CÁC TẬP HỢP ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ

CHƯƠNG 3


CÁC TẬP HỢP ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ
NỘI DUNG
Tập ổn định trong
Tập ổn định ngoài
Nhân của đồ thị

3.1. TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
Định nghĩa 3.1
Giả sử G = (V, F) là một đồ thị.
Tập B  V được gọi là tập ổn định trong của đồ thị
G nếu:  x  B : B  F(x) = .





VÍ DỤ 3.1
Bài toán tám quân hậu
Hãy đặt 8 quân hậu vào các ô của một bàn cờ vua sao cho chúng không ăn được lẫn nhau.

VÍ DỤ 3.1 (tiếp)
Xây dựng đồ thị vô hướng biểu diễn bàn cờ vua:
- 64 ô của bàn cờ là 64 đỉnh,
- Hai đỉnh x và y có cạnh nối với nhau nếu đặt hai quân hậu vào hai ô đó, chúng có thể ăn lẫn nhau.
Các ô cần tìm để đặt các quân hậu chính là một tập ổn định trong gồm 8 đỉnh.

VÍ DỤ 3.1 (tiếp)
Bài toán trên có 92 nghiệm suy ra từ 12 tập ổn định trong khác nhau là:
{A7,B2,C6,D3,E1,F4,G8,H5} {A6,B1,C5,D2,E8,F3,G7,H4}
{A5,B8,C4,D1,E7,F2,G6,H3} {A3,B5,C8,D4,E1,F7,G2,H6}
{A4,B6,C1,D5,E2,F8,G3,H7} {A5,B7,C2,D6,E3,F1,G4,H8}
{A1,B6,C8,D3,E7,F4,G2,H5} {A5,B7,C2,D6,E3,F1,G8,H4}
{A4,B8,C1,D5,E7,F2,G6,H3} {A5,B1,C4,D6,E8,F2,G7,H3}
{A4,B2,C7,D5,E1,F8,G6,H3} {A3,B5,C2,D8,E1,F7,G4, H6}

VÍ DỤ 3.2
Bài toán về dung lượng thông tin (C.E. Shannon)
Giả sử một máy phát có thể truyền đi 5 tín hiệu: a, b, c, d, e. ở máy thu mỗi tín hiệu có thể cho hai cách hiểu khác nhau như sau:
a  p, q ; b  q, r ; c  r, s ; d  s, t ; e  t, p
Hỏi số các tín hiệu nhiều nhất có thể sử dụng để máy thu không bị nhầm lẫn là bao nhiêu?
VÍ DỤ 3.2 (tiếp)
Xây dựng một đồ thị vô hướng gồm 5 đỉnh a, b, c, d, e. Hai đỉnh là kề nhau nếu chúng biểu thị hai tín hiệu có thể bị nhầm lẫn nhau ở máy thu.





Hình 3.1. Sự nhầm lẫn của các tín hiệu và đồ thị biểu diễn
VÍ DỤ 3.2 (tiếp)
Tập các tín hiệu cần chọn là một trong các tập ổn định trong dưới đây:
{a, c}
{a, d}
{b, d}
{b, e}
{c, e}.

TẬP ỔN ĐỊNH TRONG CỰC ĐẠI
Tập con các đỉnh B được gọi là tập ổn định trong cực đại nếu thêm vào bất kỳ đỉnh nào cũng làm mất tính ổn định trong của nó.

Tập B được gọi là tập ổn định trong lớn nhất nếu B là tập ổn định trong có nhiều phần tử nhất.
Lực lượng của tập ổn định trong lớn nhất được gọi là số ổn định trong của đồ thị đó.
Ta thường ký hiệu số ổn định trong của đồ thị là u.
TẬP ỔN ĐỊNH TRONG CỰC ĐẠI (tiếp)

Chú ý: Tập ổn định trong lớn nhất là tập ổn định trong cực đại, nhưng ngược lại thì không đúng.
VÍ DỤ 3.3
Các tập {a, b} và {c, d, e} đều là ổn định trong cực đại








Hình 3.2. Đồ thị có tập ổn định trong cực đại
nhưng không lớn nhất

SỐ ỔN ĐỊNH TRONG
Định lý 3.1
Đồ thị G có n đỉnh, bậc lớn nhất của các đỉnh là r.
Khi đó, số ổn định trong u của đồ thị thỏa mãn:
SỐ ỔN ĐỊNH TRONG (tiếp)
Chứng minh định lý
Giả sử B là tập ổn định trong lớn nhất với u phần tử. Với mỗi đỉnh y  B có ít nhất một đỉnh của B kề với y. Vì nếu ngược lại thì có thể bổ sung y vào B.
Suy ra, số cạnh đi ra khỏi B (không kể hướng) 
V B  = n - u.
Mặt khác, số cạnh đó  r.u. Vậy r.u  n-u.
Từ đó suy ra: 


TÌM TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
LỚN NHẤT
Thuật toán 3.1
1. Chọn một đỉnh nào đó của đồ thị.
2. Bổ sung dần các đỉnh để được một tập ổn định trong cực đại.
3. Nếu ta tìm được một tập ổn định trong có u đỉnh mà mọi tập con u+1 đỉnh đều không là tập ổn định trong, thì kết luận tập tìm được là tập ổn định trong lớn nhất và u chính là số ổn định trong của đồ thị này.
3.2. TẬP ỔN ĐỊNH NGOÀI
Định nghĩa 3.2: Giả sử G = (V, F) là một đồ thị. Tập C  V được gọi là tập ổn định ngoài của đồ thị G nếu:  x  C : C  F(x)  .

Hay nói một cách khác:  x  C ,  y  C : y  F(x).


VÍ DỤ 3.4
Hãy đặt 5 quân hậu lên các ô của một bàn cờ vua sao cho chúng kiểm soát được toàn bộ bàn cờ.

Biểu diễn đồ thị cho bàn cờ vua như ở Ví dụ 3.2.
Khi đó, các ô cần tìm chính là một tập ổn định ngoài gồm 5 đỉnh.
Một tập nghiệm của bài toán là:
{C6 , D3 , E5 , F7 , G4}.


3.2. TẬP ỔN ĐỊNH NGOÀI (tiếp)
Tập C được gọi là tập ổn định ngoài cực tiểu nếu bớt đi bất kỳ đỉnh nào của nó cũng làm mất tính ổn định ngoài.
Tập C được gọi là tập ổn định ngoài bé nhất nếu C là tập ổn định ngoài có ít phần tử nhất.
Lực lượng của tập ổn định ngoài bé nhất được gọi là số ổn định ngoài của đồ thị.
TÌM TẬP ỔN ĐỊNH NGOÀI
Thuật toán 3.2
Giả sử đồ thị G = (V, F) với V = {a1 , a2 , ... , an}.
1) Xây dựng ánh xạ T : V  2V như sau:
 a  V , T(a) = {a}  F-1(a)
2) Tìm tập con C  V có ít phần tử nhất mà T(C) = V.
Khi đó, C là một tập ổn định ngoài bé nhất của đồ thị G.

TÌM TẬP ỔN ĐỊNH NGOÀI (tiếp)
Chú ý: Bước 2 của thuật toán 3.2 có thể thực hiện nhanh nhờ các nhận xét sau đây:
- Đỉnh cô lập luôn luôn thuộc tập ổn định ngoài bé nhất của đồ thị G, nghĩa là đỉnh cô lập phải được giữ lại.

TÌM TẬP ỔN ĐỊNH NGOÀI (tiếp)
Nếu tập con D các đỉnh chứa tập con C mà:
T(D)  T(C) thì bỏ không xét tập D này.
Thực hiện việc loại bỏ cho đến khi chỉ còn các đỉnh không thể loại bỏ được nữa.

Tập đỉnh này chính là một tập ổn định ngoài bé nhất của đồ thị G.

VÍ DỤ 3.5
Xét đồ thị có hướng sau:

G =


T(a) = {a}; T(d) = {b,c,d};
T(b) = {a,b,c}; T(e) = {e}; T(c) = {a,c}
e là đỉnh cô lập phải giữ lại.
a
c
b
d
e
Hình 3.3. Đồ thị và tập ổn định ngoài
VÍ DỤ 3.5 (tiếp)
Loại bỏ a, c ta lập được {b,d,e} là một tập ổn định
ngoài bé nhất của G.
- Loại bỏ a, b ta được {c,d,e} là một tập ổn định ngoài bé nhất khác của G.