Các bài toán về tĩnh học

26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
1
Chương 3:

CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

I. Bài toán về đòn và vật lật

2. Bài toán cân bằng hệ vật rắn

3. Bài toán tĩnh định và siêu tĩnh

4. Bài toán Ma sát

5. Bài toán Trọng tâm.
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
2
I.Bài toán về đòn và vật lật
Vật lật là vật rắn có khả năng bị lật đổ quanh 1 trục 0 dưới tác dụng của các lực hoạt động.
Dựa vào xu hướng lật của vật ta chia lực hoạt động ra:
- Lực lật (Lực làm vật lật hay xu hướng đổ quanh 0).
- Lực giữ (Lực giữ vật tồn tại ở trạng thái cân bằng).
Điều kiện cân bằng của vật lật là:
Tổng mô men các lực giữ lớn hơn
hay bằng tổng mô men các lực lật đối
với cùng điểm lật (hay trục lật) Mg  Ml
O
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
3
Bài tập ví dụ:
Một cần trục đường sắt mà khoảng
cách giữa 2 ray là 1,5 m. trọng lượng
của xe cần trục là 30kN và đặt tại A.
Trọng lượng của tời đặt trên xe là 10kN
và đặt tại điểm C. Đối trọng đặt ở E và
nặng là 20kN. Hình vẽ
Hãy xác định tải trọng nâng lớn nhất Q để cần trục không bị lật. Cho biết cần FG nặng 5kN và trọng tâm là H.
Bài Giải:
Nếu vật nâng Q lớn quá, cần trục sẽ lật quanh điểm D khi đó cần trục làm việc như 1 cái đòn mà trục quay là ray D.
Khảo sát cần trục ở vị trí cân bằng giới hạn.
K
D
A
E
F
H
G
Q
1m
1,5m
0,5m
0,1m
C
1,5m
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
4
Vị trí cần trục sắp sửa lật quanh
ray D dưới tác dụng của lực Q
đạt giá trị tới hạn Qmax , lúc này
bánh xe K không còn tiếp xúc
với đường ray nữa và phản lực
ở K = 0. Do đó theo điều kiện
cân bằng vật lật Mgiữ  Mlật ta có:
20.1,75 + 10.0,85 + 30.0,75  Q.1,25 + 5.0,75
Với PE = 20 kN; PA = 30 kN , PC = 10 kN; PH = 5 kN
Ta tìm được Q  49,8 kN
Giá trị Qmax = 49,8 kN
K
D
A
E
F
H
G
Q
1m
1,5m
0,5m
0,1m
C
1,5m
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
5
II. Bài toán cân bằng hệ vật:
Trong thực tế phần lớn các bài toán là nghiên cứu sự cân bằng của nhiệu vật liên kết cơ học với nhau
Nếu hệ vật cân bằng thì từng vật riêng lẻ cũng cân bằng, do đó 1 bài toán hệ vật là tập hợp 1 số bài toán 1 vật riêng lẻ.
Có 2 phương pháp giải:
Phương pháp hóa rắn:
Coi toàn bộ hệ như 1 vật rắn.
Thành lập hệ phương trình hình chiếu và mô men.
(trong các phương trình không có nội lực)
Chú ý: Nếu số phương trình chưa đủ để xác định ẩn số ta phải tách hệ vật thành các vật riêng lẻ sau đó xét cân bằng các vật này để lập thêm những phương trình cần thiết.
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
6
Nếu hệ có n vật ta lập được 3n phương trình độc lập, đủ xác định 3n ẩn số.
Nếu số ẩn số trong bài toán lớn hơn số phương trình cân bằng tĩnh ta có bài toán siêu tĩnh.
Phương pháp tách vật:
Tách vật thành các hệ vật riêng lẻ.
Thành lập các phương trình cân bằng cho các vật này.
(thay việc giải bài toán hệ vật thành việc giải 1 số bài toán vật đơn)
Chú ý: khi xét vật riêng lẻ thì nội lực do các vật khác đặt lên vật này thành ngoại lực.
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
7
Bài tập ví dụ :
Dầm AB dài 6m nặng là P1 = 8 kN
tựa tại D lên dầm CD dài 5m và
nặng P2 = 6 kN. Hệ 2 dầm được
giữ cân bằng nhờ các bản lề A, C
và sợi dây EF. Hình vẽ,
cho DE = 1m, Q = 3 kN,  = 300.
Hãy xác định các phản lực tại A,C và D
Bài giải:
Ta dùng phương pháp hóa rắn, coi 2 dầm như 1 vật rắn cân bằng dưới tác dụng của các lực sau:
A
D
B
C
F
E
300
300
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
8
Các ngoại lực:
trọng lượng , các phản lực
, của bản lề A: của
bản lề C; phản lực của dây EF.
- Các nội lực: phản lực của thanh
CD tác dụng lên AB và phản lực
của AB tác dụng xuống CD, trong đó

