Các đường cong đặc biệt

 Các đường cong
toán học đặc biệt
Lịch sử & ứng dụng
ST > 60 loại hình đường cong đẹp kèm theo các phương trình toán học
Nhiều hình động minh hoạ
Giới thiệu
Học Đại số & Giải tích chúng ta đã biết nhều tới các đồ thị hàm số bậc nhất, bậc hai (đường thẳng, Hyperbol, parabol…), nhưng các đường cong bậc ba, bậc 4 còn ít được làm quen.
Mặc dù các đường cong này đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu hàng trăm năm rồi; Ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác rất rộng và bản thân chúng cũng rất đẹp.
Tài liệu này tập hợp sơ lược các loại đường cong đặc biệt, hy vọng giúp các bạn thêm yêu toán học.
------------------------------------------------------
NST: PHH (12/2015) Nguồn: thuvienkhoahoc.com
Đường Astroid
(đường hình sao)
Đường cong astroid (đường hình sao) lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Johann Bernoulli trong khoảng 1691 và 1692. Nó cũng xuất hiện trong các bức thư của Leibnitz năm 1715. Đôi khi nó được gọi là tetracuspid vì lý do là nó có bốn cánh.
Phương trình tổng quát:

Phương trình tham số:

Đây là 1 Hypoxicloit 4 nhánh

Có thể được tạo thành bằng cách quay một đường tròn bán kính a/4  bên trong đường tròn bán kính a.
a
Ý nghĩa toán học
2. Đường Conchoid
(đường vỏ sò Conchoid)
Tên gọi này có nghĩa là dạng vỏ sò do Nicomedes mà các nhà toán học Hy Lạp nghiên khoảng 200 trước Công nguyên, liên quan đến bài toán gấp đôi thể tích của khối lập phương. Nicomedes đã xác định được ba dạng khác biệt trong họ đường cong này.
Đường cong vỏ sò do Pappus đặt tên, là phát minh chính của Nicomedes. Như Nicomedes đã tiên đoán, vào thế kỷ 17 các nhà toán học rất quan tâm đến đường vỏ sò Conchoid và có nhiều ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán về nhân đôi khối lập phương và chia một góc làm 3 phần.

Ý nghĩa toán học
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 

Đường cong Conchoid được dựng bằng cách tăng hoặc giảm vectơ mỗi điểm của đường cong đã cho một đoạn l
r = a + b.sec(Ф)
3. Conchoid of de Sluze
(đường vỏ sò Conchoid Sluze)
Đường cong này lần đầu tiên được René de Sluze xây dựng vào năm 1662. góp phần vào việc xác định tính chất hình học của đường xoắn ốc (spiral) và phát minh ra phương pháp chung để xác định điểm uốn của đường cong.
Ý nghiã
toán học
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:


Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 



Là quỹ tích của những điểm M sao cho PM1 = PM2 = OP
(P lấy tuỳ ý trên trục oy)
 Viên ngọc & quả lê
Đường hình viên ngọc Đường cong hình trái lê:



4. Đường Cycloid
(đường bánh xe cycloid)

Galileo đặt tên cho đường cong này vào năm 1599. Năm 1639, ông đã viết cho Torricelli về cycloid, nói rằng ông đã nghiên cứu các thuộc tính của nó trong suốt 40 năm.
Cusa lần đầu tiên nghiên cứu cycloid khi ông đã cố gắng để tìm diện tích của một vòng tròn bằng cách tích phân.
Mersenne đã đưa ra định nghĩa thích hợp của cycloid và nêu các tính chất rõ ràng , chẳng hạn như độ dài của các bán kính cơ sở tương đương với chu vi của vòng tròn lăn.
Ý nghiã toán học
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Cycloid là quỹ tích của một điểm có khoảng cách h từ tâm của một đường tròn bán kính a có thể lăn không trượt dọc theo 1 đường thẳng.
Nếu h < a nó là một cycloid curtate.
Nếu h > a nó là một cycloid prolate.
Nếu h = a nó là một cycloid được vẽ ở trên.
Chuyển động của đường
bánh xe cycloid
Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục Ox. Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục Ox, điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.
5. Đường Devil`s curve
(đường cong quỷ)


Đường cong quỷ đã được Gabriel Cramer nghiên cứu năm 1750 và Lacroix vào năm 1810. Tên gọi này xuất hiện trong Nouvelles Annalesin năm 1858.
Ý nghiã toán học
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: x4+y4= bx2 + a.x2

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 
Chuyển động của
đường cong quỷ
(mở xem hình động)
6. Đường Folium
(đường cong lá cây)

Folium có nghĩa là hình lá.
Có ba dạng đặc biệt của hình lá, lá đơn, lá đôi và lá ba, tương ứng với các trường hợp như hình trên
Còn 1 loai lá Decarter ( xem slide tiếp)
Phương trình đường cong lá
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 
Phương trình đường lá cây Descartes: 
x3 + y3 = 3 a.xy
7. Đường cong hình lá Đề-các
(Descartes)
Một đường cong hình lá rất nổi tiếng khác là lá Đề-các. Nó được đề xuất lần đầu tiên bởi Đề-các vào năm 1638.
Ông đã tìm ra hình dạng của chiếc lá này ở góc phần tư thứ nhất. Tuy nhiên ông đã mắc một sai lầm là cho rằng nó cũng như vậy ở các góc phần tư còn lại như bốn cánh của một bông hoa.
8. Durer`s shell curve
(đường vỏ sò 2 Durer)

1525 Dürer gọi đường cong đó là " ein muschellini "có nghĩa là vỏ sò, nhưng vì nó không giống với đường vỏ sò thực (conchoid) nên ta gọi đó là đường cong vỏ 2-Dürer (muschellini = giống vỏ sò = shell).
Ý nghĩa toán học
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:


Có một số trường hợp đặc biệt thú vị: Trong công thức trên, chúng ta có:
b = 0; đường cong trở thành hai đường thẳng trùng nhau x2 = 0
a = 0; đường cong trở thành cặp đường thẳng x= b/ 2  cùng với đường tròn x2 + y2 =0
9. Neile‘s Semi-Cubical Parabola (Đường Parabola nửa-bậc-3 Neile)

Phương trình đường cong Neile trong hệ tọa độ Descartes: y3 = a.x3
PT cho đường cong
cùng họ y = a.x 3/2
10. Đường cong mái tóc Aniêzơ
Đường cong này còn gọi là ‘Veriơra Aniêzo’
hay mái tóc Aniêzơ, do lấy tên nhà toán học Ý Aniêzơ (1718-1799), người đầu tiên có công nghiên cứu
Phương trình trong toạ độ Descartes

11. Figure Eight Curve
(đường cong hình số 8)

Đường cong này cũng được biết đến như các đường Lemniscate Gerono.
Đây là công trình nghiên cứu của Camille-Christophe Gerono (1799 ~ 1891).
Lemniscate của Gerono còn được gọi là đường cong hình số 8.
Ý nghiã toán học
Có thể được dựng như sau: cho đường tròn bán kính 1 tâm ở gốc O. P là một điểm trên vòng tròn. M là giao điểm của đường thẳng x = 1 và một đường nằm ngang đi qua P. Gọi Q là giao điểm của OM và đường thẳng đứng qua P.
Khi P di chuyển trên đường tròn thì Q vẽ thành đường hình số 8.

Phưõng trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
X4 = a2.(x2 + y2)
Phưõng trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
r2 = a2. cos 2.sec4 
12. Các Ellipse đăc biêt
(đường Ellipse)

Ellipse lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Menaechmus.
Euclid cũng đã viết về hình elip và Apollonius đặt tên cho đường cong này như hiện tại.
Ý nghiã
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:

Chính Kepler đã công bố phát hiện của ông vào năm 1609.
Năm 1705, Halley đã cho thấy rằng các sao chổi, mà bây giờ được đặt tên của ông, di chuyển trong một quỹ đạo hình elip mặt trời
13. Các dạng ellípse đặc bệt
Các dạng ellípse tạo ra từ các thiết diện với mặt nón
- Cyrcle (H. tròn)
- Hyperbolla
- Parapblla
- Ellipse
(Xem hình động)
Ý nghĩa
Ellipse chuẩn là đường cắt giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng
14. Hình quả trứng Cassinian
Các hình quả trứng Cassinian là quỹ tích của một điểm P di chuyển sao cho tích của 2 khoảng cách từ P đến hai điểm cố định S và T không đổi

Ý nghĩa toán học

Hình dạng đường cong phu thuộc tỉ số a/c
-a< c  có 2 hình
- a>c  1 hình đơn
- a = c  Hình kép số 8
15. Epicycloid (đường Epicycloid)

Epicycloid được nhiều nhà toán học thờ cổ đến thờ hiện đại nghiên cưu vì sự phong phú đa dạng.
Chúng có bốn họ đường cong liên quan chặt chẽ gồm có Epicycloid chuẩn, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid
Epicycloid là quỹ tích các điểm P trên đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a cố định.
Hình động toán học
Đối với Epicycloid, một trong số ví dụ được hiển thị ở trên, đường tròn bán kính b lăn bên ngoài của đường tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của đường tròn bán kính b.
Các dạng
Đường pháp bao liên tục của epicycloid 6 đỉnh và 4 đỉnh
16. Epitrochoid
(đường Epitrochoid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
Hình động
Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với Epitrochoid gồm Epicycloid, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid. Epitrochoid là quỹ tích điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a cố định.
Một ví dụ về epitrochoid xuất hiện trong công trình của Dürer - Những kiến thức về đo lường bằng compa và thước kẻ (năm 1525). Ông gọi chúng là đường cong nhện.
Những đường cong epitrochoid cũng được nghiên cứu bởi la Hire, Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác.
Epitrochoid là một họ đường cong cycloid, cũng là trýờng hợp đặc biệt về đường Roullete.
17. Equiangular Spiral
(đường xoắn ốc đẳng giác)

acob Bernoulli vào năm 1692 đã gọi tên đường cong là Spira mirabilis và nó được khắc trên ngôi mộ của ông ở Basel. Hiện tượng tự nhiên này thường xảy ra ở nhiều nơi như vỏ sò, vỏ ốc biển, khi sự phát triển của sinh vật là tỷ lệ thuận với kích thước của sinh vật ấy. Trong cuốn sách " Sự tăng trưởng và hình dạng " của mình, Thompson D`Arcy đã dành cả một chương để đường cong này và mô tả điều xảy ra trong thiên nhiên như là kết quả của cuộn tròn một hình nón trên chính nó, hình ảnh này tương phản với các hình xoắn ốc của Archimedes được hình thành bằng cách cuộn một hình trụ. 
Ý nghĩa toán học
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
Đường xoắn ốc đẳng giác với góc  800       
Nếu P là điểm bất kỳ trên đường xoắn ốc thì chiều dài của đường xoắn ốc từ P đến tâm đường cong là hữu hạn, khoảng cách từ P đến cực là d.sec(b) với d là khoảng cách của vector bán kính OP.
Đường xoắn ốc đẳng giác và cát tuyến của nó
18. Đường xoắn của Bernoulli
Đường xoắn ốc tạo ra một góc không đổi b với bất kỳ vector bán kính nào. Trong trường hợp đặc biệt, khi b = π / 2 ta có được một đường tròn. Đối với các đường cong được hiển thị ở trên thì
b = 7π/16. Vì vậy chiều dài của đường cong từ một điểm ở khoảng cách d tính từ điểm gốc cùng một vector bán kính là khoảng 5,126 d. Johann Bernoulli cũng đã chứng minh rằng đường pháp bao ngoài (evolute) và trong (involute) của đường xoắn ốc đẳng giác là một đường xoắn ốc đẳng giác đồng dạng.
19. Đường cong Butterfly Curve
(Đường cong hình con bướm)
Có hai đường cong được biết đến với cái tên Butterfly Curve (Đường cong hình con bướm).
Thứ nhất là đường cong bậc 6 có phương trình là y6=x2 – x6
Đường cong thứ hai có phương trình trong hệ tọa độ cực là


20. Kappa Curve
(Đường cong Kappa)


Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
a2.x2=y2(x2+y2)
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: r = a.cot()

Các đường cong kappa cũng gọi là đường cong Gutschoven. Lần đầu tiên được nghiên cứu bởi G. Van Gutschoven khoảng 1662. Các đường cong này cũng được Newton nghiên cứu và một số năm sau đó bởi Johann Bernoulli.
21. Lissajous Curve
(Đường cong Lissajous)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ
Descartes:
Bowditch. Nathaniel Bowditch là người khảo sát chúng vào năm 1815. các đường cong này đã được Jules-Antoine Lissajous nghiên cứu một cách độc lập và chi tiết hơn vào năm 1857.
22. Các đường xoắn ốc
x.1-Đường xoắn ốc đa giác (Polygonal Spiral)được tìm ra bởi việc quan tâm đến tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một đa giác đều n cạnh.
Phương trình 
x.2-Đường cong này được nghiên cứu lần đầu bởi Conon, và sau đó Archimedes trong tác phẩm On Spirals khoảng 225 trước công nguyên. Đường xoắn ốc Archimedes (Archimedes’ spiral) có phương trình trong toạ độ cực là r = a. 

x.3- Đường xoắn ốc hyperbolic, cònn được gọi là đưòng cong nghịch đảo, là một dạng khác của đường cong Archimedes với phương trình là r =a/
23. Đường xoắn ốc Fermat
x.4- Đường xoắn ốc Fermat (Fermat’s Spiral ) còn đựoc gọi là đường xoắn ốc parabolic có phương trình r2 = a2
Theo đề xuất của Fermat, vào năm 1636
24. Đường Limaçon
(Đường ốc sên)
Limacon hay Limacon of Pascal được khảo sát lần đầu tiên bởi Dürer, người đã đưa ra phương pháp vẽ nó trong Underweysung der Messung (1525). Tên được đặt bởi một người Pháp khác là Gilles-Personne Roberval vào năm 1650 khi ông dùng nó như một ví dụ cho phương pháp vẽ tiếp tuyến của mình.
(Hình động)
Ý nghĩa toán học
Phương trình của nó trong hệ tọa độ Descartes: 
hay ở trong tọa độ cực:
Nó bất biến qua phép nghịch đảo.
Hình động
Khi b = 2a đường limacon trở thành cardioid.
25. Rhodonea Curves
(đường cong hoa hồng)
Các đường cong này được đặt tên bởi nhà toán học Italia Guido Grandi khoảng 1723 và 1728 vì chúng trông giống hoa hồng.
Khi k là một số nguyên số cánh là k hay 2k phụ thuộc vào k lẻ hay chẳn. Nếu k là vô tỉ thì số cánh hoa là vô hạn.
Phương trình trong toạ độ cực:


Hoa hồng đôi, một phiên bản khác của đường cong hoa hồng.
26. Đường cong Cardioid (đường hình tim)

Đường cardioid, được đặt tên bởi de Castillon trong bài báo có tên Philosophical Transactions of the Royal Societyin 1741, 
Ý nghiã toán học
Phương trình trong hệ tọa độ Descartes: 

Phương trình trong tọa độ cực:
Đường cong được dựng khi quay một điểm nằm trên một đường tròn tiếp xúc ngoài một đường tròn khác cùng bán kính
Phương trình tình yêu “Trá tim”






Dùng hàm implicitplot3d của Maple (hoặc phần mềm mathematica) để vẽ biểu diễn những phương trình này sẽ được hình ảnh trái tim trong không gian 3 chiều (trông như thật !!!)