Các tập hợp số

Phép toán hai ngôi
1. Định nghĩa
Cho X là một tập khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên tập X là một ánh xạ.
T: X  X  X
(a; b) aTb
Phần tử aTb  X được gọi là cái hợp thành hay còn được gọi là kết quả của phép toán T thực hiện trên hai phần tử a và b.
Như vậy, một phép toán hai ngôi T trên tập hợp X là một quy tắc đặt tương ứng với mỗi cặp phần từ (a;b) thuộc X  X một phần tử xác định duy nhất aTb  X.
Ví dụ 1.4
1) Phép cộng thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập N các số tự nhiên, tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỉ và R các số thực.
2) Phép nhân thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập N các số tự nhiên...
3) Cho tập N* các số tự nhiên khác 0, ánh xạ.
* : N*  N*  N*
(a, b)  a * b = ab
Là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0.
4) Cho tập Z các số nuyên, phép trừ là một phép toán hai ngôi trên Z, vì ta có ánh xạ:
T : Z  Z  Z
(a,b)  a - b
Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên N, vì ta có 3 và 5  N nhưng 3-5  N.
5) Cho X là một tập và P(X) là các tập con của X. Các phép toán hợp, giao và hiệu của hai tập hợp đệu là những phép toán hai ngôi trên tập P(X). Cụ tể, A và B là hai tập con của X, A  B cũng là tập con của X, do đó nó thuộc P(X), tức là ta có ánh xạ.
 : P(X)  P (X)  P(X)
(A;B)  A  B
Tương tự, ta có các ánh xạ:
: P(X) x P(X)  P(X)
(A,B)  A  B
Và :P(X) x P(X)  P(X)
(A; B)  A B
6) Cho tập hợp X và Hom (X,X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến chính nó. Phép lấy hợp thành fg cũng là một ánh xạ từ X đến X. Nên ta có ánh xạ:
Hom(X,X)  Hom (X,X)  Hom (X,X)
(f;g)  fg
7) Cho tập X = {0,1,2} ta có phép toán hai ngôi xác định trên X như sau:
T: X  X  Y
(a; b)  r
Trong đó, r là phép dư của phép chia a + b cho 3
Tính chất thường gặp
Định nghĩa 1.3. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X.
Ta nói rằng phép toán T có tính chất giao hoán nếu và chỉ nếu với a, b thuộc X, aTb = bTa.
Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 7) trong ví dụ 1.4 là những phép toán có tính chất giao hoán.
Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 3), 4) không có tính chất giao hoán; ví dụ 6) không có tính chất giao hoán nếu tập X có nhiều hơn 1 phần tử.
Định nghĩa 1.4. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X.
Ta nói rằng phép toán T có tính chất kết hợp nếu và chỉ nếu với mọi a, b, c thuộc X, (aTb) Tc = aT(bTc)
Các phép toán trong các ví dụ 1), 2), 5), 6) và 7) đều có tính chất kết hợp.
Các phép toán trong các ví dụ 3),4) không có tính chất kết hợp.
Những phần tử đặc biệt.
Định nghĩa 1.5. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Phần tử e  X được gọi là phần tử trung lập đối với phép toán T nếu và chỉ nếu với mọi a thuộc X, eTa = aTe = a
Định lí 1.3. Nếu trong tập X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì phần tử trung lập đó là duy nhất.
Ví dụ 1.5.
1) Số 0 là phần tử trung lập đối với phép cộng thông thường các số tự nhiên (cũng như đối với phép cộng thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực).
2) Số 1 là phần tử trung lập đối với các phép nhân thông thường các số tự nhiên (cũng như đối với phép nhân thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực).
3) Tập rộng () là phần tử trung lập đối với phép lấy các tập hợp () trên tập P(X).
4. Tập X là phần tử trung lập đối với phép toán giao () trên tập P(X)
5. ánh xạ đồng nhất
idx: X  X
x  x
là phần tử trung lập đối với phép hợp thành các ánh xạ trên tập Hom(X,X)
Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và e là hai phần tử trung lập của X đối với phép toán T; a  X. Phần tử b  X được gọi là phần tử đối xứng của a đối với phép toán T nếu bTa =aTb = e.
(a) (b) [a,b  A  aTb  A]
Định lí 1.4. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T có tính chất kết hợp, có phần tử trung lập là e. Nếu b và b/ là hai phần tử đối xứng của a thì b’ = b.
1) Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có số 0 là có phần tử đối xứng là phần tử đối xứng của 0 là 0.
2) Một cách tổng quát: Nếu e  X là phần tử trung lập đối với phép toán T thì e là phần tử đối xứng của chính nó.
3) Đối với phép nhân các số nguyên, mỗi số nguyên a đều có phần tử đối xứng là -a  Z.
4) Đối với phép nhân các số nguyên chỉ có 1 và -1 là hai phần tử có đối xứng trong X (Đối xứng của - 1 là -1).
5) Đối với phép nhân các số hữu tỉ thì mỗi số hữu tỉ q  Q khác 0 đều có phần tử đối xứng của 1 là 1, đối xứng của -1 là -1.
5) Đối với phép nhân các số hữu tỉ thì mỗi số hữu tỉ q  Q khác 0 đều có phần tử đối xứng là
) Đối với phép nhân ánh xạ trong tập Hom (X,X) mỗi song ánh f: X X đều có phần tử đối xứng là f-1: X  X (ánh xạ ngược của f).
Chú ý: Trong thực tế, hai phép toán hai ngôi thường gặp hơn cả phép, cộng (+) và phép nhân ().
- Đối với phép cộng (+): Giả sử (+) là một phép toán hai ngôi trên tập X thì cái hợp thành a + b được gọi là tổng của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử không và kí hiệu là 0. Nếu phép cộng có tính chất kết hợp và phần tử a  X có phần tử đối xứng là b, khi đó b được xác định duy nhất, được gọi là phần tử đối của a và kí hiệu là -a.
