Cách Chia ba một gócbất kì .doc

Cách chia ba một góc bất kì
“Chia một góc cho sẵn bất kì thành 3 phần bằng nhau” là một trong 3 bài toán trong hình học phẳng Euclide “không giải được” từ thời các nhà toán học cổ Hy lạp. Thật ra, phải nói rõ ra là “không vẽ được bằng compa và thước thẳng không chia độ” mới đúng. Thước thẳng không chia độ là thước chỉ dùng để gạch đường thẳng nối 2 điểm hay qua một điểm và thẳng góc với một đường thẳng khác mà thôi.
Hai bài toán khác là: 
Vẽ một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một vòng tròn cho sẵn
Vẽ một hình lập phương có thể tích gắp đôi thể tích của một hình lập phương cho sẵn.
Thật ra, không phải tất cả mọi góc đều không thể chia 3 đuợc bằng phép vẽ chỉ dùng compas và thước thẳng.


Ta biết rằng 1/3 của góc 60o là 20o, nhưng chia một góc 60o làm 3 phần không thể thực hiện được chỉ bằng compa và thước thẳng.  Lý do là vì chia một góc 60o làm 3 phần tương đương với giải một phương trình bậc 3 có nghiệm số không hữu tỉ. Điều đó có thể thấy được qua một hệ thức lượng giác là cos(3θ) = 4cos3(θ) − 3cos(θ).
Nếu 3θ = 60o thì  cos(3θ) = 1/2. Chia góc 3θ = 60o  làm 3 phần tương đương với tìm một góc θ  thoả phương trình: 4cos3(θ) − 3cos(θ) = ½ hay      8x3  – 6x – 1 = 0   
  nếu đặt  x =  cos(θ) hay, đặt  y = 2x ( y3 – 3y – 1 = 0            (1)
Phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Thật vậy, nếu (1) có một nghiệm hửu tỉ  r/s với  r và s là 2 số nguyên không có thừa số chung, thì thay y = r/s vào (1) và rút gọn:
( s3 = r(r2 -3s2)  chia đúng cho r   => s và r có thừa số chung. trừ khi r = ± 1. (   r3 = s2(s + 3r) chia đúng co s2   => s và r có thừa số chung, trừ khi  s = ± 1.
Vì  r và s được giả thiết là không có thừa số chung, nên trường hợp nầy chỉ chấp nhận được khi r = ± 1 và s = ± 1
và  nghiệm số hửu tỉ của phương trình (1) chỉ có thể là +1 hay -1. Mà cà +1 và -1 dều không nghiệm đúng (1).
Tóm lại: phương trình (1) không có nghiệm hửu tỉ. Điều đó chứng tỏ rằng không vẽ được một góc 20o từ một góc 60o cho sẵn bằng compa và thước thẳng.
Chia ba một góc bằng com pa và thước thẳng chia độ,
Chia ba một góc cho sẵn thường không thhể được với compa và thước thẳng (Thước thẳng là chỉ để kẻ đường thẳng mà thôi).
Tuy nhiên, với một thước thẳng có chia độ, được hiểu là thước có thể dùng để đo khoảng cách của 2 điểm, thì bài toán chia ba một góc cho sẵn có thể giải được như dưới đây.
Cách dựng
a/ Giải sử: Cho (Abx’ = (α Với α < 90o bất kì, có cách dựng
( β = 1/3 ( α
chỉ bằng compa và thước chia độ.
Dựng đường tròn tâm là đỉnh B của (α, đường tròn cắt 1 cạnh của α tại A. (Hình 1)
Áp thước chia độ vào cạnh xB của (α để đánh dấu lấy 1 đoạn thẳng có độ dài =r (bán kính đường tròn) ( r = BA.
Áp thước 1 đầu vào điểm A và lấy A cố định quay đầu kia của thước tạo thành đường thẳng cắt tia nối dài xBx’ tại D và cắt đương tròn tai C sao cho CD = BA =r (Hình 2)
Ta có:  BA = BC = CD = r ( (BAC = ( BCD (2( cân đỉnh ở B và C.) Gọi (β là 2 góc đáy của (BCD và ( γ là 2 góc đáy của tam giác BAC.
( ( CBD = (CDB = ( β   và  (BCA = (BAC = (γ ( (BCA = (CBD + (CDB  => ( γ = 2(β      (Góc ngoài tam giác).
Gọi (δ là góc ở đỉnh của tam giác cân BAC ( ( ABC = (δ = 180o – 2( γ = 180o – 4(b   ( vì  ( γ = 2(β
Tổng số các góc ở đỉnh B bằng 180o: ( ( α + (δ +( β = 180o ( ( α + (180o – 4(β) +( β = 180o  (  β= 1/3α
Như vậy là ta đã vẽ được một góc bằng 1/3 một góc cho sẵn