Thành lập phương trình cân bằng cho cả hệ vật:
 Xk = 0  XA – T + XC + Q.cos300 = 0;
 Yk = 0  YA – P1 – P2 + YC - Q.sin300 = 0;
mA(Fk) = 0  – P1. – Q.AB.sin300 - T.DE.cos300 –
- P2 sin300 + XC.CD.cos300 = 0
A
D
B
C
F
E
300
300
y
x
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
9
3 phương trình trên chứa 5 ẩn số là:
XA, YA, XC, YC và T.
Tách vật xét cân bằng thanh AB
các lực tác dụng lên dầm AB gồm:

của dầm CD. Thành lập các phương
trình cân bằng:
 Xk = 0  XA + Q.cos300 = 0;
 Yk = 0  YA – P1 + RD - Q.sin300 = 0;
 mA(Fk) = 0  – P1 . – Q.AB.sin300 +
+ RD.CD.sin300 = 0
Giải hệ phương trình trên:
Ta được: XA = - Q cos300 = - 2,59 Kn



D
B
C
E
300
300
A
D
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
10
YA = P1 – RD + Q.sin 300 = - 3,7 kN
YC = P1 + P2 + Q.sin 300 – YA = 11,8 kN
T = XC = 11,69 kN.
Chú ý:
Nếu ngoài 6 phương trình cân bằng đã có, ta lại xét dầm CD và viết 3 phương trình cân bằng nữa, thì hệ 3 phương trình này chỉ là hệ quả của các phương trình đã cho.
Nếu ta giải bài toán trên bằng phương pháp tách vật nghĩa là giải 2 vật riêng lẻ thì ta cũng có 6 hệ phương trinh cân bằng lực ta tìm được 6 ẩn số.
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
11
4. Bài toán Ma sát:
Định nghĩa ma sát trượt:
Lực ma sát là lực cản trở chuyển
động xuất hiện giữa 2 bề mặt
tiếp xúc của 2 vật, khi 2 vật có xu
hướng chuyển động tương đối.

Hình nón ma sát và hiện tượng tự hãm:
Hình nón ma sát:
+ phản lực liên kết
+ Phản lực toàn phần
+ Góc ma sát
n


26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
12
Định luật Culon về ma sát trượt khô:

Lực ma sát tỷ lệ với áp lực.


Hệ số tỷ lệ f gọi là hệ số ma sát.
Hệ số ma sát f phụ thuộc vào: vật liệu, trạng thái bề mặt, thời gian tiếp xúc.
Hệ số ma sát không phụ thuộc vào: diện tích bề mặt tiếp xúc,
vận tốc dịch chuyển tương đối, áp lực trên bề mặt tiếp xúc.
Hệ số ma sát tĩnh lớn hơn hệ số ma sát động.
n

26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
13
Hiện tượng tự hãm:
Tác dụng lực lên vật, phương
của hợp với n góc  xét các
trường hợp sau:
+ Phương của cắt hình nón ma sát
ta có: ( < )  (tg < tg)
  Q.sin < Q.cos.f
Trượt xuống dưới, phân tích ra 2 thành phần
+ Q.cos  gây nén vật, (lực nén x hệ số ma sát = lực ma sát).
+ Q.sin  tác dụng kéo vật.
 lực kéo < lực ma sát  vật không di chuyển được dù Q lớn đến đâu. Vậy ta có hiện tượng TỰ HÃM.
n



Q.cos
Q.sin
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
14
+ Trường hợp tiếp xúc và nằm ngoài
mặt nón ma sát: (   )
 ta có: (tg  tg)
  Q.sin  Q.cos.f
Trượt xuống dưới, phân tích ra 2
thành phần
+ Q.cos  gây nén vật, (lực nén x hệ số ma sát = lực ma sát).
+ Q.sin  tác dụng kéo vật.
 lực kéo  lực ma sát  vật bắt đầu di chuyển được và di chuyển có gia tốc.
n