- Đối với phép (): Giả sử  là một phép toán hai ngôi trên tập X, khi đó cái hợp thành a b (còn được viết là ab và a.b) được gọi là tích của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử đơn vị và kí hiệu là e (hoặc 1 nếu không có sự nhầm lẫn với các số). Nếu phép nhân có tính chất kết hợp và phần tử a  X có phần tử đối xứng là b, thì b được xác định duy nhất và được gọi là phần tử nghịch đảo của a, kí hiệu b = a-1.
Phép toán cảm sinh
Định nghĩa 1.7. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con khác rỗng của X, A được gọi là một tập con ổn định đối với phép toán T nếu với mọi A, b thuộc A, cái hợp thành aTb thuộc A. Tức là:
(a) (b) [a,b  A  aTb  A]
Ví dụ 1.7.
1) Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên với phép cộng.
2) Tập các số tự nhiên N là tập con ổn định của tập các số nguyên Z đối với phép cộng và đối với phép nhân. Nhưng nó không ổn định đối với phép trừ.
3) Tập các số nguyên mà bội của số nguyên m chi trước là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép cộng và đối với phép nhân.
4) Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định đối với phép nhân các số nguyên nhưng nó không ổn địn đối với phép cộng các số nguyên.
5) Tập S(X) các song ánh từ X đến X là tập con ổn định của Hom(X,X) đối với phép nhân ánh xạ.
Định nghĩa 1.8. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và A là một tập con ổn định đối với phép toán T của X.
Khi đó ánh xạ.
T: X  X  X
(a; b)  aTb
Cảm sinh ánh xạ
T’: A  A  A
(a; b)  aTb
Đó là một phép toán hai ngôi trên tập A và được gọi là phép toán cảm sinh của phép toán T trên tập hợp A.
Ví dụ 1.8:
1) Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh của phép cộng các số tự nhiên.
2) Phép cộng các số nguyên cảm sinh ra phép cộng các số nguyên mà lại bội của một số nguyên m cho trước.
3) Cho S(X) là tập các song ánh từ X đến X, phép hợp thành các song ánh trên tập S(X) là phép toán cảm sinh của phép hợp thành các ánh xạ trên Hom(X,X).
NỬA NHÓM VÀ NHÓM
Nửa nhóm
1.2.1.1. Định nghĩa
Ta gọi là nửa nhóm một tập khác rỗng X cùng với phép toán hai ngôi T trên X có tính chất kết hợp.
Nếu trong nửa nhóm X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì X được gọi là một vị nhóm.
Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nửa nhóm X được gọi là một nửa nhóm giao hoán.
Như vậy, một nửa nhóm là một cấu trúc đại số bao gồm một tập hợp trên đó có phép toán hai ngôi T thoả mãn tiên đề:
a ,b,c  X | (aTb)Tc = aT(bTc)
Để chỉ một nửa nhóm ta viết (X,T) trong đó X là tập nền của cấu trúc này, T là kí hiệu của phép toán hai ngôi. Trong nhiều trường hợp, nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết X thay cho (X,T).
Ví dụ 2.1
1) Tập các số tự nhiên N với phép cộng thông thường là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung lập là 0. Nó được gọi là vị nhóm cộng các số tự nhiên.
2) Vị nhóm cộng các số nguyên (Z,+) trong đó Z là tập các số nguyên, là phép cộng thông thường các số. Đó là một vị nhóm giao hoán.
3) Vị nhóm nhân các số tự nhiên (N,.)
4) Vị nhóm nhân các số nguyên (Z,.)
5 ) Hom (X, X) tập các ánh xạ từ tập X đến chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ là vị nhóm (Nếu X có nhiều hơn một phần tử thì vị nhóm này không giao hoán).
Nhận xét. Nếu (X, T) là một nửa nhóm thì với mọi a, b, c thuộc X ta có
(aTb)Tc = aT(b Tc) khi đó ta viết phần tử này aTbTc và gọi là “cái hợp thành” của phần tử a, b, c trong nửa nhóm (X, T). bằng quy nạp ta định nghĩa tổng (tích) của n phần tử (n≥3) của nửa nhóm cộng (X,+) (nửa nhóm nhân (X,.)) như sau:
Định nghĩa 2.1 Cho (X, +) là một nửa nhóm: a1, a2 ..., an là phần tử của X (n ≥3). Tổng của các phần tử a1, a2, ... an kí hiệu là a1 + a2 + an hoặc được địng nghĩa quy nạp theo n như sau:
a1 + a2 + ... + an = (a1 + a2 + ...+ an-1) + an.
Nửa nhóm con
Định nghĩa 2.3. Cho (X, T) là một nửa nhóm. A là một tập con khác rỗng của X và ổn định đối với phép toán T. Khi đó A cũng là một nửa nhóm và được gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.
Nếu X là một vị nhóm và A là một nửa nhóm con của X mà A chứa phần tử trung lập của X thì A cùng với phép toán T được gọi là vị nhóm con của vị nhóm X.
Ví dụ 2.2.
1) Cho X là một nửa nhóm (vị nhóm) bất kỳ, khi đó X là một nửa nhóm con (vị nhóm con) của chính nó.
2) Cho X là một vị nhóm với phần tử trung lập e, khi đó {e} là một vị nhóm con của X.
3) Tập A các số tự nhiên chẵn là một vị nhóm con của vị nhóm công các số tự nhiên N.
4) Tập B các số tự nhiên lẻ là một vị nhóm con của vị nhóm nhân các số tự nhiên N.
5) Cho m là một số tự nhiên. Tập mZ tất cả các số nguyên là bội số của m là một vị nhóm con của vị nhóm cộng các số nguyên.
