Chương 7 - Bài tập đại số sơ cấp và thực hành giải toán

BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP
Bài 1/369 Chứng minh các bất đẳng thức:
a,

b,
Giải:
a, Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm
, ta có:


( đpcm)
b,


( đpcm)

Bài 2/369 Chứng minh các BĐT
a,
trong đó

b, Với
thì

Giải:
a,
trong đó

(1)







Vì



( đpcm)
b, Với
thì
(2)
(2)











Vì
nên ab
1


Bài 3/369 Chứng minh bất đẳng thức


Giải:
Ta có:
Do
nên bình phương hai vế ta được



đpcm.

Bài 4/369 Chứng minh các BĐT
a,
với a > b > 0 ; n > m; m, n
N
b,
với |x| < 1 và n
N, n > 1
Giải:
a,
với a > b > 0 ; n > m; m, n
N







b,
(1) với |x| < 1 và n
N, n > 1
Đặt

(1)

Ta có:




Mà
nên
(đpcm)

Bài 5/369 Chứng minh BĐT sau với mọi a, b, c.
a,

Nhân hai vế với 2 ta được:



(luôn đúng
a, b, c)
b,




(luôn đúng
a, b, c)
c,


(luôn đúng
a, b, c)

Bài 6/369 Chứng minh rằng với mọi
ta có


Giải:
Ta có:



đpcm.

Bài 7
a) Nếu hai số x, y thỏa mãn x
+ y
= 1, chứng minh rằng

b) Nếu a + b = 1, chứng minh rằng
.
Giải
a) Nếu hai số x, y thỏa mãn x
+ y
= 1, chứng minh rằng

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số: (1, 1) và (x, y) Ta có:


Cách 2: Đặt

Ta có :
mà

Nên
hay

đpcm.
b) Nếu a + b = 1, chứng minh rằng
.
Cách 1:



(1)
Vì a + b = 1,
nên

Thay ab =
vào (1) ta được:


Cách 2:
a + b = 1

(1)
mặt khác

(2)
cộng vế (1) và (2) ta được



Dấu “=” xảy ra khi a = b =


Bài 8. Chứng minh rằng
a)

b)

c)

Giải
a)

Áp dụng Cosi cho hai số
và 1, ta có




b)

Áp dụng Cosi cho hai số x - 1 và 9, ta có




c)

Áp dụng Cosi cho hai số a và b, ta có
(1)
Áp dụng Cosi cho hai số ab và 1, ta có
(2)
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được


Bài 9. Chứng minh rằng
a)

b)

Giải
a)

Áp dụng Cosi cho hai số a và b, ta có
(1)
Áp dụng Cosi cho hai số b và c, ta có
(2)
Áp dụng Cosi cho hai số a và c, ta có
(3)
Nhân vế với vế của (1), (2) và (3) ta được

b)

Áp dụng Cosi cho 6 số
,
, ta có





Bài 10.
a) Cho x
+ y
= 1. Chứng minh rằng

b) Cho 2x
+ 3y
= 5. Chứng minh rằng

Giải
a) Áp dụng bunhiacopki cho 2 cặp số (1, 2), (x, y) ta có:





b) Áp dụng bunhiacopki cho 2 cặp số
,
ta có:






Bài 11/370 Chứng minh rằng


Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho
và
ta có: