CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Chia sẻ bởi Vũ Huyền Anh |
Ngày 26/04/2019 |
165
Chia sẻ tài liệu: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC thuộc Toán học
Nội dung tài liệu:
CHỦ ĐIỂM 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phươngphápdựavàođịnhnghĩa:
Đểchứng minh ta chứngminh .
Bàitoánsố 1: Chứng minh vớimọisốthực a, b, c.
Phântích:
Đâylàmộtđẳngthứckháquenthuộc, ta cóthểgiảibằngcáchxéthiệuvếtráivàvếphải.
Lờigiải:
Xéthiệu
Vậy
Dấu “=” xảyra.
Do đó.
Khaithácbàitoán:
Bằngphươngphápxétdấucủahiệu ta xétđượcsựđúngđắncủabấtđẳngthức. Để ý rằngvớihaisốthựcbấtkì u, v ta cũngcó:
Bàitoánsố 2: Chứng minh rằngnếuthì:
Phântích:
Cũngcóthểxéthiệuhaivếthìmớisửdụngđượcgiảthiết.
Lờigiải:
Xéthiệu:
Khaithácbàitoán:
Vớibasốdương a, b, c mà, bấtđẳngthứcsauđúng hay sai? Chúng ta cóthểpháttriểnbàitoántổngquátkhông? Nếuđược, hãyphátbiểubàitoántổngquát.
Vớihaisố x, y mà ta có:
Phươngphápbiếnđổitươngđương:
Đểchứng minh ta biếnđổitươngđươngtrongđóbấtđẳngthứccuốicùnglàmộtbấtđẳngthứchiểnnhiênđúnghoặclàbấtđẳngthứcđơngiảnhơnbấtđẳngthức. Saukhikhẳngđịnhđượctínhđúngđắncủabấtđẳngthức ta kếtluậnbấtđẳngthứcđúng.
Bàitoánsố 3:Chứng minh rằngvớimọi ta có:
(1)
Phântích:
Ta thấy ở haivếxuấthiệnvà. Vìvậy, chúng ta nghĩđếnviệctáchthànhtổngcácbìnhphươngđểtiệnxétdấu.
Lờigiải:
Chú ý: Phươngpháp 1 (xéthiệu) thựcchấtlàtrườnghợpđặcbiệtcủaphươngpháp 2 (biếnđổitươngđương) vì
Khaithácbàitoán:
Cho a, b, c làđộdài 3 cạnhcủa tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC đều
Đềxuấtbàitoánmới: Trongbấtđẳngthức (1), nếucho c=1 ta cóbàitoán. Chứng minh rằngvớimọi ta có:
Phươngphápquynạptoánhọc:
Tronglýthuyếtđãcómộtsốbấtđẳngthứcđượcchứng minh bằngphươngphápquynạp (bấtđẳngthứcCôsi, Becnuli, …)
Sauđây ta xétmộtsốbàitoánkhác.
Bàitoánsố 4:Tổngquátcủabấtđẳngthức.
Cho a, b làhaisốdương, chứng minh rằngvớimọisốtựnhiên ta có:
Phântích:Việcxéthiệutrựctiếpkhôngđạtđượckếtquảvìvậychúng ta cóthểnghĩđếncáchsửdụngphươngphápquynạp.
Lờigiải:
Với n=2 ta có: (bằngcáchxéthiệu).
Giảsửbấtđẳngthứcđúngvới n=k, tứclà
Ta phảichứng minh bấtđẳngthứccũngđúngvới, tứclà.
Thậtvậy,
Ta chứng minh:
(đúng).
Khaithácbàitoán:
Bàitoánvẫncònđúngtrongtrườnghợp.
Vớia+b=2 ta có.
Phươngphápsửdụngcácbấtđẳngthứcđãbiết:
Bàitoánsố5: Cho tam giác ABC cócáccạnh a, b, c vàcácđườngcaotươngứng. Gọi r làbánkínhđườngtrònnộitiếp tam giác. Chứng minh
Phântích:
Chúng ta biếtrằngbánkínhđườngtrònnộitiếp tam giácvàđườngcaoliênquantrựctiếpđếncôngthứctínhdiệntích. Vìvậychúng ta sẽsửdụngdiệntích tam giácđểtính r và.
Lờigiải:
Ta có:
Vậy:
Trongquátrìnhchứng minh bấtđẳngthức ta đãsửdụngđếnbấtđẳngthức tam giác “trongmột tam giác, tổng 2 cạnhlớnhơncạnhcònlại”.
Khaithácbàitoán:
Nếu them vàođiềukiện tam giác ABC có a, b thỏamãn
thì.
Bàitoánsố 6: Cho cácsốdương a, b, c. Chứng minh rằng:
Phântích:
Do a, b, c làcácsốdươngnên ta nghĩđếnviệcsửdụngbấtđẳngthứcCôsi. Tuynhiênnếusửdụngtrựctiếpvớicáccặpsố 1 và; 1 và; 1 vàthìkhôngcókếtquảvìkhôngxảyradấubằng, đồngthờitrongbabấtđẳngthứcứngvới 3 cặpsốtrên, Vìvậychúng ta cầnbiếnđổithêm.
Lờigiải:
Ta có:
Nhântừngvế (1), (2), (3) ta có:
Dấu “=” xảyra.
Khaithácbàitoán:
Bàitoánsố 6 cũngcóthểgiảicáchkhác:
Tươngtự:
ÁpdụngbấtđẳngthứcCôsicho 4 sốdương ta có:
Nhântừngvế (1’), (2’), (3’) được:
.
Vậy
Chú ý: Vớicáchtáchmộtsốhạngthànhtổngcủanhiềusốhạngbằngnhau ta cóthểgiảibàitoán: Cho a+b+c=1 với, chứng minh rằng:
Bàitoántổngquátthứnhất: Cho cácsốdương
Chứng minh rằng
Bàitoántổngquátthứhai: Cho cácsốdương a, b, c, hãyxétsựđúngđắncủabấtđẳngthứcsauvớimọisốtựnhiênta có:
Phươngphápsửdụngtínhđồngbiến, nghịchbiếncủahàmsố:
Trongphầnnày ta sửdụngtínhđồngbiến, nghịchbiếncủahàmsốbậcnhất, bậchai, lũythừa,…
Bàitoánsố 7: Chứng minh rằngvớimọisốthực
(1)
Phântích:
Để ý rằng 3, 4, 5 làbộsốPitago: vàcáchàmsốnghịchbiến, ta cólờigiảisau.
Lờigiải:
Bấtđẳngthức (1)
Do cáchàmsốmũvànghịchbiến( cơsốbéhơn 1) nênvới ta có:
Vậy
Khaithácbàitoán:
BấtđẳngthứcđúngvớimọibộsốPitago (đượcgọilàbộsốPitagonếu).
Phươngphápsửdụng tam thứcbậchai:
Bàitoánsố 8: Cho a, b làcácsốthỏamãnđiềukiện
(1)
Chứng minh rằng.
Phântích:
Để ý rằngbấtphươngtrìnhbậchaitrongđólàcácnghiệmcủa tam thức ta cólờigiảisau.
Lờigiải:
Đặt
Khaithácbàitoán:
Ta đã dung địnhlývềdấu tam thứcbậchaiđểgiảibàitoánnày. Nếuchú ý đếnđiềukiệncónghiệmcủa tam thứcbậchai ta cóthểgiảicácbàitoánsaubằngmộtphươngphápkháđơngiản:
Tìmgiátrịlớnnhất (bénhất) nếucócủacácbiểuthức:
Căncứvàođặcđiểmparabolvới quay bềlõmlêntrên (xuốngdưới), do đóđỉnhlàđiểmcótungđộbénhất (lớnnhất), ta cóthểthêmmộtcáchtìmgiátrịlớnnhất (bénhất) củacácbiểuthứcdạng.
Phươngphápdựavàođịnhnghĩa:
Đểchứng minh ta chứngminh .
Bàitoánsố 1: Chứng minh vớimọisốthực a, b, c.
Phântích:
Đâylàmộtđẳngthứckháquenthuộc, ta cóthểgiảibằngcáchxéthiệuvếtráivàvếphải.
Lờigiải:
Xéthiệu
Vậy
Dấu “=” xảyra.
Do đó.
Khaithácbàitoán:
Bằngphươngphápxétdấucủahiệu ta xétđượcsựđúngđắncủabấtđẳngthức. Để ý rằngvớihaisốthựcbấtkì u, v ta cũngcó:
Bàitoánsố 2: Chứng minh rằngnếuthì:
Phântích:
Cũngcóthểxéthiệuhaivếthìmớisửdụngđượcgiảthiết.
Lờigiải:
Xéthiệu:
Khaithácbàitoán:
Vớibasốdương a, b, c mà, bấtđẳngthứcsauđúng hay sai? Chúng ta cóthểpháttriểnbàitoántổngquátkhông? Nếuđược, hãyphátbiểubàitoántổngquát.
Vớihaisố x, y mà ta có:
Phươngphápbiếnđổitươngđương:
Đểchứng minh ta biếnđổitươngđươngtrongđóbấtđẳngthứccuốicùnglàmộtbấtđẳngthứchiểnnhiênđúnghoặclàbấtđẳngthứcđơngiảnhơnbấtđẳngthức. Saukhikhẳngđịnhđượctínhđúngđắncủabấtđẳngthức ta kếtluậnbấtđẳngthứcđúng.
Bàitoánsố 3:Chứng minh rằngvớimọi ta có:
(1)
Phântích:
Ta thấy ở haivếxuấthiệnvà. Vìvậy, chúng ta nghĩđếnviệctáchthànhtổngcácbìnhphươngđểtiệnxétdấu.
Lờigiải:
Chú ý: Phươngpháp 1 (xéthiệu) thựcchấtlàtrườnghợpđặcbiệtcủaphươngpháp 2 (biếnđổitươngđương) vì
Khaithácbàitoán:
Cho a, b, c làđộdài 3 cạnhcủa tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC đều
Đềxuấtbàitoánmới: Trongbấtđẳngthức (1), nếucho c=1 ta cóbàitoán. Chứng minh rằngvớimọi ta có:
Phươngphápquynạptoánhọc:
Tronglýthuyếtđãcómộtsốbấtđẳngthứcđượcchứng minh bằngphươngphápquynạp (bấtđẳngthứcCôsi, Becnuli, …)
Sauđây ta xétmộtsốbàitoánkhác.
Bàitoánsố 4:Tổngquátcủabấtđẳngthức.
Cho a, b làhaisốdương, chứng minh rằngvớimọisốtựnhiên ta có:
Phântích:Việcxéthiệutrựctiếpkhôngđạtđượckếtquảvìvậychúng ta cóthểnghĩđếncáchsửdụngphươngphápquynạp.
Lờigiải:
Với n=2 ta có: (bằngcáchxéthiệu).
Giảsửbấtđẳngthứcđúngvới n=k, tứclà
Ta phảichứng minh bấtđẳngthứccũngđúngvới, tứclà.
Thậtvậy,
Ta chứng minh:
(đúng).
Khaithácbàitoán:
Bàitoánvẫncònđúngtrongtrườnghợp.
Vớia+b=2 ta có.
Phươngphápsửdụngcácbấtđẳngthứcđãbiết:
Bàitoánsố5: Cho tam giác ABC cócáccạnh a, b, c vàcácđườngcaotươngứng. Gọi r làbánkínhđườngtrònnộitiếp tam giác. Chứng minh
Phântích:
Chúng ta biếtrằngbánkínhđườngtrònnộitiếp tam giácvàđườngcaoliênquantrựctiếpđếncôngthứctínhdiệntích. Vìvậychúng ta sẽsửdụngdiệntích tam giácđểtính r và.
Lờigiải:
Ta có:
Vậy:
Trongquátrìnhchứng minh bấtđẳngthức ta đãsửdụngđếnbấtđẳngthức tam giác “trongmột tam giác, tổng 2 cạnhlớnhơncạnhcònlại”.
Khaithácbàitoán:
Nếu them vàođiềukiện tam giác ABC có a, b thỏamãn
thì.
Bàitoánsố 6: Cho cácsốdương a, b, c. Chứng minh rằng:
Phântích:
Do a, b, c làcácsốdươngnên ta nghĩđếnviệcsửdụngbấtđẳngthứcCôsi. Tuynhiênnếusửdụngtrựctiếpvớicáccặpsố 1 và; 1 và; 1 vàthìkhôngcókếtquảvìkhôngxảyradấubằng, đồngthờitrongbabấtđẳngthứcứngvới 3 cặpsốtrên, Vìvậychúng ta cầnbiếnđổithêm.
Lờigiải:
Ta có:
Nhântừngvế (1), (2), (3) ta có:
Dấu “=” xảyra.
Khaithácbàitoán:
Bàitoánsố 6 cũngcóthểgiảicáchkhác:
Tươngtự:
ÁpdụngbấtđẳngthứcCôsicho 4 sốdương ta có:
Nhântừngvế (1’), (2’), (3’) được:
.
Vậy
Chú ý: Vớicáchtáchmộtsốhạngthànhtổngcủanhiềusốhạngbằngnhau ta cóthểgiảibàitoán: Cho a+b+c=1 với, chứng minh rằng:
Bàitoántổngquátthứnhất: Cho cácsốdương
Chứng minh rằng
Bàitoántổngquátthứhai: Cho cácsốdương a, b, c, hãyxétsựđúngđắncủabấtđẳngthứcsauvớimọisốtựnhiênta có:
Phươngphápsửdụngtínhđồngbiến, nghịchbiếncủahàmsố:
Trongphầnnày ta sửdụngtínhđồngbiến, nghịchbiếncủahàmsốbậcnhất, bậchai, lũythừa,…
Bàitoánsố 7: Chứng minh rằngvớimọisốthực
(1)
Phântích:
Để ý rằng 3, 4, 5 làbộsốPitago: vàcáchàmsốnghịchbiến, ta cólờigiảisau.
Lờigiải:
Bấtđẳngthức (1)
Do cáchàmsốmũvànghịchbiến( cơsốbéhơn 1) nênvới ta có:
Vậy
Khaithácbàitoán:
BấtđẳngthứcđúngvớimọibộsốPitago (đượcgọilàbộsốPitagonếu).
Phươngphápsửdụng tam thứcbậchai:
Bàitoánsố 8: Cho a, b làcácsốthỏamãnđiềukiện
(1)
Chứng minh rằng.
Phântích:
Để ý rằngbấtphươngtrìnhbậchaitrongđólàcácnghiệmcủa tam thức ta cólờigiảisau.
Lờigiải:
Đặt
Khaithácbàitoán:
Ta đã dung địnhlývềdấu tam thứcbậchaiđểgiảibàitoánnày. Nếuchú ý đếnđiềukiệncónghiệmcủa tam thứcbậchai ta cóthểgiảicácbàitoánsaubằngmộtphươngphápkháđơngiản:
Tìmgiátrịlớnnhất (bénhất) nếucócủacácbiểuthức:
Căncứvàođặcđiểmparabolvới quay bềlõmlêntrên (xuốngdưới), do đóđỉnhlàđiểmcótungđộbénhất (lớnnhất), ta cóthểthêmmộtcáchtìmgiátrịlớnnhất (bénhất) củacácbiểuthứcdạng.
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Vũ Huyền Anh
Dung lượng: |
Lượt tài: 2
Loại file:
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)