CÂY PHÂN CẤP

11.9. CÂY PHÂN CẤP
Định nghĩa 11.3: Cây phân cấp là một cây, trong đó có một đỉnh đặc biệt gọi là gốc, giữa các đỉnh có mối quan hệ phân cấp “cha-con”.
Một số thuật ngữ:
- Số các con của một đỉnh trong cây phân cấp được gọi là bậc của đỉnh đó.
- Đỉnh không có con được gọi là lá của cây.
11.9. CÂY PHÂN CẤP (tiếp)
- Đỉnh không phải là lá được gọi là đỉnh trong của cây, còn lá được gọi là đỉnh ngoài của cây. Đỉnh gốc là đỉnh duy nhất không có cha.
- Mức của đỉnh trong cây phân cấp:
Gốc của cây có mức là 0.
Nếu mức của đỉnh cha là i thì mức của các đỉnh con là i + 1.
- Chiều cao của cây là mức cao nhất của các đỉnh trong cây.
VÍ DỤ 11.7
Cây T dưới đây có đỉnh gốc a, các đỉnh lá b, g, e, h, k.

Hình 11.11. Cây phân cấp
11.9. CÂY PHÂN CẤP (tiếp)
Định nghĩa 11.4 (đệ quy)
- Tập rỗng là một cây phân cấp (cây rỗng).
- Một đỉnh là một cây phân cấp.
- Giả sử a là một đỉnh và T1, T2, ... , Tk là các cây phân cấp với các gốc là a1, a2, ..., ak tương ứng. Cây T được xây dựng bằng cách cho đỉnh a làm “cha” của các đỉnh a1, a2, ..., ak, sẽ là một cây phân cấp. Trong cây T này, đỉnh a là gốc và T1, T2, ... , Tk là các cây con của gốc a.
11.9. CÂY PHÂN CẤP (tiếp)
Đường đi trong cây phân cấp T là một dãy các đỉnh < b1, b2, ..., bm > mà:
bi là “cha” của bi + 1, 1 ≤ i ≤ m -1.
Cây phân cấp T với bậc cao nhất của các đỉnh trong T là m, được gọi là cây m - phân.
Hình 11.12. Cây phân cấp tổng quát
11.9. CÂY PHÂN CẤP (tiếp)
Định lý 11.6
Giả sử T là một cây m-phân.
- Nếu cây T có chiều cao h thì cây có nhiều nhất mh lá.
- Nếu cây T có l lá thì cây có chiều cao h ≥ [logm l ].
11.10. CÁC CÁCH DUYỆT CÂY
Duyệt cây:
Đưa ra một danh sách tuyến tính liệt kê tất cả các
đỉnh của cây, mỗi đỉnh một lần.
Ba cách duyệt cây hay dùng:
- Duyệt theo thứ tự trước (pre-order search)
- Duyệt theo thứ tự giữa (in-order search)
- Duyệt theo thứ tự sau (post-order search)
11.10. CÁC CÁCH DUYỆT CÂY (tiếp)
Định nghĩa 11.5. (đệ quy)
- Nếu cây T rỗng thì cả ba cách duyệt đều cho danh sách rỗng.
- Nếu cây T chỉ có một đỉnh thì cả ba cách duyệt đều cho danh sách gồm chỉ một đỉnh này.
11.10. CÁC CÁCH DUYỆT CÂY (tiếp)
- Nếu cây T có gốc a và các cây con T1, T2, ..., Tk thì:
1) Duyệt theo thứ tự trước của cây T: danh sách bao gồm gốc a sau đó là các đỉnh của cây con T1 được duyệt theo thứ tự trước, rồi đến các đỉnh của cây con T2 được duyệt theo thứ tự trước .... cho đến các đỉnh của cây con Tk được duyệt theo thứ tự trước:
a, (T1), (T2), … , (Tk)





11.10. CÁC CÁCH DUYỆT CÂY (tiếp)
2) Duyệt theo thứ tự sau của cây T:
(T1), (T2), … , (Tk), a

3) Duyệt theo thứ tự giữa của cây T:
(T1), a, (T2), … , (Tk)

11.10. CÁC CÁCH DUYỆT CÂY (tiếp)
Ví dụ 11.8 : Cho cây T





Duyệt theo thứ tự trước: 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7, 9, 10, 8
Duyệt theo thứ tự giữa: 5, 2, 6, 1, 3, 9, 7, 10, 4, 8
Duyệt theo thứ tự sau: 5, 6, 2, 3, 9, 10, 7, 8, 4, 1.
Hình 11.13. Cây phân cấp và kết quả của 3 cách duyệt
11.10. CÁC CÁCH DUYỆT CÂY (tiếp)
Thủ tục duyệt cây theo thứ tự giữa
procedure D_GIUA (a) ;
begin
if a là lá then write(a)
else
begin
D_GIUA (con bên trái nhất của a ) ;
write(a) ;
for mỗi một con c của a, trừ con bên trái
nhất, từ trái sang phải do D_GIUA (c)
8. end
9. end ;
11.11. CÂY NHỊ PHÂN
Định nghĩa
Cây nhị phân là cây phân cấp mà mỗi đỉnh của nó có
không quá hai con.
Các cây con của một đỉnh của cây nhị phân được
phân biệt là cây con trái và cây con phải.
Định lý 11.7: Số các cây nhị phân n định là
cn = C2nn / (2n +1).
Dãy số {cn} được gọi là dãy số Catalan.
11.11. CÂY NHỊ PHÂN (tiếp)
Một số ứng dụng của cây nhị phân
- Cây biểu thức
- Cây mã tiền tố
- Cây mã Huffman
11.12. CÂY BIỂU THỨC
Cây biểu thức: Là cây nhị phân mà mỗi đỉnh của nó được gán nhãn theo quy tắc:
- Các lá được gán các đại lượng
- Các đỉnh trong được gán các dấu phép toán của một biểu thức nào đó.
11.12. CÂY BIỂU THỨC (tiếp)
Cụ thể, nếu biểu thức E = (E1)  (E2) và các cây biểu thức T1, T2 biểu diễn các biểu thức con E1, E2 thì cây biểu thức T biểu diễn E được xây dựng như sau:
Hình 11.14. Cây biểu thức tổng quát
VÍ DỤ CÂY BIỂU THỨC
Xét biểu thức sau: E = (a + b) * (c - d).
Cây biểu thức tương ứng là:


11.12. CÂY BIỂU THỨC (tiếp)
Duyệt cây biểu thức trên theo thứ tự giữa, ta được danh sách: a b + c d - *

Đây là dạng Ba lan ngược của biểu thức E, giúp máy tính tính được giá trị của biểu thức một cách nhanh chóng nhờ một stack lưu giữ các đại lượng.


STACK TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
11.13. CÂY MÃ TIỀN TỐ
Bài toán
Cho một tập các ký hiệu. Hãy mã hóa các ký hiệu này bằng dãy các chữ số 0, 1 thoả mãn tính chất tiền tố, nghĩa là không có mã của ký hiệu nào lại là tiền tố của mã của ký hiệu khác.
11.13. CÂY MÃ TIỀN TỐ (tiếp)
Cách thực hiện
Xây dựng một cây nhị phân sao cho:
- Mỗi ký hiệu tương ứng với một lá,
- Cạnh xuống con trái của một đỉnh được gán nhãn 0
- Cạnh đi xuống con phải được gán nhãn 1.
Khi đó, dãy các nhãn trên đường đi từ gốc đến lá sẽ cho
mã tiền tố của ký hiệu tương ứng.

Cây nhị phân xây dựng như trên được gọi là cây mã tiền tố.

VÍ DỤ 11.10
Các cây mã tiền tố:



Các bộ mã tiền tố nhận được là:

11.14. CÂY MÃ HUFFMAN
Bộ mã Huffman
Bài toán: Có một bản tin là dãy các ký hiệu lấy trong một tập hữu hạn A. Mỗi ký hiệu xuất hiện trong bản tin theo một tần suất đã biết. Hãy xây dựng bộ mã tiền tố cho tập A sao cho độ dài chuỗi mã của bản tin là ngắn nhất.