Q.cos
Q.sin
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
15

Ma sát lăn:
Ma sát lăn xuất hiện khi vật A
muốn lăn trên vật B. Hình vẽ
Trường hợp này phản lực từ
mặt tựa B lên vật A có 3 thành
phần: - Phản lực pháp tuyến
- Lực ma sát trượt
- ngẫu lực ma sát lăn
Ngẫu lực này hướng ngược chiều vật muốn lăn.
Trị số Ml = k.N k: hệ số ma sát lăn.
Điều kiện cân bằng: - Fms  f.N - Ml  k.N
0
k
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
16


Các bài toán:
Bài 1. Thang AB = 2a nặng là P có đầu
A tựa lên tường thẳng đứng nhẵn, còn
đầu B tựa lên nền ngang nhám. Cho
biết hệ số ma trượt giữa thang và nền
là f.
Xác định góc  để thang được cân bằng.
Bài giải:
Xét thang ở vị trí cân bằng với góc nghiêng .
Các lực tác dụng lên thang gồm:
Trọng lượng , phản lực phản lực và lực ma sát
A
0
B

26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
17


Thành lập phương trình cân bằng:
Xk = 0  NA – Fms = 0
Yk = 0  - P + NB = 0
m0(Fk) = 0  - AB.sin NA - cos.P +
+ AB.cos.NB = 0
Phương trình điều kiện không trượt:
Fms  f.NB
Từ 4 phương trình trên ta tìm được:
tg 
A
0
B

y
x
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
18
Bài 2. Hãy xác định lực để con lăn
hình trụ đường kính 60 cm nặng 3000N
Lăn đều theo mặt phẳng nằm ngang,
Biết hệ số ma sát lăn k = 0,5 cm và lực
làm với phương ngang 1 góc  = 600
Bài giải:
Các lực tác dụng lên con lăn gồm:
- Trọng lượng con lăn lực hoạt động lực ma sát trượt
Phản lực pháp tuyến và ngẫu lực ma sát lăn
- Muốn con lăn lăn đều thì Ml = k.N và hệ lực phải cân bằng.
Yk = 0  N = Q – P.sin
mC(Fk) = 0  P.cos.R = N.k

26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
19
Bài toán Trọng tâm.
Tâm của hệ lực song song:
a. Định nghĩa:
Điểm C mà hợp lực của hệ lực song song đi qua khi các lực này quay cùng 1 góc và theo cùng 1 chiều quanh các điểm đặt của chúng gọi là Tâm của hệ lực song song
b. Công thức xác định tâm của hệ lực song song:


Trong đó:
P =  Pk ; xC, yC, zC - tọa độ của tâm C
xk, yk, zk - tọa độ điểm đặt của lực Pk
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
20
2. Trọng tâm của vật rắn:
Định nghĩa:
Trọng tâm của vật rắn là điểm đặt hợp lực P (trọng lượng ) tác dụng lên vật.
b. Phương pháp tìm trọng tâm của vật rắn:
+ Dựa vào tính đối xứng:
Nếu vật có 1 điểm, 1 trục hay 1 mặt đối xứng thì trọng tâm của vật nằm tại điểm, trên trục hay mặt ấy.
+ Phương pháp phân tích vật (phân chia):
Nếu vật có thể phân chia thành 1 số hữu hạn phần nhỏ mà trọng tâm các phần nhỏ xác định được thì trọng tâm của vật được xác định theo công thức sau:
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
21



Trong đó:
P =  Pk – trọng lượng toàn vật.
Pk - trọng lượng của phần nhỏ
xk, yk, zk - tọa độ trọng tâm của phần nhỏ.
Nếu vật đồng chất là bản mỏng thì:



Trong đó:
S =  Sk – diện tích của toàn bản.
Sk - diện tích của phần tử nhỏ
xk, yk, zk - tọa độ trọng tâm của phần nhỏ.
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
22
Nếu vật là đường đồng chất:



Trong đó:
L =  lk - độ dài toàn cung.
lk - độ dài cung nhỏ
xk, yk, zk - tọa độ trọng tâm của cung nhỏ.

Các bài toán:
Bài toán 1: Xác định trọng tâm của 1 đĩa
tròn bán kính R và có khoét 1 lỗ tròn bán
kính r. Cho C1C2 = a. hình vẽ
Bài giải:
Trọng tâm của đĩa nằm trên trục đối xứng C1x
C1
C2
x
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
23
Ta coi đĩa gồm 2 phần:
- phần đĩa đầy chưa bị khoét với
diện tích (+) và phần diện tích bị khoét
với diện tích (-)
Từ biểu thức tính trọng tâm ta có:


Bài 2:
Tìm tọa độ trọng tâm của 1 bán cầu
đồng chất bán kính R. Hình vẽ
Bài giải:
Trọng tâm nằm trên trục đối xứng oz
C1
C2
x
z
0
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
24


Chia bán cầu thành những bản mỏng
song song với đáy có độ dày dz.
dV là thể tích một bản mỏng ta có:
dV = .r2.dz =  (R2 – z2)dz
Do đó:

Và

Vậy
z
0
R
dz
r
z
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
25
Bài toán 3:
Xác định trọng tâm của một bản
đồng chất. Hình vẽ. Kích thước
tính bằng cm.
Bài giải:
Chọn hệ trục như hình vẽ
Chia hình thành 3 hình nhỏ
có trọng tâm đã biết:
y
x
2
2
2
2
6
8
y
H.3
H.2
H.1
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
26
Theo công thức xác định trọng
tâm bản mỏng ta có:

Hình 1: x1 = 1; y1 = 1; S1 = 4
Hình 2: x2 = 1; y2 = 5;  S2 = 20
Hình 3: x3 = 5; y3 = 9;  S3 = 12





y
x
2
2
2
2
6
8
y
C3
C2
C1
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
27
Một số bài tập về nhà:
Áp lực của nước lên 1 diện tích
nhỏ của đập tăng tỷ lệ với khoảng
cách từ nó lên mặt thoáng của nước
và bằng trọng lượng của cốt nước
có chiều cao bằng khoảng cách này
Còn diện tích đáy đập bằng diện tích đã lấy. Cho trọng lượng riêng của nước  = 10 kN/m3; trọng lượng riêng của vật liệu làm đập 1 = 22 kN/m3. Độ cao của đập h đồng thời cũng là độ sâu của nước = 5m (hình vẽ).
A
B
B
A
5m
a
b
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
28
Do áp lực nước, cần dự tính đập
đổ nhào quanh mép B với hệ số
ổn định = 2, (Mg/Ml = 2).
Hãy xác định chiều dày của đập
tại đáy trong 2 trường hợp:
a/ tiết diện ngang của đập là hình
chữ nhật.
b/ tiết diện ngang của đập là tam giác.
2. Một cầu gồm 2 phần nối với nhau bằng
bản lề A. trọng lượng mỗi phần là 40 kN
và trọng tâm của chúng là D và E.Trọng
tải P = 20 kN đặt trên cầu.
A
B
B
A
5m
a
b
ĐÁP SỐ: a = 2,75 m
b = 3,37 m
10m
4m
4m
1m
1m
1m
3m
B
C
A
D
E
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
29
3.Tấm chữ nhật đồng chất nặng 200 kg
được giữ cân bằng với đường thẳng
đứng nhờ bản lề cầu A, bản lề trụ B
và dợi dây CE. Cho
Hãy xác định sức căng của dây và
phản lực liên kết của các bản lề.
ĐS: T = 200 N; XA = 86,6 N; YA = 150N;
ZA = 100N; XB = ZB = 0
A
B
C
D
E
300
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
30
Kích thước hình vẽ.
Xác định các phản lực tại A, B và C
ĐS: XA =  20 kN; YA =  8 kN;
XB = - XC = 20 kN; YB = 52 kN;
yC = 48 kN.
3.Cho thanh CD ngàm ở C và đỡ thanh
AB nằm ngang. Biết AB = CD = 4 m;
= 300; M = 10 kNm; q = 2 kN/m;
F = 8 kN;  = 600; các thanh đều không
trọng lượng. Xác định các phản lực tại
A và C
ĐS: XA = 4 kN; YA = 11,93 kN; MC = 53,72 kNm
A
D
B
C
600
300
M
q
10m
4m
4m
1m
1m
1m
3m
B
C
A
D
E
26/01/2010
GVC. ThS HOÀNG QUỐC BẢO
31