Chương 8 pp

CHÀO MỪNG THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN
GV hướng dẫn: Th.S Hồ Thị Mai Phương
Nhóm sv thực hiện: nhóm 2
Lớp: ĐH TOÁN- TIN K44


CHỦ ĐỀ. NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
8.4.DẠY HỌC GiẢI BÀI TẬP TOÁN
8.4.1. Vị trí, chức năng của bài tập toán

8.4.1.1. Vị trí, vai trò

8.4.1.2. Chức năng


8.4.2. Các yêu cầu đối với lời giải
8.4.3: dh pp tim loi giai bai toan
DH giải bài toán có tầm quan trọng đặc biệt, là 1 trong những vấn đề trung tâm của PPDH toán ở trường phổ thông. Đối với HS việc giải bài toán là 1 hình thức chủ yếu của việc dạy học toán.Như vậy:
DH giải bài tập toán là 1 hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống kiến thức và rèn luyện kĩ năng, dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới
2. DH giải bài tập toán là hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế và vào các vấn đề mới
3. DH giải bài tập toán còn là hình thức tốt nhất để GV Kiểm tra HS và HS tự kiểm tra về năng lực. mức độ tiếp thu và vận dụng tri thức.
4. Không chỉ thế DH giải bài tập toán còn có tác dụng gây hứng thú học tập cho HS, phất triển trí tuệ và giáo dục, rền luyện con người HS về nhiều mặt.
8.4.1. Vị trí, chức năng của bài tập toán.
8.4.1.1. Vị trí, vai trò.
8.4.1.2. Ví dụ.
+ Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 12; 18;21
12 2 18 2 21 3
6 2 9 3 7 7
3 3 3 3 1
1 1
+ Sau khi HS đã phân tích được các số trên ra thừa số nguyên tố thì HS có thể nhận ngay được ƯC (12,18,21) = 3.
+ Sau đó GV phát triển cho HS dạng bài tập tìm số lượng các ước của một số.
Ta thấy: thì m có x+1 ước
thì m có (x+1)(y+1) ước
Ví dụ: Tìm số lượng các ước của 32; 63; 60
Số nên 32 có 5+1=6 ước
nên 63 có (2+1)(1+1)=6 ước
nên 60 có (2+1)(3+1)(5+1)=12 ước




8.4.1.2. CHỨC NĂNG
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản bài tập có

vai trò giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện

được những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định

nghĩa, định lí, quy tắc hay những phương pháp, những hoạt động Toán học

phức hợp, những hoạt động trí tuệ trong toán học Toán học và những hoạt

động ngôn ngữ. Chương V đã cho ta thấy hoạt động của HS liên hệ mật thiết

với mục tiêu, nội dung và phương pháp DH, vì vậy, chức năng của bài tập toán

học được thể hiện trên của 3 bình diện này:
Giải bài tập trên, HS củng cố cũng như vận dụng được kiến thức về số nguyên tố, ước chung, đi đến dạng kiến thức mới đó là “ số các ước của 1 số”. Cách GV vào đề tạo hứng thú cho HS, phát triển trí tuệ và giáo dục.
Thứ nhất: Trên bình diện mục đích DH: bài tập toán học là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động thể hiện mức độ đạt được mục đích DH môn Toán ở trường THCS
Thứ hai: Trên bình diện nội dung DH, bài tập toán học học là giá mang những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và nó trở thành 1 phương tiện để cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bỏ xung những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.
Thứ ba: Trên bình diện PPDH, bài tập toán học là giá mang những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định, góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực và sang tạo được thực độc lập hoặc trong giao lưu.

Ví dụ: cho ABC cân tại A, đường trung tuyến CD. Trên tia đối của tia BA lấy K sao cho BK = BA. Chứng minh rằng
Trong toán học có nhiều bài toán có rất nhiều cánh giải. Ví dụ trên đây đề cập đến 1 số cách giải bài toán cấp THCS thông qua việc vẽ đường phụ. Đây là cách giải được khai thác theo các hướng khác nhau trên cơ sở tính chất đường trung bình của tam giác , nhằm phát huy tính sáng tạo cho HS nhằm giúp các em hứng thú hơn trong việc học và làm toán
Xin đưa ra 3 cách giải cho bài toán trên là:
Gọi E là trung điểm của AC
BE là đường trung bình của (1)
Xét và có:
BD = CE (vì
mà AB = AC)
BC chung
(vì cân tại A)
Do đó (c.g.c)
Suy ra CD = BE ( cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
B
C
A
E
D
K
Cách 1: Nếu ta lấy E là trung điểm của AC thì ta nhận thấy ngay BE là đường trung bình của tam giác AKC nên BE=1/2 KC. Bên cạnh đó tam giác ABC cân tại A nên dễ dàng chứng minh được CD = BE. Như vậy ta đã tìm được lời giải của bài toán

