CAC BT HINH THI THPT

A. CÁC ĐỀ 2013 - 2014
1. ĐỀ TP_ HCM 2013 – 2014
Câu 5 (3,5 điểm) Cho (ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O;R) (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
Chứng minh:
, từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh: FI.FM = FD.FE
Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC sao cho (IBC có diện tích lớn nhất.
HD:
a) Ta có
do cùng chắn cung

Và
do AB// MI
Vậy
, nên bốn điểm ICMB cùng nằm
Trên đường tròn đường kính OM
(vì 2 điểm B, C cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông)

b) Do 2 tam giác đồng dạng FBD và FEC
nên FB. FC =FE. FD.
Và 2 tam giác đồng dạng FBM và FIC
nên FB. FC =FI. FM. So sánh ta có FI.FM =FD.FE

c) Ta có góc PTQ=900 do POIQ là đường kính.
Và 2 tam giác đồng dạng FIQ và FTM có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và

(vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ)
Nên
mà
(I nhìn OM dưới góc 900)
Nên P, T, M thẳng hàng vì
.

d) Ta có BC không đổi. Vậy diện tích
lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn nhất. Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung
của đường tròn đường kính OM. Khi I trùng O thì
vuông tại B. Vậy diện tích tam giác ICB lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R).
Cách khác: O’ là trung điểm của OM. BC cắt OO’, O’T lần lượt tại L, T.
Vẽ IH vuông góc BC tại H.

2, SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC- NĂM HỌC 2013-2014
Câu 7 (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho góc
= 450, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MF với NE và I là giao điểm của BH với MN. Tính độ dài đoạn BI theo a.
c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
HD:
-Hình vẽ đúng (phần a)
a) Chứng minh các tứ giác
ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp:
Vì ABCD là hình vuông và
= 450 (GT)
nên ta có

và

do đó các tứ giác ABFM và BCNE là các tứ giác nội
tiếp (vì đều có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 2 đỉnh còn
lại dưới một góc 450).
Mặt khác, vì tứ giác ABFM nội tiếp nên
, mà

=>
=>
(1)
Chứng minh tương tự, ta có
(2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MEFN nội tiếp được đường tròn (đường kính MN).
Vậy các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp.

b) Tính độ dài đoạn BI theo a
Lấy G trên tia đối của tia AD sao cho AG = CN (như hình vẽ)
Kết hợp ABCD là hình vuông ta suy ra
(c.g.c)
=>
.(3) và GB = NB (4)
Lại có
= 450 =>
(5).
Kết hợp (3), (5) =>
, lại kết hợp với (4) và BM là cạnh chung =>
(c.g.c)
Mặt khác theo chứng minh ở phần a, ta có NE và MF là hai đường cao của
, suy ra BI cũng là đường cao của
=> BA = BI (hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
Vậy BI = BA = a.

c) Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác MDN lớn nhất
Do
(theo chứng minh ở phần b) => MG = MN
Do đó MD + DN +