Các tính chất của tích phân

trường trung học phổ thông
a duy tiên
Chào mừng các thầy cô giáo và các em học sinh đến với tiết học này
Định nghĩa tích phân
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là 2 phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số: F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).
Kí hiệu là

Ta cũng dùng kí hiệu: để chỉ hiệu số F(b) - F(a)
Ta có:

Công thức (1) còn được gọi là công thức Niutơn-Lepnít
(1)
ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a,b] thì tích phân là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b.
Em hãy chọn đáp án đúng
trong các đáp án sau :
Kết quả của tích phân là:

A. 0 B. -1

C. Không tồn tại D. 1
Hãy tính tích phân sau
Lời giải
2) tính tích phân j =
=> Hàm số f(x) = |x| là liên tục trên R và f(x) ? 0.
Đồ thị hàm số f(x) = |x| như hình vẽ
khi đó: là diện tích của

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = |x|, trục 0x và 2 đường thẳng x = -1; x=2
=> J là tổng diện tích của 2 tam giác OAB và ?OCD

Mà S ? OAB= và S ? OCD= 2
Tính chất 1:



Tính chất 2:
Chứng minh tính chất
Tính chất 3:
Chứng minh
Ta có: kF(x) cũng là 1 nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
Suy ra:
Vậy:
Chứng minh tính chất
Tính chất 4:
Chứng minh
Chứng minh tương tự ta có:
Ta có: F(x)+G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x)+g(x) trên K vì [F(x)+G(x)]`=F`(x)+G`(x)=f(x)+g(x)
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên khoảng K
Vậy
Ví dụ 1
Cho và
Hãy tính:
Bài giải
ví dụ 2
Em hãy tìm đáp án đúng trong bài toán sau:

Cho biết và
Kết qủa tích phân là:
A. 17 B. 14

C. 16 D. 18
ví dụ 3
Tính tích phân
Lời giải
VÍ DỤ 4
Tính tích phân sau:


I=
Chứng minh tính chất
Tính chất 5:
Chứng minh
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
Ta có
Khi đó
Vậy
ví dụ 4
Tính tích phân
Lời giải
ví dụ 5
Cho biết: và

Hãy tính:
Lời giải
ví dụ 6
Cho biết: và

Hãy tính:
Lời giải
Mà
Chứng minh tính chất
Tính chất 6: f(x)?0 trên đoạn [a;b] =>
Chứng minh
Ta có: F`(x) =f(x)?0, với mọi x ? [a;b]
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K
Vì vậy: a < b => F(a) ? F(b)
=> F(x) không giảm trên đoạn [a;b]
Nên
Tính chất 7:

f(x) ? g(x) trên đoạn [a;b] =>
Tính chất 8:

m? f(x)?M trên đoạn [a;b] =>
ví dụ 7
Chứng minh rằng
Lời giải
Trên đoạn ta có:
tính chất 9
t biến thiên trên đoạn [a;b] => G(t) = là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0
Ví dụ 9

Với mỗi x ? R ta đặt f(x) = . Chứng minh rằng f(x) là một hàm số lẻ
Ta thấy tập xác định của hàm số là: D = R
Giải
Ta có:
Vậy f(x) là một hàm số lẻ
nên với mọi x ? R ta có:
-x ? R và f(-x) = (-x)3=-x3=-f(x)
Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K, và a, b, c là 3 điểm bất kỳ thuộc K. Ta có:

Tính chất 1:

Tính chất 2:

Tính chất 3: (với K ? R)

Tính chất 4:

Tính chất 5:

Tính chất 6: f(x) ?0 trên đoạn [a;b] =>

Tính chất 7: f(x) ?g(x) trên đoạn [a;b] =>

Tính chất 8: m ? f(x) ? M, trên đoạn [a;b] => m(b-a)?

Tính chất 9: t biến thiên trên đoạn [a;b] => G(t) = là một nguyên hàm của hàm số f(t) và G(a)=0
Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm b, biết rằng:
Bài 2: Tính:
Bài 3: Tính:
bài học kết thúc