định nghĩa
Hình đa diện D gọi là được phân hoạch thành các hình đa diện D1,D2,...Dn nếu:
i) Các đa diện Di không có điểm chung,
nghĩa là nếu i ≠ j thì.


ii)
2.1 Phân hoạch của khối đa diện
(tt)
b) Định nghĩa.
Hai đa diện được gọi là đồng phân nếu chúng được phân hoạch thành các hình đa diện đôi một bằng nhau.
c) Các tính chất
i) Bất kì đa diện nào đều có phân hoạch thành các hình tứ diện.
ii) Hai đa diện đồng phân với đa diện thứ ba thì đồng phân với nhau.
2.2 Thể tích khối đa diện
a) Hàm thể tích
Gọi  là tập hợp các đa diện trong không gian.
Hàm V:   R+ gọi là hàm thể tích nếu V thỏa mãn các tính chất sau đây:
i) Nếu D và D’ là hai đa diện bằng nhau ( tức là có phép đẳng cự biến D thành D’) thì V(D)=V(D’).
a) Hàm thể tích (tt)
ii) Nếu đa diện D được phân hoạch thành các đa diện D1, D2,..., Dn thì
V(D) =V(D1)+V(D2)+...+V(Dn).
iii) Nếu U là hình lập phương có thể tích bằng 1 thì V(U) = 1
Khi đó giá trị V(D) được gọi là thể tích của đa diện D, hoặc thể tích của khối đa diện [D].
*ĐỊNH LÝ: Hàm thể tích là tồn tại và duy nhất.
b) Thể tích của hình hộp chữ nhật
ĐỊNH LÝ: Thể tích của hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c là V = abc



Thể tích hình lập phương cạnh a là V = a3
a
b
c
c) Thể tích của hình hộp đứng
ĐỊNH LÝ: Thể tích của hình hộp đứng bằng tích của chiều cao và diện tích đáy
Ví dụ: hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1
V = A A1. SABCD
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
d) Thể tích của hình hộp bất kì
ĐỊNH LÝ: Thể tích của hình hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao tương ứng


(h chiều cao, S diện tích đáy )
V = h.S
e) Thể tích hình lăng trụ
ĐỊNH LÝ: Thể tích của hình lăng trụ bằng tích số của diện tích đáy và chiều cao.

V = h.S
(h là chiều cao,
S là diện tích đáy)
h
S
f)Thể tích hình chóp
ĐỊNH LÝ: Thể tích hình chóp bằng một phần ba tích số của chiều cao và diện tích đáy.



( h là chiều cao
S là diện tích đáy)
V= 1/3 h.S
h
S
Tóm lại
Thể tích: hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ là



Thể tích: hình lập phương là

Thể tích: hình chóp
V = h.S
( h: chiều cao, S: diện tích đáy)
V = a3
V = 1/3 h.S
(h: chiều cao, S: diện tích đáy)