Vậy ta có lời giải sau:







Cách 2: Lấy H là trung điểm của KC do đó H chia đoạn CK thành 2 đoạn bằng nhau, và ta nghĩ đến việc chứng minh 1 trong 2 đoạn thẳng đó bằng CD. ở đây ta sẽ CM CH = CD vì CH có thể gắn vào tam giác BHC và CM (dựa vào BH // AC (do BH là đường trung bình của tam giác KAC))
Từ những hướng dẫn trên ta có lời giải:

Gọi H là trung điểm của KC.
BH là đường trung bình của
Xét và có:
BD = BH (vì mà AB = AC)
(vì ,
mà (so le trong, BH // AC))
BC chung
Do đó (c.g.c)
Suy ra CH = DC (1)
Mà H là trung điểm của KC nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra
A
B
C
K
D
H
Cách 3: Nếu trên tia đối của CA lấy M sao cho CA = CM ta sẽ nhận thấy CD là đường trung bình của tam giác ABM, nên CD = ½ BM. Do đó bài toán trở thành việc chứng minh BM = CK. Ta dễ dàng nhận thấy tam giác KBC bằng tam giác MCB (do đó MB = CK)
Do đó ta có lời giải cho bài toán:

Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho CA = CM
CD là đường trung bình của
Xét và có:
BC chung
(cùng bù )
KB = MC (vì KB = AB, MC = AC, AB = AC)
Vậy (c.g.c)
Suy ra KC = MB (2)
Từ (1) và (2) suy ra
A
C
K
M
D
B
VD2: Giải bài tập toán học bằng nhiều cách.

Bài toán: Giải phương trình

Ta nhận thấy: Phương trình có số mũ cao nhất là 2 và chỉ có 1 ẩn, nên có thể áp dụng phương pháp giải phương trình bậc 2 một ẩn số hoặc có thể sử dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ để giải bài toán. Đồng thời, ta nhận thấy phương trình còn có nhân tử chung là 3x nên có thể sử dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài toán.
Các cách giải:
C1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
HS sử dụng tri thức cũ là cách phân tích đa thức thành nhân tử.
hoặc
C2: Sử dụng hằng đẳng thức
HS cần nắm vững hằng đẳng thức và biết cách sử dụng.


hoặc

C3: Giải phương trình bậc 2 một ẩn
HS áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 sẽ dễ dàng tìm được Δ’=4, rồi cũng tìm được 2 nghiệm là hoặc

Thông qua bài toán trên, học sinh được bộc lộ khả năng tìm được các giải pháp khác nhau, biết vận dụng linh hoạt các tri thức đã học vào giải bài toán.
Ví dụ 3: Xét bài toán sau
Chứng minh rằng trong một tam giác đều, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
Việc giải bài toán này sẽ củng cố
Khái niệm về tam giác đều
Khái niệm và tính chất của đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác đều.
A
B
C
H
Ta thay đổi giả thiết “ tam giác đều” bằng “ tam giác cân”, hình vẽ có thay đổi nhưng kết luận của bài toán không thay đổi. Các bước chứng minh của bài toán mới này về cơ bản không có gì thay đổi.
Giải bài toán này là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu hệ thống kiến thức và rèn luyện kỹ năng, dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới đồng thời phát huy được chức năng giáo dục của bài toán ban đầu.
Tiếp tục thay đổi giả thiết “tam giác cân” thành “tam giác vuông” hoặc thành “ tam giác bất kì” . Liệu kết luận của bài toán còn đúng nữa hay không? HS vẽ hình, chứng minh, dựa vào tính chất của tam giác ta sẽ nhận thấy kết luận của bài toán đã thay đổi không còn đúng nữa.

Các chức năng của bài tập toán không tách rời riêng lẻ
Ví dụ: bạn Sơn giải phương trình (1) như sau:

x2 – 5x = 5 ( x-5)
x2 – 5x – 5x + 25 = 0
x2 – 10x + 25 = 0
x = 5 ( nghiệm kép)
Bạn Hà cho rằng bạn Sơn giải sai vì đã nhân cả 2 vế với ( x – 5) chứa ẩn.
Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:
(1)

x = 5
Hãy cho ý kiến về hai lời giải trên

8.4.2. Các yêu cầu đối với lời giải
(Trước khi tìm hiểu các yêu cầu này chúng ta xét 1 ví dụ cụ thể)
Với bài này yêu cầu học sinh phải quan sát, vận dụng kiến thức đã được học để nhận xét và đưa ra ý kiến. Gv dẫn dắt HS đi đến kết luận: cả hai lời giải đều sai:
Bạn Hà cho rằng bạn Sơn giải sai vì đã nhân cả 2 vế với ( x – 5) chứa ẩn ( lập luận không có căn cứ)
x = 5 không thoả mãn phương trình đã cho ( thiếu ĐKXĐ)
Thông qua việc đưa ra 1 bài toán với lời giải cho trước, Gv hướng HS đến Các yêu cầu đối với lời giải
Để việc DH giải bài tập toán đạt hiệu quả cao thì lời giải cần phải đảm bảo 1 số yêu cầu sau đây:


1.Lời giải không có sai:
Ta thấy rằng: HS phạm sai lầm trong giải bài tập toán thường do 3 nguyên nhân chính sau đây:
-Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý…
-Sai sót về phương pháp suy luận
-Sai sót do tính toán sai, sủ dụng kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do vễ hình sai,…
=> Do vậy GV nên:
+Tập cho HS có thói quên kiểm tra lại lời giải
+Đưa cho HS 1 bài giải sai và yêu cầu HS giải lại cho đúng
2.Lập luận phải có căn cứ chính xác
Khi giải bài tập toán, 1 số HS thường hay kết luận vội vàng, thiếu cơ sở lí luận, nhất là những gì mà HS cảm nhận bằng trực giác. HS hay dung từ “cảm thấy” mà không giải thích lí do tại sao cả, hay “theo định lí thì…” mà không nêu rõ định lí nào. Hiện tượng này bắt nguồn từ các nguyên nhân sau:
+HS hiểu đúng nhưng không trình bày rõ lí do( do thời gian hoặc HS nghĩ không cần thiết phải trình bày,..)
+Do HS cứ tưởng là đúng 1 cách vô thức
+Hs không thấy cơ sở lí luận, nhưng thấy kết luận là đúng, nên cứ kết luận bừa, nghĩa là : có ý thức về kết luận nhưng không có căn cứ để chứng minh
3.Lời giải phải đầy đủ
Nghĩa là khi giải bài tập toán phải xét tất cả các trường hợp có thể sảy ra của bài toán mà không được bỏ sót
Nhưng đối với nhưng bài toán nhiều lời giải cần phải chọn lọc, xem xét lời giải nào là ngắn gọn và hợp lí nhất
KL: Nhưng các chức năng của bài tập toán không bộc lộ 1 cách riêng lẻ và tách rời nhau, mà hiệu quả của việc DH toán phụ thuộc vào việc thực hiện 1 cách đầy đủ các chức năng có thể có của 1 bài tập như: chức năng giáo dục, chức năng DH, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra.
KL: Nhưng các chức năng của bài tập toán không bộc lộ 1 cách riêng lẻ và tách rời nhau, mà hiệu quả của việc DH toán phụ thuộc vào việc thực hiện 1 cách đầy đủ các chức năng có thể có của 1 bài tập như: chức năng giáo dục, chức năng DH, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra.
8.4.3. Dạy học phương pháp tìm tòi lời giải bài toán
8.4.3.1. Tìm hiểu nội dung bài toán
Phải tìm hiểu nội dung bài toán một cách cụ thể tránh đi sâu một cách chi tiết cụ thể:
+ Phân tích bài toán: Cái gì đã cho cái gì phải tìm
+ Với bài toán số học : nhiều lời phải gạt bỏ những cái không bản chất chỉ giữ lại những cái quan hệ toán học
Đối với bài toán hình học :
+ Hình vẽ phải tổng quát không vẽ trong trường hợp đặc biệt
+ Hình vẽ phải rõ ràng
+ Vẽ hình bằng thước và compa, vẽ hình bằng tay phải được giải quyết thỏa đáng.
- Chọn và sử dụng kí hiệu cũng cần chú ý sao cho chính xác hợp lí.
8.4.3.2. Xây dựng chương trình giải.
Phân tích bài toán ra từng bộ phận hoặc thành những bài toán đơn giản
- Biến đổi bài toán: dùng định nghĩa hay định lí đã biết để thay thế điều phải chứng minh hay cái phải tìm bằng điều tương đương; phát biểu bài toán bằng một cách khác…..
- Mò mẫm dự đoán thử các trường hợp có thể xảy ra, xét trường hợp đặc biệt, tương tự hay tổng quát…
8.4.3.3. Thực hiện chương trình giải
Từ cách giải đã được phát hiện sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp, thực hiện các bước đó theo một trình tự thích hợp
8.4.3.4. Kiểm tra nghiên cứu lời giải
Kiểm tra lời giải tính toán, lập luận, toàn bộ quá trình giải
Các trường hợp có thể xảy ra
Nghiên cứu khả năng ứng dụng của lời giải
Khuyến khích học sinh tìm hiểu lời giải bì toán để tìm ra lời giải hay nhất và có thể khái quát hóa, đặc biệt hóa bài toán
Ví dụ 1
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tam giác đều đến ba cạnh của tam giác đó bằng một hằng số.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề toán
* Có thể phát biểu thành bài toán cụ thể như sau:
Cho tam giác đều ABC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác. Các hình chiếu của M trên ba cạnh của tam giác AB, BC, CA lần lượt là H, I, K. Chứng minh rằng MH + MI + MK không đổi dù M ở bất kì vị trí nào trong tam giác.
* Hướng dẫn HS vẽ hình, ghi GT - KL

Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải
Có thể khái quát mở rộng bài toán như sau:
Mở rông ra trường hợp đa giác đều: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một đa giác đều đến các cạnh của đa giác đó bằng một hằng số.
Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng nhau.
Mở rộng ra trường hợp tứ diện đều.

Ví dụ 2: Tìm 2 số x,y biết
B1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Tìm hai số x, y thỏa mãn biểu thức
B2: Xây dựng chương trình giải:
Ta không thể mò mẫm để tìm các giá trị x, y thay vào điều kiện bài toán cho được mà phải bám sát vào yêu cầu bài toán cho gì và cần tìm gì.
Ở đây đề bài cho biết
-Đặt ra câu hỏi làm thế nào để xuất hiện xy để sử dụng giả thiết đã cho: xy=54
Muốn vậy ta phải xuất phát từ tỉ lệ thức
Để có tích xy ta sẽ nhân 2 vế với x
Như vậy đã xuất hiện được xy. Ta thay xy=54 vào biểu thức
Tìm được x dễ dàng , tìm được giá trị y tương ứng dựa vào tích xy=54
.Tại x=6 thì y=9
.Tại x=-6 thì y=-9
Kiểm tra lời giải bằng cách thử trực tiếp xy vào biểu thức
Thay x vào biểu thức : xy=54 (gt) ta được:
x=6, y=9 hoặc x=-6, y=-9
Vậy ta tìm được 2 cặp (x,y) là (6,9) và (-6,-9) thỏa mãn yêu cầu bài toán
B4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
-Với bài tập trên chúng ta cũng tìm ra một số lời giải khác nhau vẫn đưa đến kết quả cuối cùng.
-Chúng ta có thể áp dụng tương tự bài toán vào một số bài tập cụ thể
VD: tìm x,y biết
B3: Trình bày lời giải

Ta có:
( điều kiện bài )
Nhân hai vế với x ta được
Ví dụ 3:
Cho ABC, về phía ngoài của tam giác, dựng các tam giác đều ABD, BCF, ACE. Chứng minh rằng AF=BE=CD.


 ABC
GT ABD có AB=AD=BD
ACF có AC=AE=CE
BCF có BC=BF=CF


KL AF=BE=CD
1. Tìm hiểu nội dung đề bài
2. Xây dựng chương trình giải
Để chứng minh trực tiếp AF=BE=CD thì rất khó
Vì vậy phải gắn chúng vào các đa giác.Cụ thể trong bài này, ta sẽ gắn chúng vào các tam giác
Như vậy bài toán trở thành chứng minh các cặp tam giác ADC và ABE, BDC và BAF bằng nhau.
Ta thấy:
ADC= ABE (c.g.c) =>DC=BE (1)
BDC= ABF (c.g.c) => DC=AF (2)
Từ (1) và (2) => AF=BE=CD
3. Thực hiện chương trình giải
Ta có ABD và ACE là hai tam giác đều

Mặt khác,

Xét ADC và ABE có
AD=BA (ABD đều)
AE=AC (ACE đều)
(CMT)
ADC= ABE (c.g.c)
BE=CD (1)
Tương tự ta có ABD và BCF đều
=>
Xét DBC và ABF có
DB=AB (ABD đều)
BC=BF (BCF đều)
(CMT)
DBC= ABF (c.g.c)
DC=AF (2)
từ (1) và (2) => AF=BE=DC (đpcm)

4. Kiểm tra nghiên cứu lời giải
Từ bài toán trên ta có thể mở rộng ra bài toán chứng minh AF,BE,CD đồng quy
Ví dụ 4
Chứng minh rằng một tam giác có 2 đường cao (xuất phát từ các đỉnh của 2 góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Có thể phát biểu bài toán cụ thể như sau:
- Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với cạnh AC tại E,
đường cao kẻ từ đỉnh C vuông góc với cạnh AB tại F, sao cho BE = CF. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.
- HD HS vẽ hình và yêu cầu viết GT/KL của bài toán.
Quá trình HS học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể.
Từ phương pháp chung giải toán đi đến cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực cuẩ học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.
“Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh”
Pôlya, 1975
Giáo viên chính là người dẫn dắt, hướng dẫn HS hình thành nên phương pháp giải toán.
Báo cáo kết thúc tại đây
Cảm ơn cô và các bạn đã theo dõi