Nhóm
1.2.2.1. Định nghĩa
Ta gọi là nhóm một tập X cùng với phép toán hai ngôi T thoả mãn các tiên đề sau đây:
(i) (X,T) là một nửa nhóm, tức là  a,b,c  X, (aTb) Tc = aT(bTc)
(ii) Trong X tồn tại phần tử trung lập e đối với phép toán T. Nghĩa là e  X sao cho eTa = aTe = a với mọi a  X.
(iii) Mọi phần tử x thuộc X đều có phần tử đối xứng, nghĩa là tồn tại x’  X sao cho x’Tx = xTx’ = e.
Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nhóm X được gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm Aben.
Nếu X là tập hữu hạn, có n phẩn tử thì X được gọi là một nhóm có cấp là n. Nếu X là một tập vô hạn thì x được gọi là một nhóm có cấp vô hạn
Nhận xét. Một nhóm X là một vị nhóm mà mọi phần tử thuộc X đều có đối xứng trong X.
Ví dụ 2.3
1) Tập các số nguyên Z với phép cộng là một nhóm Aben.
2) Tập các số hữu tỉ Q với phép cộng là mộtg nhóm Aben.
3) Tập Q* các số hữu tỉ khác 0, với phép nhân là một nhóm Aben.
4) Tập S (X) tất cả các song ánh từ X đến X là một nhóm với phép nhân ánh xạ.
Tính chất
Cho X là một nhóm với phép toán là phép nhân, khi đó ta có.
1) Vì một nhóm là một vị nhóm nên nó có đầy đủ các tính chất của một vị nhím mà chúng ta không cần phải nhắc lại.
2) a, b, c  X, ab = ac  b = c (Luật giản ước bên trái)
và
ba = ca  b = c (luật giản ước bên phải)
3) Với mọi a, b thuộc X, các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất trong X.
Định lí 2.3. Cho X là một nửa nhóm nhân. X là một nhóm khi và chỉ khi với mọi a, b thuộc X các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm trong X
Nhóm con
1.2.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.4. Cho X là một nhóm. A là một tập con của X ổn định với phép toán trong X. Nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm thì A được gọi là nhóm con của X.
Chú ý: Nếu e là phần tử trung lập của nhóm X và A là một nhóm con của X thì e  A và cùng là phần tử trung lập của A.
Định lý 2.4. Cho A là một tập con của nhóm nhân X. Khi đó ba tính chất sau tương đương với nhau:
(i) A là nhóm con của X.
(ii) Phần tử trung lập e  A, và với mọi a, b thuộc A, ta có ab  A và a-1  A.
(iii)Phần tử trung lập e  A, và với mọi a, b thuộc A, ta có ab-1  A
Ví dụ 2.4:
1) Nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm của nhóm cộng các số hữu tỉ Q.
2) Tập các số nguyên chẵn 2Z là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên.
Thật vậy, ta có 0 = 2.0  2Z. Giả sử a = 2k, b = 2l là hai số chẵn khi đó a - b = 2k - 2l = (k-l)  2Z. Vậy theo định lý 2.4, 2Z là một nhóm con của Z.
3) Tập các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên.
Đồng cấu
1.2.4.1. Định nghĩa
Cho X là một nhóm với phép toán T và Y là một nhóm với phép toán .f: X Y là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. f được gọi là một đồng cấu nhóm, nếu và chỉ nếu với mọi a,b thuộc X ta có:
F(aTb) = f(a)  f(b)
- Nếu X = Y thì đồng cấu f: X  X được gọi là một tự đồng cấu của nhóm X.
- Nếu f là một đơn ánh thì đồng cấu f được gọi là một đơn cấu.
- Nếu f là một toàn ánh thì đồng cấu f được gọi là một toàn cấu.
- Nếu f là một song ánh thì đồng cấu f được gọi là một đẳng cấu.
- Nếu có một ánh xạ đẳng cấu f từ nhóm X đến nhóm Y thì ta nói rằng hai nhóm X và Y đẳng cấu với nhau và ký hiệu là X Y.
Đối với nửa nhóm ta có định nghĩa tương tự.
Ví dụ 2.5:
1) Cho X là một nhóm khi đó ánh xạ đồng nhất idX: X X là một tự đẳng cấu của nhóm X.
2) Cho X và Y là hai nhóm bất kỳ, eY là phần tử trung lập của nhóm Y. Khi đó ánh xạ
: X Y
x eY
là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Nói chung  không là đơn cấu cũng không là toàn cấu.
Tính chất
Định lý 2.5. Cho f: X  Y là một đồng cấu từ nhóm nhân X vào nhóm nhân Y, ex, ey theo thứ tự là đơn vị của nhóm X và nhóm Y. Khi đó ta có:
1) f(ex) = ey
2) với mọi a  X, f(a-) = [f(a)]-1
3)
Định lý 2.6. Cho f: X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. A là một nhóm con của X, B là một nhóm con của Y. Khi đó f(A) là một nhóm con của Y và f-1(A) là một nhóm con c ủa Y và f-1 (B) là một nhóm của X.
. Nửa nhóm sắp thứ tự
Định nghĩa 2.7. Cho X là một nửa nhóm giao hoán với phép toán T. Nếu trên X có một quan hệ thứ tự toàn phần ≤ tương thích với phép toán T, nghĩa là với mọi a, b, c thuộc X, quan hệ a ≤b kéo theo aTc ≤ bTc, thì X được gọi là một nửa nhóm sắp thứ tự.
. Tính chất
Định lý 2.9. Cho (X, ≤) là một nửa nhóm cộng sắp thứ tự. Khi đó với mọi a,b,c thuộc X ta có: a ≤ b và c ≤ d kéo theo a + c ≤ b + d.
Định nghĩa
Cho X là một vị nhóm sắp thứ tự với phần tử không là 0. X được gọi là một vị nhóm sắp thứ tự Acsimet nếu với mọi a, b thuộc X, a > 0, tồn tại n  N sao cho na > b.
Bằng cách tương tự ta định nghĩa nhóm sắp thứ tự Acsimet.
Ví dụ 2.7:
- Vị nhóm cộng các số tự nhiên N là một vị nhóm sắp thứ tự Acsimet.
- Nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm sắp thứ tự Acsimet.
VÀNH VÀ TRƯỜNG
1.3.1. Định nghĩa vành và trường
1.3.1.1. Định nghĩa
Ta gọi vành là một tập hợp X cùng với hai phép toán cộng và nhân thoả mãn các tiên đề sau:
1) (X, +) là một nhóm Aben.
2) (X, .) là một nửa nhóm.
3) Có luật phân phối hai bên của phép nhân đối với phép cộng, nghĩa là với mọi a,b, c  X ta có: a(b + c) = ab + ac; (b + c) a = ba + ca
- Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán.
- Nếu trong X có phần tử trung lập đối với phép nhân thì X được gọi là vành có đơn vị
Ví dụ 3.1.
1) Tập các số nguyên X cùng với phép cộng và nhân thông thường là một vành giao hoán, có đơn vị.
2) Tập các số hữu tỉ Q cùng với phép cộng và nhân thông thường là một vành giao hoán, có đơn vị.
3) Tập các số thực R với phép cộng và nhân thông thường là một vành giao hoán, có đơn vị.
Tính chất
Cho X là một vành. Theo định nghĩa (X, +) là một nhóm Aben nên có đầy đủ các tính chất của một nhóm cộng giao hoán. Cụ thể là:
1) Phần tử không của nhóm X là duy nhất. Ta kí hiệu nó là 0 và cũng gọi là phần tử không của vành X.
2) Mỗi phần tử a thuộc X có một phần tử đối duy nhất là - a.
3) Với mọi a, b thuộc X, phương trình x + a = b (và a + y = b) có nghiệm duy nhất là b - a.
4) Với mọi a  X, a0 = 0a = a
Thật vậy, với x  X ta có x + 0 = x nên a (x+0) = ax
Suy ra: ax + a0 = ax, vậy a0 = 0. Tương tự ta có 0a = 0.
5) Với mọi a, b, c thuộc ta có a(b-c) = ab - ac
Thật vậy, vì (b-c) + c = b nên a[(b-c) + c] = ab
 a(b-c) + ac = ba
 a(b-c) = ab - ac
Tương tự ta cũng có: (b-c) a = ba - ca
6) Với mọi a,b thuộc X ta có:
(-a) b = a (-b) = - ab; (-a)O (-b) = ab
Tương tự:
a(-b) = -ab; (-a)(Ik,-b) = - [a(-b)] = - (-ab) = ab
Định nghĩa 3.1 . Cho X là một vành giao hoán, phần tử a  X được gọi là ước của 0 nếu a ≠ 0 và tồn tại b  X, b ≠ 0 sao cho ab = 0.
Định lý 3.1. Cho X là một vành giao hoán. Các khẳng định sau đây tương đương với nhau:
(i) a, b  X, ab = 0  a = 0 hoặc b = 0
(ii) X không có ước của 0
(iii) a,b,c  X (a ≠ 0 và ab = ac)  b = c.
1.3.1.3. Miền nguyên
Định nghĩa 3.2. Một vành giao hoán, có đơn vị khác 0 và thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương trong định luý 3.1. được gọi là một miền nguyên.
Ví đụ 3.2.
1) Vành số nguyên Z là một miền nguyên.
2) Vành X trong ví dụ 3.1. không phải là miền nguyên.
1.3.1.4. Trường
Định nghĩa 3.3. Một vành giao hoán, có đơn vị khác 0 và trong đó mọi phần tử khác không đều có nghịch đảo được gọi là một trường.
Nhận xét. Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị khác 0. X là một trường khi và chỉ khi tập X*, các phần tử khác 0 của X, lập thành một nhóm Aben với phép nhân. Nhóm này được gọi là nhóm nhân các phần tử khác không của trường X.
Định lý 3.2. Mọi trường đều là miền nguyên
Chứng minh:
Giả sử X là một trường. Khi đó nó là một vành giao hoán, có đơn vị khác 0. Giả sử a, b, c thuộc X mà a ≠ 0 và ab = ac  a-1 (ac)  (a-1a)c  b = c.
Vậy X là một miền nguyên.
1.3.2. Vành con và trường con
1.3.2.1. Định nghĩa
Cho vành X (trường X) và A là một tập con ổn định đối với phép cộng và nhân trong X. Nếu A cùng với các phép toán cảm sinh là một vành (trường) thì A được gọi là một vành con (trường con) của X.
Định lý 3.3. Cho A là một tập con khác rỗng của vành X.
A là vành con của X khi và chỉ khi với mọi a, b thuộc A ta có a - b thuộc A và ab  A.
Định lí 3.4. Cho A là một tập con của trường Xi măng A chứa nhiều hơn một phần tử. A là một trường con của X khi và chỉ khi nó thoả mãn các điều kiện sau:
(i) với mọi a, b thuộc A ta có a - b  A.
(ii) với mọi a,b thuộc A, b ≠ 0 ta có ab-1  A.
Việc chứng minh định lý 3.3 và 3.4 xin giành cho độc giả.
Ví dụ 3.4.
1) Vành số nguyên X là một vành con của vành số hữu tỉ Q.
2) Tập mZ = {mk   Z}, m là một vành nguyên cho trước, là một vành con của vành số nguyên Z.
3) Trường số hữu tỉ Q là một trường con của trường số thực R.
4) Tập Q () = {a+b  a, b  Q} là một trường con của trường số thực R.
1.3.4. Vành, trường sắp thứ tự
1.3.4.1. Định nghĩa
Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị. Nếu trên X có một quan hệ thứ tự toàn phần ≤ sao cho:
(i) Với mọi a,b,c thuộc X, a ≤ b kéo theo a + c ≤ b + c;
(ii) với mọi a,b,c thuộc X, nếu a Thì ta gọi X là vành sắp thứ tự.
Cho (X,+,., ≤) là một vành sắp thứ tự. Nếu x ≥ 0 và x ≠ 0 thì ta nói x >0
Đặt P = {x  X  x > 0}. P được gọi là tập các phần tử dương của X.
- P = {x  X  - x  P}. -P được gọi là tập các phần tử âm của X.
Khi đó, ta có các tính chất sau:
1) Nếu a,b thuộc P thì a + b  P.
2) x  X, x  P  - x  P
3) P  {0}  (-P) = X, P  (-P) = .
Định nghĩa 3.4. Vành X được gọi là một vành sắp thứ tự Acsimet nếu với mọi a, b thuộc X,k a > 0, tồn tại số tự nhiên n sao cho na > b.
Đối với trường ta có định nghĩa tương tự.
Ví dụ 3.6.
10) Vành số nguyên X là một vành thứ tự Acsimet.
Thật vậy. Trên Z ta định nghĩa quan hệ ≤ như sau: Với mọi a, b thuộc Z, a ≤ b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên không âm c sao cho a + c = b. Rõ ràng ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên Z. Mặt khác, với mọi a,b,c  Z ta có:
i) a ≤ b suy ra tồn tại d không âm sao cho a + d = b , cộng cả hai vế với c ta được:
a + d + c = b + c hay (a + c) + d = b + c. Vậy a + c ≤ b +c
ii) Giả sử 0 ≤ c và a ≤ b, suy ra a + d = b với d là số không âm. Nhân cả hai vế với c ta được ac + dc + bc. Vì c và d đều là hai số không âm nên dc cũng không âm. Vậy ac ≤ bc.
Vậy X, với quan hệ ≤ là một vành sắp thứ tự.
Bây giờ ta chứng minh vành số nguyên Z là một vành sắp thứ tự Acsimet.
Thật vậy, giả sử a,b thuộc X, 0 < a
+ Nếu b ≤ 0 thì ta có b < a = 1.a. Trong trường hợp này n = 1
+ Nếu 0 < b thì ta có b + 1 > b và do đó b <(b + 1)a. Trong trường hợp này n = b + 1.
CHƯƠNG II. SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1. BẢN SỐ VÀ SỐ TỰ NHIÊN
1. Bản số
Bản số là một khái niệm đặc trưng về số lượng cho lớp các tập hợp đẳng lực.
Mỗi tập hợp A đều có một bản số, ký hiệu là card A hay |A| , sao cho:
Card A = card B  A  B
2. Số tự nhiên
Bản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên. Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là N.
Vậy:
a  N  A, A hữu hạn sao cho a = card A.
3. Ví dụ:
a) Ta biết  là một tập hợp hữu hạn. Vậy card  N. Kí hiệu 0 = card .
b) tập hợp đơn tử {x} là một tập hữu hạn. Vậy card {x}  N.
kí hiệu 1 = card {x}.
II. QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
Trên tập hợp N các số tự nhiên ta xác định một quan hệ ≤ như sau:
1. Định nghĩa
Giả sử a, b  N, a = card A, b = card B.
Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, và viết là a ≤ b, nếu A tương đương với một bộ phận nào của B.
Nếu a ≤ b và a ≠ b thì ta viết là a < b và đọc là a nhỏ hơn b.
2. Chú ý
a. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A, B mà chỉ phụ thuộc vào a = card A và b = card B.
Thật vậy, giả sử A’, B’ là hai tập hợp hữu hạn sao cho cũng có a = card A’, b = card B’. Khi đó A  A’ , B  B’ do đó tồn tại của song ánh f : A’  A và g: B --> B’. Nếu A tương đương với một bộ phận của B thì tồn tại đơn ánh h: A  B.
Ta có sơ đồ sau:
Ảnh xạ tích g0(h0f) là một đơn ánh từ A’ đến B’, nghĩa là ta cũng có A’ tương đương với một bộ phận của B’.
b. Theo định nghĩa, nếu a ≤ b thì A tương đương với một bộ phận A1  B. Nhưng khi đó ta cũng có a = card A’. Vì vậy có thể phát biểu lại định nghĩa quan hệ ≤ như sau: với a, b  N, a ≤ b khi và chỉ khi tồn tại các tập hữu hạn A, B sao cho A  B và a = card A, b = card B.
3. Ví dụ: Ta biết  là tập con của mọi tập hợp, vì vậy 0 = card  nhỏ hơn số tự nhiên a  N, a ≠ 0.
4. Định lý
Quan hệ ≤ xác định trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong tập hợp số tự nhiên N.
Mặt khác, với mọi cặp số tự nhiên a, b, a - card A, b = card B, theo định lý Căngto giữa hai tập hợp A và B ta luôn có hoặc A tương đương với một bộ phận của B, hoặc B tương ương với một bộ phận của A. Nghĩa là, ta luôn cló hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a. Vậy quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự quan hệ thứ tự toàn phần trong N.
III. SỐ TỰ NHIÊN LIỀN SAU
1. Định nghĩa
Giả sử a, b  N, ta nói b là số liền sau a nếu tồn tại các tập hợp hữu hạn A, B sao cho a = card A, b = card B và A  B, BA là một tập hợp đơn tử (hay card (BA) = 1). Thì a là số liền sau của b
Kí hiệu: Số liền sau a kí hiệu là a’.
Khi b là một số liền sau a, ta cũng nói là a là số liền trước b.
Chú ý: Khi b là số liền sau a, theo định nghĩa, trước hết ta phải có a < b
Ví dụ: 1 là số liền sau 0. Thật vậy, ta có 0 = card , 1 = card {x} và   {x} ,
{x}  = {x} là tập đơn tử.
2. Các tính chất
1. Tính chất 1
Mọi số tự nhiên đều có một số liền sau duy nhất.
2. Tính chất 2.
Số 0 không là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào. Mọi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên duy nhất.
3. Tính chất 3.
Với a, b  N, nếu a < b thì a’≤ b
4. Hệ quả
Giữa số tự nhiên a và số liền sau a’ của nó không tồn tại số tự nhiên nào khác
IV. DÃY SỐ TỰ NHIÊN
Với khái niệm số liền sau và các tính chất đã trình bày trên, ta có thể hình dung được toàn bộ tập hợp số tự nhiên N.
Trước hết 0 = card  là một số tự nhiên và số 0 không đứng liền sau số nào. Số 1 = card {x} là số liền sau duy nhất của số 0 và giữa 0 và 1 không có số tự nhiên nào ≠. Kí hiệu: 2 = 1/ ; 3 = 2/ .... thì tập hợp số tự nhiên N được viết thành một dãy số như sau:
V. LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
1. Định lý
Tập hợp số tự nhiên N là một tập hợp vô hạn
2. Định nghĩa
a. Lực lượng của tập hợp số tự nhiên N gọi là vô hạn đếm được.
b. Một lực lượng hữu hạn hay vô hạn đều được gọi chung là lực lượng đếm được.
VI. TÍNH CHẤT LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1. Tính chất tương thích của thứ tự và phép cộng.
Với mọi số tự nhiên a, b , c ta có:
a) Nếu a < b thì a + c < b + c
b) Nếu a + c < b + c thì a < b
2. Tính chất tương thích của thứ tự và phép nhân
Với mọi số tự nhiên a, b, c , c ≠ 0 ta có:
a) Nếu a < b thì ac < bc
b) Nếu ac < bc thì a < b
VII. PHÉP TRỪ
1. Định lý
Với mọi số tự nhiên a, b nếu a ≤ b thì tồn tại duy nhất số tự nhiên c sao cho a + c = b
2. Định nghĩa
Số tự nhiên c thoả mãn đẳng thức a + c = b được gọi là hiệu của b và a và kí hiệu là:
c = b - a (Đọc là b trừ a)
Quy tắc tìm hiệu b - a gọi là phép trừ.
Định lý trên cho thấy phép trừ b - a thực hiện được khi và chỉ khi a ≤ b
3. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ
Với mọi số tự nhiên a, b, c mà c ≤ b, ta có
a) a (b - c) = ab - ac
b) (b - c) a = ba - ca
BÀI 2. LÝ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN.
1. Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên a, b, b ≠ 0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b.
Theo Luật giản ước của phép nhân, số q (nếu có), được xác định duy nhất và được gọi là thương của a và b. Ta kí hiệu là:
q = a : b hay q =
Quy tắc tìm thương của hai số gọi là phép chia.

2. Tính chất
Từ định nghĩa ta suy ra ngay các tính chất sau:
a) Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0.
b) Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1.
c) Nếu a1, a2 ... an là những số tự nhiên chia hết cho b, x1, x2..., xn là những số tự nhiên tuỳ ý, thì a1 x1 + a2x2 + ... + anxn cũng chia hết cho b.
IX. PHÉP CHIA CÓ DƯ
Cho hai số tự nhiên a, b bất kỳ nói chung không nhất thiết có a chia hết cho b hoặc b chia hết cho a. Tuy nhiên, ta có định lý sau:
1. Định lý
Với mọi cặp số tự nhiên a, b, b ≠ 0 bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q và r sao cho:
a = bq + r a ≤ r < b
2. Định nghĩa
Số q và r thoả mãn đẳng thức:
a = bq + r, 0 ≤ r < b
Được gọi tương ứng là thương (hai thương hụt) và dư trong phép chia của a cho b.
Việc tìm q và r gọi là thực hiện phép chia có dư của a cho b.
Chú ý:
Khi r = 0 thì phép chia có dư trở thành phép chia hết. Như vậy, phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.
BÀI 3. HỆ THỐNG GHI SỐ
I. HỆ GHI SỐ g - PHÂN
1. Hệ ghi số thập phân
Người Hindu Ấn độ, vào đầu thế kỷ IX đã dùng một hệ thống ghi số gồm 10 kí hiệu ( sau này ta gọi là 10 chữ số) như sau:
Các số được ghi từ 10 kí hiệu trên theo cơ số 10: Các số được ghi thành hàng, kể từ phải sang trái, hàng sau có giá trị bằng 10 lần hàng trước nó.
Cách ghi số trên tỏ ra ưu việt hơn hẳn cách ghi số trước nó. Vì vậy nó được truyền qua Ảrập, sang châu Âu và dần dần được cả thế giới thừa nhận. Qua nhiều thế kỷ, các chữ số cũng dần dần thay đổi. Cuối cùng có hình sáng như ngày nay.
2. Hệ ghi số g- phân
Trước hết, ta hãy xem một số tự nhiên được ghi trong hệ thập phân như thế nào. Lấy số 7345 làm ví dụ, ta có:
7345 = 7000 + 300 + 40 + 5
= 7.100 + 3.100 + 4.10 + 5
= 7.103 + 3.102 + 4.10 + 5 + 100
Thực tế, cách ghi số đó dựa trên kết quả sau: Mọi số tự nhiên a > 0 đều viết duy nhất được dưới hạng.
a = Cn10n + Cn-1 10n - 1 + ... + C1. 10 + C0 . 100
Trong đó: 0 ≤ C ≤ 9 , Cn ≠ 0. Khi đó ta viết:
a = Cn Cn-1 ... C1C0
và nói đó là ghi số a trong hệ thập phân.
Về nguyên tắc, ta có thể thay 10 bởi một số g > 1 tuỳ ý. Ta có định lý sau:
a) Định lý
Giả sử g là một số tự nhiên lớn hơn 1. Khi đó mỗi số tự nhiên a > 0 đều biểu diễn một cấch duy nhất được dưới dạng:
a = Cn gn + Cn-1gn-1 + ... + C1g + C0g0
Ở đây 0 ≤ Ci ≤ g - 1, i = 0 , 1, ... n và Cn ≠ 0
b) Định nghĩa
Nếu số tự nhiên a > 0 biểu diễn được dưới dạng:
a = Cn gn + Cn-1gn-1 + ... C1g + C0
với 0 ≤ C1 ≤ g - 1, i = 0, 1, ..., n, Cn ≠ 0, thì ta viết:
a = và ta nói đó là sự biểu diễn của a trong hệ g-phân.
Vì 0 ≤ Ci ≤ g - 1 nên để biểu diễn các số tự nhiên trong hệ g-phân ta cần dùng g kí hiệu, gọi là các chữ số. Do đã quá quen với hệ thập phân, nên nếu g ≤ 10 thì các chữ số trong hệ g phân được lâý từ các chữ số tương ứng trong hệ thập phân, còn nếu g > 10 thì ngoài các chữ số trong hệ thập phân ta phải đặt thêm các chữ số mới.
III. SO SÁNH CÁC SỐ TRONG HỆ G-PHÂN
Việc viết các số tự nhiên trong hệ g-phân có một ưu thế lớn là ta dễ dàng so sánh các số và thực hiện các phép tính trên chúng. Việc so sánh các số tự nhiên trong hệ g-phân dựa trên bổ đề sau.
2. So sánh hai số tự nhiên
IV. THỰC HÀNH CÁC PHÉP TÌNH TRONG HỆ G-PHÂN
1. Phép cộng
a) Bảng cộng
Bảng cộng các số nhỏ hơn g (cộng các chữ số) được lập thông qua bảng cộng trong hệ thập phân.
b) Cộng các số lớn hơn g
2. Phép trừ
Bằng các số nhỏ hơn g (trừ các chữ số với nhau) được suy ra bằng cộng, vì phép trừ là phép tính ngược của phép cộng
3. Phép nhân
a) Bảng nhân
Đối với phép nhân các số nhỏ hơn g, người ta tính sẵn (dựa vào phép nhân trong hệ thập phân) và lập thành bảng nhân.
b) Nhân một số với luỹ thừa của cơ số
c) Nhân một số với số có một chữ số
d) Nhân hai số bất kỳ
4. Phép chia
Cho hai số tự nhiên a, b, b ≠ 0, ta biết bao giờ cũng tồn tại hai số tự nhiên q, r duy nhất sao cho:
a = bq + r , 0 ≤ r < b
Việc tìm q và r là thực hiện phép chia có dư của a cho b. Nếu trong phép chia, số dư r tìm được bằng 0 thìn phép chia đó là phép chia hết.
Việc thực hiện phép chia có dư của a cho b đòi hỏi phải biết làm thành thạo phép nhân.
Trước hết, chú ý rằng nếu a < b thì có ngay q = 0o, r = a.
Vì vậy, ta chỉ xét trường hợp b ≤ a. Có hai khả năng:
a) b ≤ a < bg khi đó thương q là số có một chữ số. Nhờ thành thạo phép nhân ta có thể tính nhẩm được q ( 1 ≤ q < g)
Và do đó tìm được cả r.
b) a ≥ bg. Khi đó thương q là số có từ hai chữ số trở lên. Phép chia trong trường hợp này sẽ được đưa về trường hợp trên.
V. HỆ NHỊ PHÂN
Trong hệ nhị phân (g=2) chỉ có hai chữ số là 0, 1: Bảng cộng và nhân trong hệ nhị phân khá đơn giản.
1. Phép cộng
+ Nếu một trong hai chữ số 0 thì ta giữ nguyên chữ số kia
+ Nếu cả hai chữ số là 1 ta viết 0 nhớ 1
2. Phép nhân
+ Nếu một trong hai chữ số là 0 thì ta viết 0.
+ Nếu hai chữ số đều là 1 ta viết 1.
VI. ĐỔI CƠ SỐ
Trên thực tế, nhiều khi ta cần chuyển một số từ hệ ghi cơ số này sang hệ ghi cơ số khác. Chẳng hạn, ta quen với các số ghi trong hệ thập phân, còn máy tính làm việc với các số ghi trong hệ nhị phân. Các số liệu đưa vào máy ghi trong hệ thập phân, máy tính cần biết đổi chúng sang hệ nhị phân, thực hiện các phép tính, rồi lại đổi kết qảu nhận được từ hệ nhị phân ra hệ thập phân. Bài toán tổng quát là: cho số tự nhiên a ghi trong hệ g-phân.
1. Cách thứ nhất
Ta biết muốn ghi số a trong hệ g1- phân, ta chia liên tiếp a và các thương cho g1 (bài 6, II, 2). Vấn đề ở đây là a đã cho trong hệ g-phân, vậy ta cần viết g1 trong hệ g-phân và phép chia thực hiện trong hệ g-phân. Cách này đòi hỏi ta phải thành thạo các phép tính trong hệ g-phân.
2. Cách thứ hai
Ta chuyển a và g1 sang hệ thập phân và thực hiện các phép chia trong hệ thập phân. Vì vậy khi ghi một số trong hệ g-phân ta vẫn dùng các chữ số của hệ thập phân (trừ trường hợp g>10 ta phải bổ sung thêm chữ số), nên việc đổi một số sang hệ thập phân khá dễ dàng. Đồng thời thực hiện các phép tính trong hệ thập phân là v iệc làm quen thuộc và dễ dàng, nên nói chung ta sẽ sử dụng cách thứ hai.
I. Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ không âm
Như chúng ta đã biết, tổng và tích của hai số tự nhiên bất kỳ là một số tự nhiên. Trong khi đó, thương của hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng là một số tự nhiên. Chẳng hạn: 4: 5 hoặc 17:9...
Trong thực tế, tập số tự nhiên không đủ đề biểu diễn số đo của nhiều đại lượng. Chẳng hạn, khi chia đều 5 quả cam cho 4 người thì số quả cam mỗi người được chia không thể biểu diễn bằng một số tự nhiên hoặc khi đo chiều dài của lớp học được 6m2dm5cm thì dùng đơn vị là mét không thể biểu diễn số đo bằng một số tự nhiên...
Về phương diện toán học, nhiều tính chất của phép cộng, trừ, nhân, chia trên phân số và số thập phân được đưa vào chương trình môn Toán ở trường phổ thông hầu hết là công nhận ché chưa được chứng minh chặt chẽ.
Trong chương trình này, ta nghiên cứu được phương pháp mở rộng tập hợp số tự nhiên cùng với các phép toán và quan hệ thứ tự giữa chúng để khắc phục những hạn chế nêu trên đây.
II. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm
Cho N là tập số tự nhiên và N* = N - {0}
Mỗi cặp sắp thứ tự (a;b)N x N*, trong đó a  N và b N* ta gọi là một phân số. Tập tất cả các phân số như thế ta ký hiệu là P. Như vậy P = N  N*
Ta sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ phân số (a;b), trong đó a gọi là tử số, b gọi là mẫu số. Như vậy:
CHƯƠNG III.
TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC
BÀI 1. TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM
II. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm
Cho N là tập số tự nhiên và N* = N - {0}
Mỗi cặp sắp thứ tự (a;b), trong đó a  N và b  N* ta gọi là một phân số. Tập tất cả các phân số ta ký hiệu là P. Như vậy P = N  N*
Ta sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ phân số (a:b), trong đó a gọi là tử số, b gọi là mẫu số. Như vậy:

Trên P định nghĩa quan hệ hai ngôi “ ~ ” như sau:
khi và chỉ khi ad = bc.
Ta dễ dàng chỉ ra rằng quan hệ “~” là quan hệ tương được trên P. Áp dụng định lý về phép chia lớp theo quan hệ tương đương thương P/~, ký hiệu là Q+. Mỗi phần tử của Q+ ta gọi là một số hữu tỉ không âm. Tập Q+ gọi là tập các hữu tỉ không âm.
Chú ý:
1) Khái niệm phân số hình thành trên dây đồng nhất với khái niệm phân số hình thành trong trường phổ thông.
2) Rõ ràng là quan hệ tương đương “~” đồng nhất với quan hệ bằng nhau giữa các phân số (được xây dựng ở phổ thông) nhưng không đồng nhất với quan hệ bằng nhau giữa các cặp thứ tự.
III. Các phép toán trong Q+
1. Định nghĩa
Cho r và r’ là hai số hữu tỉ không âm có các phân số đại diện và tương ứng. Ta gọi:
- Tổng của hai số hữu tỉ không âm r và r/ là số hữu tỉ không âm s, ký hiệu là r + r’ = s (hay r.r’ hay rr’) = p trong đó p là số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là . Phép cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ không âm (r, r’) với số hữu tỉ không âm gọi là phép nhân các số hữu tỉ không âm.
2. Tính chất của phép cộng và phép nhân.
Định lý 3.1. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau:
(i) Tính chất giao hoán:
r + r’ = r’ + r và rr’ = r’r với mọi r, r’  Q+
(ii) Phần tử trung lập.
Tồn tại duy nhất phần tử 0  Q+ sao cho r + 0 = 0
Tồi tại duy nhất phần tử 1  Q+, sao cho r.1 = r với mọi r  Q+. Ta gọi 0 là phần tử trung hoà (đối với phép cộng) và 1 là phần tử đơn vị (đối với phép nhân).
iii) Phần tử nghịch đảo.
Với mọi r  Q+, r ≠ 0 tồn tại phần tử r -1  Q+, sao cho r.r-1 = 1
Ta gọi r – 1 là phần tử nghịch đảo của r. Đôi khi ta viết thay cho r-1
(4i) Tính chất phân phối giữa các phép nhân đối với phép cộng:
r(r’ + r’’) = rr’ + rr’’ với mọi r,r’ và r’’  Q+
(vi) Tập N ổn định với phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm
Hệ quả:
1) Tập số hữu tỉ không âm Q+ cùng với phép cộng là vị nhóm Aben, trong đó tập các số tự nhiên là vị nhóm con của nó.
2) Tập số hữu tỉ không âm khác không Q+ cùng với phép nhân là nhóm Aben, trong đó tập các số tự nhiên khác không N* là vị nhóm con của nó.
Định lý 3.2. (Về phép chia số hữu tỉ không âm):
Với mỗi cặp só hữu tỉ không âm r,s  Q+, r ≠ 0 tồn tại duy nhất số hữu tỉ không âm x sao cho rx = s.
Ta sẽ gọi x là thương của phép chia s cho r, ký hiệu là x = s : r hay , trong đó s là số bị chia, r là số chia.
Nhận xét. Từ định nghĩa ta dễ dàng chứng minh được rằng:
1) t = r - s khi và chỉ khi r = s +t
2) t(r-s) = tr - ts (nếu mộ