Chọn điểm rơi trong BDT Cô-si

Chuyên Đề:
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1. Cho
, tìm GTNN của

Giải
Ta có:

Dấu “=” xảy ra

Bài toán 2. Cho
, tìm GTNN của

Giải
Lời giải 1. Ta có:

Dấu “=” xảy ra
. Vô nghiệm
Vậy không tồn tại


Lời giải 2. Ta có:

Mặt khác
. Vậy

Dấu “=” xảy ra
.
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức
. Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
?..? Làm sao nhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị


NỘI DUNG
Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa:









Một số bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Cauchy
Cho
số thực không âm
ta luôn có
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
Một vài hệ quả quan trọng:




Cho
số dương (
):
ta có:


Bất đẳng thức BCS
Cho
số dương (
):
ta có:


Dấu “=’ xảy ra

Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số
ta luôn có:


Dấu “=’ xảy ra

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho
là một hàm
biến thực trên





Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên.
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Bài 1. Cho
, tìm GTNN của biểu thức
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :

.
Mặt khác
. Vậy
nên

Sai lầm 2:


Dấu bằng xảy ra
. Thay
vào ta được

khi
.
Nguyên nhân sai lầm:

Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
là do thói quen để làm xuất hiện
.
. Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra
không kết luận được

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
nên đã tách các số hạng và
khi
là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như
, dấu bằng xảy ra khi

.
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
, ta dự đoán
đạt tại
, ta có:



Dấu bằng xảy ra
.
Bài 2. Cho
, tìm GTNN của biểu thức
.
Sai lầm thường gặp:
Ta có:





Nguyên nhân sai lầm:

Lời giải đúng
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
, và ta thấy
vì thế ta muốn xuất hiện
; ta áp dụng bất đẳng thức
và nếu vậy:

, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:


Dấu bằng xảy ra khi
.
Bài 3. Cho
. Tìm GTLN của
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có



Sai lầm 2:

Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi.
, tức là không tồn tại

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán
đạt được tại
nên tách các số
ra cho dấu bằng xẩy ra.
Cách 1: Ta có
, tương tự và ta có:

, vậy
khi
.
Cách 2: Ta có
, mặt khác:

, tương tự ta có:

. Dấu “=” xảy ra khi
, suy ra:

khi
.
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
Cho
. Tìm GTLN của
.
Với
: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách
. Nếu
, thì bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS”
Bài 4. Cho
. Chứng minh rằng:
.
Sai lầm thương gặp:
Ta có:
, tương tự ta có:

,
mà

Nguyên nhân sai lầm:
, vậy

Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi
. Vậy ta áp dụng Cauchy cho