Chương 2 xử lý tín hiệu số

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
GV: Ths.Bùi Thanh Hiếu
Khoa KTMT

Chương 2
Tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền thời gian
Nội dung chính
Các tín hiệu rời rạc cơ bản
Các phép toán trên tín hiệu rời rạc
Quan hệ vào ra của hệ thống LTI
Các tính chất của hệ LTI
Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Hệ thống số không đệ qui
Hệ thống số đệ qui
2.1. Tín hiệu rời rạc
Định nghĩa:
Tín hiệu rời rạc là hàm theo biến độc lập có kiểu số nguyên
K/h: x(n), x(nTs)
n  Z
n  Z  x(n) không xác định
Các dạng biểu diễn
Biểu diễn bằng biểu thức toán:

2.1. Tín hiệu rời rạc
Biểu diễn bằng đồ thị:
Biểu diễn bằng bảng:
Biểu diễn bằng dãy số:
2.1.1.Một số tín hiệu rời rạc cơ bản
Tín hiệu xung đơn vị
Tín hiệu bậc đơn vị
Tín hiệu xung chữ nhật
2.1.1.Một số tín hiệu rời rạc cơ bản
Tín hiệu dốc đơn vị
Tín hiệu hàm mũ
2.1.2.Phân loại tín hiệu rời rạc
Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất
Năng lượng của tín hiệu x(n):
Công suất trung bình của tín hiệu
E = M <   x(n): tín hiệu năng lượng
E =  và P = K <   x(n): tín hiệu công suất
Ví dụ:
Trong các tín hiệu sau đây tín hiệu nào là tín hiệu năng lượng, tín hiệu nào là tín hiệu công suất ?
a. x(n) = u(n)
b. x(n) = ur(n)
c.
2.1.2.Phân loại tín hiệu rời rạc
Tín hiệu chẵn và tín hiệu lẻ
2.1.2.Phân loại tín hiệu rời rạc
Nếu x(-n) = x(n)  x(n) là tín hiệu chẵn
Nếu x(-n) = - x(n)  x(n) là tín hiệu lẻ
Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn
x(n + N) = x(n), n  x(n) tuần hoàn
x(n + N)  x(n), n  x(n) không tuần hoàn
Giá trị nhỏ nhất của N được gọi là chu kỳ cơ bản
2.1.3.Các thao tác cơ bản
Phép dịch thời gian: y(n) = x(n-n0)
n0 > 0: dịch x(n) về bên phải |n0| mẫu
n0 < 0: dịch x(n) về bên trái |n0| mẫu
Phép đảo thời gian: y(n) = x(-n)
 đảo tín hiệu qua trục tung
Dịch + đảo: y(n) = x(-n – n0)
Phép thay đổi thang thời gian:
y(n) = x(an) , a  Z +

2.1.3.Các thao tác cơ bản
Phép nhân
Phép cộng
Phép trễ
2.1.3.Các thao tác cơ bản
Một tín hiệu rời rạc bất kỳ luôn luôn có thể được biểu diễn dưới dạng:
Ví dụ
Từ tín hiệu x(n) của ví dụ trên hãy vẽ các tín hiệu:
y(n) = x(n-2)
y(n) = 2x(3-n)
y(n) = x(2n)
y(n) = x(2n-1)u(2-n)
y(n) = x(n) + (-1)nx(n)
2.2. Hệ thống rời rạc
Định nghĩa:
x(n) : tín hiệu vào (tác động)
y(n) : tín hiệu ra (đáp ứng)
T : toán tử (quá trình xử lý hệ thống)
Phân loại hệ thống dựa trên các điều kiện ràng buột đối với toán tử T
2.2.1. Hệ rời rạc tuyến tính
Hệ tuyến tính nếu thoã mãn nguyên lý xếp chồng
y1(n) = T[x1(n)] và y2(n) = T[x2(n)]
T[ax1(n) + bx2(n)] = aT[x1(n)] + bT[x2(n)
= ay1(n) + by2(n)
Ví dụ:
Xét tính tuyến tính của các hệ sau
a. y(n) = nx(n)
b. y(n) = x2(n)
2.2.1. Hệ rời rạc tuyến tính
Đáp ứng xung của hệ tuyến tính
Nếu hệ tuyến tính:
: đáp ứng xung  đáp ứng ra của hệ khi x(n) =  (n)
2.2.2. Hệ tuyến tính bất biến
Hệ bất biến nếu tín hiệu vào bị dịch đi k mẫu  tín hiệu ra y(n) dịch đi k mẫu.
Ví dụ:
Xét tính bất biến của các hệ sau

2.2.2. Hệ tuyến tính bất biến
Tổng chập
Xét hệ bất biến:
x(n) = (n)  y(n) = T[(n)] = h(n)
x(n) = (n-k)  y(n) = T[(n-k)] = hk(n)
Do hệ bất biến  hk(n) = h(n-k)
Với hệ tuyến tính bất biến (TTBB):

Công thức tính tổng chập
Ký hiệu
y(n) = x(n)  h(n)
2.2.2. Hệ tuyến tính bất biến
Các bước tính tổng chập bằng đồ thị
Đổi biến số n thành k, x(n)  x(k), h(n)  h(k)
Đảo thời gian h(k) và dịch đi n mẫu  h(n-k)
Nhân x(k) và h(n-k) với mọi k
Cộng x(k)h(n-k) với mọi k  y(n)
Lặp lại với mọi n
Ví dụ 1:
Tìm y(n) = x(n)  h(n)
Ví dụ 2:
Tìm tín hiệu ra y(n) ?
Các tính chất của tổng chập
Giao hoán:
Kết hợp:
Phân phối:
C/minh các tính chất: xem gtrình
2.2.3. Hệ nhân quả
Hệ nhân quả khi y(n) tại n = n0 chỉ phụ thuộc vào x(n) khi n  n0
Đối với hệ nhân quả:
Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ
Đáp ứng không xảy ra trước tác động.
Ví dụ : Xét tính nhân quả của các hệ sau
Định lý
Một hệ TTBB là nhân nhân quả khi và chỉ khi
h(n) = 0 với mọi n < 0.
Chứng minh: Xét hệ TTBB, tại n = n0
2.2.3. Hệ nhân quả
Nếu hệ nhân quả  y(n0) chỉ phụ thuộc vào các giá trị x(n0), x(n0-1), x(n0-2)… h(-1) = h(-2)..= 0
 h(n) = 0, n < 0
2.2.3. Hệ nhân quả
Dãy nhân quả
Đối với hệ thống TTBB có h(n) nhân quả và x(n) nhân quả thì đáp ứng ra của hệ:
2.2.4. Hệ ổn định
Hệ ổn định là hệ có tín hiệu ra hữu hạn khi tín hiệu vào hữu hạn
 |x(n)|  Mx <   |y(n)|  My <  : hệ ổn định
Định lý:
Một hệ TTBB là ổn định khi và chỉ khi đáp ứng xung của hệ thoã mãn điều kiện:
C/m: xem gtrình
Ví dụ:
2.2.4. Hệ ổn định
2.2.3. Phương trình sai phân tuyến tính HSH
Dạng phương trình:
ak , br : các hệ số của phương trình (hằng số)
M, N: các số nguyên dương, N là bậc của phương trình
Ví dụ:
y(n) – y(n-1) = 2x(n) + 3x(n-1) – 4 x(n-2)
2.2.3.1. Giải phương trình SPTTHSH
Yêu cầu bài toán: Cho hệ thống TTBB được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:
Cho tín hiệu vào x(n) và các điều kiện đầu, tìm tín hiệu ra y(n)
Các bước giải PT:
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất yo(n)
2.2.3.1. Giải phương trình SPTTHSH
Phương trình thuần nhất:
Chọn nghiệm y(n) = n ,   0 và thay vào (*)
Nếu (**) có nghiệm đơn:
Nếu (**) có nghiệm bội, giả sử 2 là nghiệm bội bậc k
Trong đó Ck là các hằng số
2.2.3.1. Giải phương trình SPTTHSH
Bước 2: Tìm nghiệm riêng yp(n)
Xét phương trình đầy đủ:
Thay giá trị x(n) đã biết vào pt trên và chọn y(n) đồng dạng với x(n)  yp(n) đồng dạng với x(n)
2.2.3.1. Giải phương trình SPTTHSH
Bước 3: Xác định các hệ số Ck dựa vào điều kiện đầu
Nghiệm tổng quát của phương trình SPTT có dạng:
y(n) = yo(n) + yp(n)
Ví dụ: Giải phương trình sai phân
y(n) + 3y(n-1) = x(n)
Với x(n) = n2 + n, y(-1) = 2
2.2.3.2. Hệ có đáp ứng xung hữu hạn
N = 0: phương trình sai phân TT-HSH có dạng
Đồng nhất với phương trình tổng quát
KL: N = 0, pt (*) đặc trưng cho hệ có đáp ứng xung dài hữu hạn (FIR: Finite Impulse Response) hay còn gọi là hệ không đệ qui.
2.2.3.2. Hệ có đáp ứng xung hữu hạn
Tính ổn định của hệ FIR
Nếu bk là số hữu hạn
Hệ FIR luôn thoã mãn điều kiện ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến
2.2.3.3. Hệ có đáp ứng xung vô hạn
N > 0: phương trình sai phân TT-HSH có dạng
Thay x(n) = (n) vào (**)
Phương trình trên là phương trình hồi qui  đáp ứng xung h(n) dài vô hạn.
 (**) đặc trưng cho hệ có đáp ứng xung dài vô hạn (IIR: Infinite Impulse Response) hay còn gọi là hệ hồi qui.
2.2.3.3. Hệ có đáp ứng xung vô hạn
Tính ổn định của hệ IIR
Khi x(n) = (n)  h(n) = y(n) = yo(n)
Đối với hệ nhân quả :
Nếu |k| <1 , k:
Hệ IIR ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nhỏ hơn 1
2.3. Thực hiện các hệ rời rạc LTI
2.3. Thực hiện các hệ rời rạc LTI
2.3. Thực hiện các hệ rời rạc LTI
Dạng chuẩn tắc 1: được suy trực tiếp từ pt (**)
Dạng trung gian
2.3. Thực hiện các hệ rời rạc LTI
Dạng chuẩn tắc 2:
2.3. Thực hiện các hệ rời rạc LTI
Bài 1: Cho x(n) như hình vẽ. Hãy vẽ các tín hiệu
a. x(n-2)
b. x(n)u(2-n)
c. x(2n-1)(n-3)
d. x(n2)
e. Phần chẵn của x(n)
f. Phần lẻ của x(n)
Bài tập chương 2
Bài 2: Xét các đặc tính tuyến tính, bất biến, nhân quả và ổn định của các hệ sau:
a. y(n) = x(-n +2) c. y(n) = |x(n)|

