Chương 4_5 xử lý tín hiệu số

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Khoa KTMT

Chương 4 Tín hiệu và hệ thống LTI trong miền tần số
Nội dung chính:
Giới thiệu miền tần số
Biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc
Hệ LTI trong miền tần số
Giới thiệu miền tần số
Xét một ví dụ về lăng kính khi cho ánh sáng trắng đi qua (có thể coi là tín hiệu trên miền thời gian) ta sẽ thu được các vạch phổ tương ứng với các thành phần tần số của ánh sáng: đỏ, da cam, vàng...
Nhận xét: cùng một sự vật hiên tượng nếu quan sát ở những vị trí, góc độ khác nhau ta sẽ thu được các thông tin khác nhau về sự vật hiện tượng đó.
Phép biến đổi Fourier với tín hiệu rời rạc
Cho tín hiệu rời rạc x(n), phép biến đổi Fourier của x(n) được định nghĩa như sau:



Như vậy phép biến đổi Fourier đã chuyển tín hiệu x(n) từ miền thời gian sang miền tần số ω (hay tần số f = ω/2π). Chúng ta sẽ dùng ký hiệu sau để mô tả phép biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)

Các phương pháp biểu diễn X(ejω)
Biểu diễn dưới dạng phần thực và phần ảo
Bởi vì X(ejω) là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây:


: là phần thực của X(ejω)
: là phần ảo của X(ejω)
Các phương pháp biểu diễn X(ejω)
Biểu diễn dưới dạng biên độ và pha
X(ejω) làm một hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn nó dưới dạng module và argument như sau:


|X(ejω)|: được gọi là phổ biên độ của x(n)
arg(X(ejω)): được gọi là phổ pha của x(n)
Ta có quan hệ sau:

Phổ biên độ và phổ pha
|X(f)|: Phổ biên độ, arg[X(f)]: Phổ pha
đáp ứng xung
đáp ứng tần số
tín hiệu
phổ
Sự tồn tại của phép biến đổi Fourier
Phép biến đổi Fourier hội tụ khi và chỉ khi x(n) thoả mãn điều kiện:


Từ đó suy ra


Nói cách khác phép biến đổi Fourier luôn hội tụ với các tín hiệu có năng lượng hữu hạn.
Phép biến đổi Fourier ngược
Định lý:

Mặt khác ta xét công thức biến đổi Fourier




Áp dụng định lý nêu trên vào đẳng thức cuối cùng ta có được:


Đây chính là công thức biến đổi Fourier ngược, cho phép chuyển tín hiệu từ miền tần số về miền thời gian
Tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier
Tính tuyến tính
Tính tuần hoàn
X(ejw) tuần hoàn chu kỳ 2p
X(f) tuần hoàn chu kỳ là 1
Biến đổi Fourier của tín hiệu trễ
Tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier
Đặt n-n0 = m
Nhận xét
Tín hiệu trễ có phổ biên độ không thay đổi
còn phổ pha dịch đi 1 lượng wn0
Tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier
Nếu x(n) thực:
Đáp ứng biên độ là hàm chẵn theo w
|X(ejw)|=|X(e-jw)|
Đáp ứng pha là hàm lẻ theo w
arg[X(ejw)]=-arg[X(e-jw)]
c = a.b -> |c| = |a|.|b|
arg[c] = arg[a] + arg[b]
d = a/b -> |d| = |a|/|b|, arg[d] = arg[a] – arg[b]
Quan hệ giữa biến đổi Fourier với biến đổi Z
Quan sát công thức biến đổi Z trong chương số 2 và công thức biến đổi Fourier ta thấy ngay rằng:
X(ejω) = X(z) khi z = ejω
hay khi điểm phức z di chuyển trên đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng phức.
Hệ LTI Trong Miền Tần Số
Chúng ta đã biết rằng đáp ứng xung h(n) là một tham số đặc trưng cho hệ xử lý tín hiệu tuyến tính bất biến
Mặt khác h(n) chính là tín hiệu ra khi tín hiệu vào hệ là δ(n) hay: h(n) = T(δ(n))
Để xét biểu diễn tần số của hệ tuyến tính bất biến, tác động của hệ có dạng:
Hệ có đáp ứng xung h(n)
Đáp ứng của hệ:
H(ejw) cho biết sự truyền đạt của hệ đối với mỗi
tần số w nên H(ejw) là đáp ứng tần số của hệ.
Đáp ứng tần số của hệ LTL
H(ejw) là hàm phức nên có thể được biểu diễn
theo phần thực, phần ảo:
H(ejw)= HR(ejw) +jHI(ejw)
hoặc theo biên độ-pha:
|H (ejw)|: đáp ứng biên độ
arg[H (ejw)]: đáp ứng pha
Đáp ứng tần số của hệ LTI
Xác định đáp ứng tần số của hệ.
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
Đáp ứng tần số của hệ LTI
Ví dụ :Hệ TTBB có đáp ứng xung h(n)=anu(n), |a|<1
Hệ LTI Trong Miền Tần Số
Đáp ứng tần số của hệ biểu diễn bằng PT-SP-TT-HSH
Lấy biến đổi Fourier cả 2 vế:
Đáp ứng tần số xác định bởi các hệ số của PT-SP
Hệ LTI và Bộ Lọc
Hệ LTI và Bộ Lọc
Bộ lọc thông thấp lý tưởng
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:


Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp lý tưởng
Hệ LTI và Bộ Lọc
Ví dụ: Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng xung cho bởi




Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta có thể tính được đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng như sau:
Hệ LTI và Bộ Lọc
Bộ lọc thông cao lý tưởng
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:


Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng
Hệ LTI và Bộ Lọc
Bộ lọc thông dải lý tưởng
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:


Hình dưới đây minh hoạ đáp ứng biên độ của bộ lọc thông dải lý tưởng
Bài tập chương 4
Hệ TT-BB có PT-SP: y(n)=(1/2)[x(n)-x(n-1)]
Xác định đáp ứng xung của hệ
Xác định đáp ứng tần số và vẽ dạng đáp ứng biên độ
Bài tập chương 4
2. Hệ TT-BB có quan hệ vào ra:
Xác định đáp ứng tần số
Xác định và vẽ dạng đáp ứng biên độ. Nhận
xét tính chất lọc của hệ.
3. Hàm truyền đạt của bộ lọc số có dạng:
H(z) = 1 + 2z-1 + 4z-3
Xác định PT-SP biểu diễn quan hệ vào-ra
Vẽ sơ đồ khối thực hiện bộ lọc
Giải bài tập chương 4
Hệ TT-BB có PT-SP: y(n)=(1/2)[x(n)-x(n-1)]

Xác định đáp ứng xung của hệ
h(n)=y(n) khi x(n) = d(n) vậy h(n)=(1/2)[d(n)-d(n-1)]
Xác định đáp ứng tần số của hệ
Vẽ dạng đáp ứng biên độ
Giải bài tập chương 4
Giải bài tập chương 4
2.
a) Đáp ứng xung:
Đáp ứng tần số:
b) Đáp ứng biên độ:
|H(ejw)|=(1/3)|1+2cosw|
Giải bài tập chương 4
3.
a) H(z) = 1 + 2z-1 + 4z-3 = Y(z)/X(z)
Y(z) = X(z) + 2z-1X(z) + 4z-3 X(z)
y(n) = x(n) + 2x(n-1) + 4x(n-3)
b)
Chương 5

Nội dung chính
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
RỜI RẠC
Giới thiệu về DFT
Lấy mẫu miền tần số
Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
Ta sẽ rời rạc hoá miền giá trị ω từ 0 đến 2π thành N điểm với khoảng cách 2π/N.



Khi đó giá trị của X(ejω) tại các điểm rời rạc được tính bằng:




Trong đó khoảng [-∞,+∞] là chu kỳ của tín hiệu của tín hiệu không tuần hoàn
Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn
Với tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N ta có công thức sau:





Công thức trên được gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn.
Nhận xét: Các giá trị X(k) chính là các mẫu rời rạc của X(ejω).
Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn
Với tín hiệu x(n) rời rạc có N mẫu ta có công thức sau:





Từ công thức trên ta có thể tính được x(n) bằng công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT)sau: