Chương 1: phép biến hình 11

Phần I: Phương pháp tọa độ trong phép biến hình

Bài 1. Phép biến hình
Tóm tắt lý thuyết:
Định nghĩa:
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, phép biến hình f là một quy tắc để với mỗi điểm M(x;y), xác định được một điểm duy nhất M’(x’;y’). Điểm M’(x’;y’) gọi là ảnh của điểm M(x;y) qua phép biến hình f.
Qua phép biến hình f nếu (M(x;y)((C):G(x;y)=0 có ảnh là M’(x’;y’)((C’):G’(x’;y’)=0 thì đường (C’) được gọi là ảnh của đường (C) trong phép biến hình f.
Người ta ký hiệu (C’):G’(x;y)=0 (đổi x’ thành x và y’ thành y) là ảnh của (C):G(x,y)=0 qua phép biến hình f.

Đặc biệt: Nếu f(M)=M’, f(N)=N’ có MN=M’N’ thì f là một phép dời hình.

Tính chất của một phép dời hình:
Phép dời hình f:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia;
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Biến tam giác thành tam giác bằng nó;
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
Biến góc thành góc bằng nó.
Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d:
Trong phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), ảnh của M(x;y) là H(x’;y’) có tọa độ:

Công thức này chỉ có giá trị kiểm nghiệm vì khó nhớ.
Chú ý:
a. Để tìm ảnh H của M(a;b) trong phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) ta thực hiện các bước:
Viết phương trình đường thẳng (() đi qua M(a;b) và vuông góc d ( vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (()).
Khi đó ((): B(x-a)-A(y-b)=0
Giải hệ:

để tìm tọa độ của H
b. Để chứng minh phép biến hình f là một phép dời hình ta thực hiện các bước:
Lấy M(x1;y1) và N(x2;y2), qua phép biến hình f ta tìm f(M)=M’và f(N)=N’
Dùng công thức khoảng cách giữa hai điểm chứng minh MN=M’N’.
Kết luận f là một phép dời hình.
Bài tập áp dụng:

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của M(2;(1) lên đường thẳng d: x(2y+1=0.
Giải:
Gọi (() là đường thẳng đi qua M(2;(1) và vuông góc d, khi đó vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của ((). Phương trình đường thẳng (():
(2(x(2)(1(y+1)=0 ( 2x+y(3=0
Tọa độ của H là nghiệm của hệ:

Vậy H(1;1).

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho A(4;1) và B(2;(3). Gọi I và J lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên các trục Ox và Oy. Tìm độ dài đoạn thẳng IJ.
Giải:
Vì I là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox nên I(4;0), Vì J là hình chiếu vuông góc của B trên trục Oy nên J(0;(3). Vậy độ dài đoạn thẳng IJ

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho A(4;1) và B(2;(3). Tìm độ dài đoạn thẳng IJ là hình chiếu vuông góc của đoạn AB lên đường thẳng d: x+2y+1=0.
Giải:
Vì cùng phương với vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nên AB(d và AB đi qua A có vectơ chỉ phương ( AB có vectơ pháp tuyến ( AB:2x(y(7=0 ( I(J(IJ=0

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) sao cho:

trong đó a2+c2=b2+d2=1; ab+cd=0.
Chứng minh rằng f là một phép dời hình.
Giải: Qua phép biến hình f ta có