Bộ mã tìm được mang tính tối ưu và được gọi là bộ mã Huffman.
11.14. CÂY MÃ HUFFMAN (tiếp)
Gọi d là số ký hiệu của bản tin, (x) là tần suất xuất hiện của ký hiệu x trong bản tin.
Mỗi cây nhị phân T với nhãn 0,1 trên các cạnh và có số lá bằng số ký hiệu của tập A sẽ cho ta một bộ mã tiền tố cho tập ký hiệu A.
Mức (x) của lá x chính là chiều dài mã của ký hiệu x. Khi đó, độ dài chuỗi mã của toàn bộ bản tin sẽ là: M = d. (x)(x).
Cây mã tiền tố T là tối ưu khi độ dài M của mã bản tin đạt giá trị nhỏ nhất.

VÍ DỤ 11.11
Xét bản tin gồm 1000 ký hiệu trong tập ký hiệu
A = {a, b, c, d, e} với tần suất xuất hiện của các ký hiệu trong bản tin như sau:



VÍ DỤ 11.11 (tiếp)
Bộ mã tối ưu:






Cây mã tiền tố ở hình vẽ trên được xây dựng dựa trên nguyên lý: đỉnh lá nào có tần suất càng lớn thì đường đi từ gốc cây tới đỉnh lá đó càng ngắn.
VÍ DỤ 11.11 (tiếp)
Chọn bộ mã 1 và 2 như trong ví dụ về mã tiền tố và bộ mã 3 (tối ưu) như dưới đây, ta có:

11.15. THUẬT TOÁN HUFFMAN
Xây dựng rừng T có l cây, mỗi cây chỉ gồm một đỉnh tương ứng với một ký hiệu x trong A và được gán nhãn (x).
Chọn hai cây trong T có gốc với nhãn nhỏ nhất. Thêm một đỉnh mới với nhãn là tổng các nhãn của hai gốc cây vừa chọn. Nối đỉnh mới với hai gốc này bằng hai cạnh có nhãn 0, 1 để tạo thành một cây nhị phân.
Nếu T vẫn chưa phải là một cây thì lặp lại bước 2), ngược lại thì dừng.
11.15. THUẬT TOÁN HUFFMAN (tiếp)
Định lý 11.8:
Khi thuật toán Huffman dừng thì cây mã tiền tố nhận
được là tối ưu.

Chứng minh: Quy nạp theo số ký hiệu l của tập A.
l = 2 : Hiển nhiên.
(l)  (l+1) : Giả sử tập A = {x1, x2, …, xl-2, xl-1, xl, xl+1}.
Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết xl, xl+1 có tần suất xuất hiện nhỏ nhất.
11.15. THUẬT TOÁN HUFFMAN (tiếp)
Chứng minh:
Ký hiệu H là cây mã tiền tố cho tập A theo thuật toán
Huffman. Vì xl, xl+1 có tần suất nhỏ nhất nên đã được chọn
đầu tiên ở bước 2) và được thêm đỉnh mới y có tần xuất là
(xl) + (xl+1). Hiển nhiên, theo cách xây dựng của thuật
toán thì cây nhị phân H’ = H {xl, xl+1} là cây mã tiền tố
của tập A’ = {x1, x2, …, xl-2, xl-1, y} có l ký hiệu.
11.15. THUẬT TOÁN HUFFMAN (tiếp)
Chứng minh:
Theo giả thiết quy nạp, cây H’ là cây mã tối ưu cho A’.
Độ dài của mã bản tin theo cây H là:
M = d.(xi)(xi) = d[ (xi)(xi) + (y)(y)]
+ d.((xl) + (xl+1))
đạt giá trị bé nhất. Cây mã tiền tố H là tối ưu. 

Cây mã tiền tố tối ưu và thuật toán Huffman được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết mật mã.
l-1