b. y(n) = x(n)u(n) d. y(n) = x(n2)

Bài tập chương 2
Bài 3: Xác định đáp ứng y(n), [n ≥ 0] của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân:
y(n) – 4y(n-1) + 4y(n-2) = x(n) – x(n-1)
Biết x(n ) = (-1)nu(n), y(-1) = y(-2) = 0
Bài 4:
Xác định đáp ứng xung của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân bậc hai:
y(n) – 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1)
Xác định dạng thực hiện chuẩn tắc 2 của hệ thống trên.
Bài tập chương 2
Bài5: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như sau:
h1(n) = h2(n) = h3(n) = u(n) – u(n-3)
Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống
Nhận xét tính ổn định và nhân quả của hệ
Bài tập chương 2
Bài 6: Cho hệ thống như hình vẽ. Quan hệ vào ra của 2 hệ thống T1 và T2 lần lượt là:
y1(n) = x1(n) + 3x1(n-2)
y2(n) = 2x2(2-n) – 1/2x2(n-1)
x1(n) và x2(n): tín hiệu vào tương ứng của hệ T1 và T2
Xác định mối quan hệ vào ra của toàn bộ hệ thống.
Nếu thay đổi thứ tự T1 và T2 thì quan hệ vào ra của hệ có thay đổi không? Giải thích?