Chứng minh thẳng hàng THCS

 Chuyên đề
MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN
BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
---------------------------------
PHẦN I
KHÁI QUÁT CHUNG
Bài toán chứng minh thẳng hàng là một dạng toán khá quen thuộc, nhất là trong các đề thi học sinh giỏi. Nhưng khi gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ ra rất lúng túng. Để loại bỏ sự lúng túng ấy, ở chuyên đề sau đây, tôi đã thống kê một số hướng cơ bản để giúp học sinh tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng, kèm theo là một số ví dụ minh họa. Sự phân loại các phương pháp trong chuyên đề chỉ mang tính cá nhân.
Một số hướng tiếp cận cơ bản khi gặp bài toán chứng minh thẳng hàng:
1. Hướng 1: Sử dụng góc bù
2. Hướng 2: Sử dụng tính chất của hình bình hành
3. Hướng 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song
4. Hướng 4: Sử dụng các tính chất của đường tròn
5. Hướng 5: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau
6. Hướng 6: Thêm điểm
7. Hướng 7: Sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt
Đối tượng để dạy bồi dưỡng chuyên đề này là các em học sinh khá, giỏi toán lớp 9, chủ yếu là các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán 9.
Dự kiến chuyên đề sẽ được bồi dưỡng trong 3 buổi, với thời lượng 9 tiết.
PHẦN II
PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

I. Hướng thứ nhất: Sử dụng góc bù
+ Nếu có
thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
+ Tổng quát: Nếu quay xung quanh điểm A các tia AB1, AB2,..., ABn lần lượt theo thứ tự ấy mà
thì 3 điểm B1; A; Bn thẳng hàng.
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE (
=
= 900). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng H, A, M thẳng hàng.

Giải
Dựng hình bình hành AEFD
( M là trung điểm của AF (t/c hình bình hành) và EF = DA = BA
Mặt khác EA = CA (gt);
=
(Cùng bù với
)
((EFA = (ABC (c-g-c)
(
( Hai góc tương ứng)
Mà
= 900
(
= 900
(

Hay
( M, A, H thẳng hàng.



Ví dụ 2
Cho (ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC, gọi H là trực tâm (ABC.
Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.

Giải
Gọi B’ là giao điểm của BH và AC;
A’ là giao điểm của AH và BC
Tứ giác HA’CB’ nội tiếp
(

(t/c đối xứng trục)
( Tứ giác AHBE nội tiếp
(

Tương tự ta có:

(

=

(
( E, H, F thẳng hàng.
* Đường thẳng đi qua 3 điểm E, H, F nói trên có tên là đường thẳng Steiner ứng với điểm M.
* Việc chứng minh các điểm E, H, F nói trên thẳng hàng cũng được đề cập trong đề thi Olympic Japan 1996:
Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn (ABC). Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AD. Chứng minh P, K, Q nằm trên một đường
thẳng và luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên đường tròn (ABC). (Olympia Japan 1996).

II. Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất của hình bình hành
Có thể sử dụng tính chất : hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Do đó, nếu chứng minh được tứ giác ABCD là hình bình hành và O là trung điểm của AC thì B,O,D thẳng hàng.
Ví dụ 3
Cho (ABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng.
Giải
MB ( BC, AH ( BC (suy từ giả thiết)
( MB // AH.
Mà MA // BH (cùng vuông góc với AC)
( AMBH là hình bình hành.

( AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành)
( H, I, M thẳng hàng.
Ví dụ 4
Cho (ABC